Introduction à l`optique ondulatoire Notes de cours

physique

année scolaire 2014/2015

Introduction à l'optique ondulatoire Notes de cours

mardi 9 décembre 2014

L'expérience des trous d'Young

expérience de cours

Après une plaque percée de deux trous (trous d'Young) éclairée par un laser, on observe sur l'écran des zones claires qui alternent avec des zones sombres (des franges d'interférence). à installer mardi 9 décembre 2014 en salle L111.

Figure 1  L'expérience des trous d'Young I-

Onde lumineuse

1. Sources lumineuses Sources lumineuses classiques

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Laser

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Les sources monochromatiques n'existent pas

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contrairement aux lasers, les sources classiques sont fondées sur l'émission spontanée de lumière.

un laser est un appareil émettant de la lumière ampliée par émission stimulée. Le terme laser provient de l'acronyme anglo-américain light amplication by stimulated emission of radiation (en français : amplication de la lumière par émission stimulée de radiation). Le laser peut être extrêmement directionnel (on dit qu'il est très cohérent spatialement) mais aussi d'une grande pureté spectrale (temporellement très cohérent).

les sources lumineuses ne peuvent en aucun cas être éternelles. Aussi, aucune lampe ne peut émettre une onde purement monochromatique. Les molécules ou atomes excités émettent souvent des ondes quasi monochromatiques, autour de la fréquence ν avec une largeur naturelle ∆ν pour une raie d'émission à la fréquence ν avec ∆ν très petit. En fait, on démontre que, plus la durée d'émission ∆t est courte, plus la largeur spectrale ∆ν est importante : ∆ν.∆t ∼ 1. Les sources lumineuses n'envoient pas une onde monochromatique limitée dans le temps, mais plutôt une onde imparfaitement monochromatique. On peut prendre cela en compte en écrivant l'amplitude délivrée par une source -quasi - monochromatique sous la forme : a(S, t) = a0 cos (ωt − φ(t))

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Durée et longueur de cohérence temporelle

dénition

la phase à l'origine des dates φ(t) n'étant pas constante mais variant dans le temps, très lentement, sur une durée caractéristique ∆t (appelée temps de cohérence temporelle ) qui est très grand devant la période : ∆t  T = ν1 ∼ 10−15 s. La durée de cohérence temporelle est inversement proportionnelle à la largeur du spectre de la source : ∆f · ∆t ≈ 1. On appelle lc = c.∆t la longueur de cohérence temporelle.

Quelques ordres de grandeur des longueurs de cohérence temporelle

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s'y

Cette durée de cohérence temporelle dépend fortement du type de lampe utilisée : • ∆t ∼ 10−11 s pour des sources classiques, • alors que dans le cas des lasers, ce temps peut être très faible (car ces sources sont souvent très monochromatiques). On retiendra que, dans le cas du laser HeNe (utilisé au laboratoire), τc ∼ 10−8 s. La longueur de cohérence lc = c.∆t est • lc ∼ 1 mm pour des sources classiques, • alors que dans le cas des lasers HeNe lc ∼ 1 m.

Modèle du train d'onde

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pour simplier les choses, on peut imaginer que l'émission lumineuse se fait par émission de trains d'onde de durée moyenne ∆t grande devant la période du signal. L'amplitude est donc "sinusoïdale par parties" : ... a(S, t) = a0 cos (ωt − φn ) si t ∈ [n.∆t; (n + 1) .∆t[ a(S, t) = a0 cos (ωt − φn+1 ) si t ∈ [(n + 1) .∆t; (n + 2) .∆t[ ... où les phases à l'origine des dates φn , φn+1 sont constantes mais les trains d'onde sont aléatoires entre eux. En eet, deux trains d'onde émis successivement par la même particule ont des déphasages aléatoires : la suite φn est une suite aléatoire.

Modèle du train d'ondes

schéma

La gure 1 représente le modèle du train d'ondes. On peut regarder ce train d'onde • en un endroit, au cours du temps : il est composé de "wagons" sinusoïdaux de durée ∆t, qui délent ; • à une date xée, dans l'espace : il est composé de "wagons" sinusoïdaux de longueur lc .

Figure 2  Modèle du train d'ondes spé PC

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2. Amplitude et intensité de l'onde lumineuse Modèle scalaire de la lumière

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Amplitude de l'onde

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Le modèle scalaire de la lumière revient à dire que : • la polarisation de la lumière n'est pas dénie ; • et le milieu est isotrope (il se comporte de la même manière pour toutes les directions de polarisation).

Il ne s'agit que de connaître la norme du champ électrique par exemple. On posera donc : ~ E (M, t) = α.a (M, t)

où a (M, t) est appelée "amplitude de l'onde" (et α une constante non dénie !). Aussi, le champ magnétique B = Ec sera proportionnel à a.

Les récepteurs sont quadratiques

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les récepteurs lumineux (photocellules, pellicules photo, ÷il, etc.) ont des temps de réponse τr très grands devant la période des ondes lumineuses dans le visible T ∼ 10−15 s : • pour l'÷il τr est de l'ordre de 0, 1 s ; • pour une photodiode, le temps de réponse est de 10−6 s ; • pour une pellicule photo, τr est de l'ordre de 10−1 s à 10−2 s, ce qui correspond au temps d'exposition de la pellicule à la lumière. Fondamentalement, le détecteur moyenne (sur une durée τr ) le signal qui lui est envoyé. Puisqu'une onde lumineuse sinusoïdale a une moyenne nulle, les détecteurs lumineux ne suivent pas les variations de l'amplitude de l'onde. Les détecteurs lumineux font donc la moyenne du carré de l'amplitude : ils sont quadratiques (en électrocinétique, on dirait qu'il s'agit en fait de faire une mesure "ecace").

Intensité de l'onde

dénition

~ B µ0 ,

le vecteur de Poynting est proportionnel au carré de a. Donc on retiendra que l'intensité lumineuse (ou l'éclairement) est proportionnelle à la moyenne temporelle (sur un temps τr ) du carré du signal lumineux au point M :

~ =E ~∧ comme Π

 I(M ) = K. a2 (M, t) τ

r

et l'on prendra souvent K = 1 ! Remarquons que, ni a, ni I n'ont d'unités xées, ce qui est assez inhabituel en physique.

Relativité de l'intensité

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comme les récepteurs ne sont sensibles qu'aux variations relatives de l'éclairement (ou de l'intensité), peu importe la valeur eective de cet éclairement, mais seulement les variations de celui-ci dans le plan d'observation. Ainsi, l'impression au point M sur une plaque photo, ou l'éclairement au point M d'un écran, ou la réponse au point M d'un photodétecteur, est proportionnelle à l'intensité reçue au point M . La constante de proportionnalité n'est pas accessible mais on pourra prendre une référence : par exemple, on pourra se référer à l'éclairement maximal sur l'écran.

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3. Propagation de l'onde Retard dû à la propagation

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intéressons nous à un signal sinusoïdal émis d'un point source S . Son amplitude en S peut donc s'écrire a(S, t) = a0 . cos (ω.t − φ0 ). Cette onde se propage dans le milieu d'indice n constant, avec v = nc la vitesse de propagation des ondes lumineuses. SM Le retard temporel dû à la propagation du signal d'une source S jusqu'en un point M est SM v =n c . Les distances de la source au point M étant très grandes devant la longueur d'onde dans le vide λ0 = cT = c 2π ω et les dimensions de la surface utile du récepteur, on peut considérer que, dans une petite zone autour du point M , la distance à la source ne varie pas. Si l'amplitude est considérée constante, le signal au point M reproduit le signal au point S avec ce retard et vaut       SM SM = a0 . cos ω. t − − φ0 a(M, t) = a S, t − v v

Chemin optique

dénition

Pour un milieu quelconque, on dénit le chemin optique sur un rayon lumineux curviligne quelconque de A à B par Z B

LAB = (AB) =

n(P ).ds(P ) A

Chemin optique et retard de propagation Z

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tB

LAB = (AB) =

Z

tB

n(P ).v(P ).dt = tA

c.dt tA

d'où LAB = (AB) = c. (tB − tA )

On peut donc interpréter le chemin optique comme le chemin parcouru dans le vide pendant la durée réelle mise pour aller de A à B dans le milieu d'indice n.

1 Déphasage dû à la propagation d'une onde plane monochromatique théorème dans le vide, le vecteur d'onde est k0 =

ω c

=

2π λ0

On peut réécrire l'amplitude de l'onde en un point M :

  2π a(M, t) = a0 . cos ω.t − (SM ) − φ0 λ0 ⇒

dans le cas général, la phase dans le cosinus de l'amplitude d'une onde sinusoïdale varie, lorsque l'onde se propage de O jusqu'en M de ∆ψO→M =

RM O

− ~k.→ d` =

2π λ0 (OM )

+ ϕsup

où λ0 est la longueur d'onde dans le vide de la radiation émise par la source S et ϕsup qui prend en compte les éventuels déphasages supplémentaires. On admet que l'onde rééchie se déphase de π en plus par rapport à l'onde incidente : • dans le cas d'une réexion sur un métal dite réexion métallique ; • ou encore dans le cas d'une réexion d'un milieu d'indice n1 , sur un milieu d'indice plus élevé n2 > n1 .

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4. Divers type d'ondes Surfaces d'onde

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on appelle surface d'onde d'une source S , à l'instant t, l'ensemble des points M de phase ∆ψS→M constante. Pour une onde monochromatique, c'est l'ensemble des points M à égal chemin optique de la source S , (SM ) = constante.

2 Théorème de Malus

théorème

admis ⇒ Il y a orthogonalité des rayons lumineux et des surfaces d'ondes dans l'approximation de l'optique géométrique.

Onde sphérique

schéma

La gure 2 représente une onde sphérique issue d'un point S. Les trois points M1 , M2 et M3 sont situés sur trois rayons lumineux diérents mais sur la même surface d'onde.

Figure 3  Onde sphérique

Onde plane

schéma

La gure 3 représente une onde plane issue d'un point à l'inni. Les trois points M1 , M2 et M3 sont situés sur trois rayons lumineux diérents mais sur la même surface d'onde. L'onde plane est le cas limite de l'onde sphérique lorsque le point source est à l'inni.

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Figure 4  Onde plane

5. Stigmatisme et conjugaison Stigmatisme

dénition

deux points appartenant à la même surface d'onde de la source A (ou A0 par principe du retour inverse de la lumière) sont à même chemin optique de A (ou de A0 ). Aussi, le chemin optique est conservé entre deux points conjugués, (AA0 ) = constante si A est conjugué avec A0

Stigmatisme dans le cas d'une lentille convergente

schéma

La gure 4 représente le stigmatisme dans le cas où deux points sont conjugués grâce à une lentille convergente. Cela illustre la conservation du chemin optique entre deux points conjugués.

Figure 5  Stigmatisme dans le cas d'une lentille convergente spé PC

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Phénomène d'interférence

1. Les conditions d'interférence Exemples de phénomènes d'interférences

vidéo

Le phénomène d'interférence est donc lié au fait que l'intensité de la somme n'est pas la somme des intensités. Dans certains cas, de la lumière ajoutée à de la lumière donne de l'obscurité ! Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

3 Calcul de l'intensité résultant de la superposition de deux ondes monochromatiques exercice

On s'intéresse à deux sources ponctuelles (lumineuses en optique) notées S1 et S2 qui émettent des ondes monochromatiques de pulsations respectives ω1 et ω2 . Les deux signaux sont d'amplitudes respectives : a1 (S1 , t) = a01 cos (ω1 t − φ1 ) et a2 (S2 , t) = a02 cos (ω2 t − φ2 ) avec le déphasage φ = φ2 − φ1 (supposé dans un premier temps constant) appelé déphasage initial de la source 2 par rapport à 1. B Les deux signaux émis par les deux sources se propagent et atteignent le point M . Exprimer a1 (M, t) et a2 (M, t). B Exprimer l'intensité I1 (M ) si seule la première source émet. De même, exprimer l'intensité I2 (M ) si seule la seconde source émet. B Montrer que l'intensité I(M ) si les deux sources émettent est I(M ) 6= I1 (M, t) + I2 (M, t). B Montrer que p I(M ) = I1 (M, t) + I2 (M, t) + 2

I1 .I2 . hcos [(ω1 − ω2 ) .t + ∆ϕ]i

B Soit c la vitesse de propagation des ondes lumineuses dans le vide, le retard temporel dû à la propagation ) du signal d'une source S jusqu'au point M est (SM avec (SM ) le chemin optique. Au point M , les deux signaux c ont pour amplitudes respectives : h   i • a1 (M, t) = a01 cos ω1 . t − (S1cM ) − ϕsup1 − φ1  i h  • et a2 (M, t) = a02 cos ω2 . t − (S2cM ) − ϕsup2 − φ2 . B Si une seule source émet, l'intensité lumineuse au point M est :

 a2 • I1 (M ) = a21 = 201 si c'est la source S1 qui émet,

 a2 • ou I2 (M ) = a22 = 202 si c'est la source S2 qui émet.

L'intensité est donc sensiblement constante dans la zone éclairée de l'écran d'observation. B Dans le cas où deux sources émettent, les deux amplitude s'additionnent (a(M, t) = a1 (M, t) + a2 (M, t)) et on obtient l'intensité



 I(M ) = a1 (M, t)2 + a2 (M, t)2 + 2. ha1 (M, t).a2 (M, t)i 2

Dans cette formule, le premier terme est a201 = I1 , le second B Le terme d'interférence est 2. ha1 (M, t).a2 (M, t)i

a202 2

= I2 et le dernier est appelé terme d'interférence.

         (S1 M ) (S2 M ) 2.a01 .a02 . cos ω1 . t − − ϕsup1 − φ1 . cos ω2 . t − − ϕsup2 − φ2 c c          p (S1 M ) (S2 M ) = 4 I1 .I2 . cos ω1 . t − − ϕsup1 − φ1 . cos ω2 . t − − ϕsup2 − φ2 c c

qu'une formule trigonométrique permet de transformer en p p 2 I1 .I2 . hcos [(ω1 − ω2 ) .t + ∆ϕ]i + 2 I1 .I2 . hcos [(ω1 + ω2 ) .t + ∆ϕ0 ]i

où ∆ϕ = −ω1 (S1cM ) −ϕsup1 −φ1 +ω2 (S2cM ) +ϕsup2 +φ2 et ∆ϕ0 = −ω1 (S1cM ) −ϕsup1 −φ1 −ω2 (S2cM ) −ϕsup2 −φ2 . Bien entendu, la seconde moyenne est nulle : hcos [(ω1 + ω2 ) .t + ∆ϕ0 ]i = 0

cqfd.

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Etude du terme d'interférence

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Le terme d'interférence I(M ) − I1 (M, t) − I2 (M, t) est nul, sauf si ω1 = ω2 = ω , c'est à dire si les deux sources ont la même pulsation. Si les deux sources ont la même pulsation, alors : I(M ) = I1 + I2 + 2

p

I1 .I2 . hcos (∆ϕ)i

et hcos (∆ϕ)i = 6 0 pour peu que ∆ϕ soit constant.

4 Condition d'interférence et cohérence temporelle

théorème

on a déjà mentionné qu'il fallait que les deux sources S1 et S2 aient la même pulsation pour que hcos (∆ϕ)i = 6 0, c'est à dire pour qu'il y ait interférence. Ainsi, puisque les ondes proviennent de la même source primaire :   I = I1 + I2 + 2

p

I1 .I2 cos

2π ∆ + ϕsup λ1

avec ϕsup = ϕsup2 − ϕsup1 . ⇒ Deux longueurs d'onde diérentes n'interfèrent pas.

5 Condition d'interférence et cohérence spatiale

théorème

Rappelons que nous avons vu précédemment que l'intensité en un point M éclairé par deux sources ponctuelles S1 et S2 était p I(M ) = I1 + I2 + 2

I1 .I2 . hcos (∆ϕ)i

avec ∆ϕ = ωc [(S2 M ) − (S1 M )] + ϕsup2 − ϕsup1 + φ2 − φ1 . Or le déphasage à l'origine φ2 − φ1 entre deux sources lumineuses S1 et S2 est variable et quelconque. Ainsi sur le temps de réponse du détecteur, la phase varie un très grand nombre de fois entre 0 et 2π et ainsi hcos (∆ϕ)i = 0. L'intensité vaut alors I1 + I2 . Aussi, ⇒ deux sources primaires diérentes n'interfèrent pas.

6 Condition d'interférence sur les trains d'onde

théorème

revenons à la formule √ de l'intensité en un point M éclairé par deux sources ponctuelles S1 et S2 : I(M ) = I1 + I2 + 2 I1 .I2 . hcos (∆ϕ)i avec ∆ϕ = ωc [(S2 M ) − (S1 M )] + ϕsup2 − ϕsup1 + φ2 − φ1 . ⇒ Il faut que les trains d'ondes se superposent. Or, pour que se superposent ces trains d'onde, il faut que la diérence de marche ne soit pas plus grande (en valeur absolue) que la longueur du train d'onde dans l'espace, c'est à dire lc , la longueur de cohérence spatiale. On retiendra donc que : |∆| < lc

pour que les interférences ne soient pas brouillées

Utilisation des laser pour des interférences

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Une grande monochromaticité (et une grande longueur de cohérence temporelle) associée à une grande directivité (un point source à distance innie) expliquent pourquoi il est plus facile de réaliser des interférences avec un laser.

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2. Interférences de deux ondes synchrones 7 Formule de Fresnel

théorème

on a donc démontré que ⇒ deux sources monochromatiques de même pulsation, ponctuelles, interfèrent puisque l'intensité résultante n'est pas la somme des intensités I(M ) = I1 + I2 + 2

p

I1 .I2 . cos (∆ϕ) 6= I1 + I2

Interprétation de la formule de Fresnel

s'y retrouver

Cette formule appelée formule de Fresnel fait intervenir I1 , l'intensité reçue au point M avec la seule source S1 , et I2 , l'intensité reçue au point M avec la seule source S2 , le seul terme dépendant de M est le déphasage ∆ϕ(M ) entre la vibration lumineuse issue de la source 2 et celle issue de la source 1 arrivant au point M . Le déphasage est primordial quand on s'intéresse aux interférences entre deux signaux.

8 Relation entre déphasage et diérence de marche on a vu que

∆ϕ(M ) =

théorème

2π ∆(M ) + ϕsup2 − ϕsup1 + φ2 − φ1 λ0

soit ⇒ la diérence de marche au point M est : ∆(M ) = (S2 M ) − (S1 M )

donc ∆ϕ(M ) =

2π ∆(M ) + ϕsup λ0

où on accepte que ϕsup = π dans le cas d'une réexion : • sur un miroir métallique • sur un dioptre d'indice supérieur

Surfaces d'iso-eclairement

dénition

Une surface d'iso-eclairement (ou d'iso-intensité) est l'ensemble connexe des points M tels que I(M ) = constante, d'où ∆(M ) = constante donc (S2 M ) − (S1 M ) = constante.

9 Forme des surfaces iso-eclairement

théorème

Le système de franges possède la symétrie de révolution par rapport à l'axe S1 S2 . Si le milieu est homogène d'indice n constant, cela correspond à S2 M − S1 M = constante ⇒ Les surface d'iso éclairement dans un milieu homogène sont des hyperboloïdes homofocales de foyers S1 et S2 .

Quelques surfaces iso-éclairement

schéma

La gure 5 représente quelques surfaces iso-éclairement.

Trace de quelques surfaces iso-éclairement dans un plan contenant

schéma

S1

et

S2

La gure 6 représente la trace de quelques surfaces iso-éclairement dans un plan méridien (donc contenant l'axe S1 S2 ), cela correspond à des hyperboles homofocales de foyers S1 et S2 .

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Figure 6  Quelques surfaces iso-éclairement

Figure 7  Trace de quelques surfaces iso-éclairement dans un plan contenant S1 et S2

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3. Dispositif des trous d'Young Interférence à partir d'une unique source primaire

s'y retrouver

si l'on veut réaliser des interférences, une solution consiste à créer deux sources à partir d'une unique source primaire. On parle alors de deux sources secondaires. C'est ce qui se passe en particulier dans le dispositif des trous d'Young. Il faut pour réaliser une source quasi ponctuelle : • un laser (source ponctuelle à l'inni) ; • ou bien un laser à qui on adjoint un objectif de microscope (source ponctuelle à distance nie) ; • soit encore une lampe qui éclaire (grâce à un condenseur) un diaphragme (qui est dans ce cas la source ponctuelle à S distance nie).

Principe du dispositif des trous d'Young

schéma

La gure 7 représente deux rayons lumineux diérents, issus du même point source primaire (qu'on notera S ) qui vont interférer en un point M . Depuis M , ces deux rayons lumineux semblent provenir (ou proviennent eectivement) de deux point sources secondaires S1 et S2 .

Figure 8  Principe du dispositif des trous d'Young

Non localisation des interférences

à retenir

Dans le cas d'utilisation d'une source ponctuelle, les interférences ne sont pas localisées. C'est à dire qu'elles existent a priori dans toute la zone de recouvrement des faisceaux. Aussi, il n'est pas nécessaire a priori d'utiliser un dispositif de formation d'image (lentille) pour visualiser les interférences.

Champ d'interférences

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le champ d'interférences est le lieu des points M pouvant être atteints par les deux signaux. On parle aussi de zone de recouvrement des faisceaux.

11 Détermination de la diérence de marche dans le cas des trous d'Young exercice

B Déterminer la diérence de marche δ dans le cas des trous d'Young. B En utilisant le fait que les trous d'Young sont situés à une distance a faible devant la distance d séparant les trous de l'écran, faire un développement limité pour exprimer δ en fonction de x et y les coordonnées du point M sur l'écran.

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B La diérence de marche est δ = (SS1 M ) − (SS2 M ) = (SS1 + S1 M ) − (SS2 + S2 M ) = SS1 − SS2 + S1 M − S2 M B On peut calculer, en prenant O, l'origine du repère au milieu de S1 S2 . " # " a 2   #  2 a 2 1 a2 + x y 2 1  y 2 2 2 2 2 2 +x ⇒ S1 M ≈ d 1 + + + S1 M = +x +y +d =d 1+ 2 d d 2 d 2 d

De la même façon, "

1 S2 M ≈ d 1 + 2



− a2 + x d

2

#   x2 − a x + a2 /4 y2 1  y 2 =d 1+ + + 2 d 2 d2 2 d2

Donc     y2 x2 − a x + a2 /4 y2 2ax x2 + a x + a2 /4 + − d 1 + + = SS1 − SS2 + d 2 δ ≈ SS1 − SS2 + d 1 + 2 2 2 2 2d 2d 2d 2d 2d

On trouve donc δ ≈ SS1 − SS2 +

ax d .

4. Franges Ecran éclairé par un laser à travers des trous d'Young

schéma

La gure 8 représente le plan d'observation derrière des trous d'Young éclairés par un laser.

Figure 9  Ecran éclairé par un laser à travers des trous d'Young

Franges claires et sombres, interférences constructives et destructives dé-

nition

Le lieu des points M contigus de même éclairement, donc de même phase, est appelé frange d'interférences. ∆ϕ(M ) peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 2π modulo 2π mais deux cas sont particulièrement intéressants. • si ∆ϕ(M ) = 0[2π], I > I1 + I2 , l'interférence est constructive. L'intensité y est maximale (on la notera Imax ). On parle alors de franges brillantes ou de franges claires. • au contraire si ∆ϕ(M ) = π[2π], I < I1 + I2 , l'interférence est destructive. L'intensité y est minimale (on la notera Imin ). On parle dans ce cas de franges sombres. Si Imin = 0, on parle de franges noires.

12 Forme des franges dans le cas des trous d'Young ax d ,

exercice

B En utilisant la diérence de marche δ ≈ SS1 − SS2 + déterminer la forme des franges observées sur l'écran dans le cas des trous d'Young. B Retrouver le résultat en utilisant les surfaces iso-éclairement.

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B La formule de Fresnel donne : I = I1 + I2 + 2

avec ∆ϕ =

2π λ

SS1 − SS2 +


ax d

p

I1 I2 cos (∆ϕ)

car il n'y a pas de déphasage supplémentaire. Aussi,

I = I1 + I2 + 2

p

 I1 I2 cos

 a x 2π  SS1 − SS2 + λ d

qui n'est que fonction de x, donc invariante par translation suivant y : les franges sont rectilignes. B L'intersection des surfaces iso-éclairement avec l'écran donne des hyperboles. Sur une petite distances, ces hyperboles peuvent être considérées comme quasi-rectilignes.

Ordre d'interférence

L'ordre d'interférence est la grandeur p sans dimension telle que ∆ϕ(M ) = 2.p.π .

Nature des interférences et ordre d'interférence

dénition

s'y retrouver

Aussi, on est en présence • d'une interférence constructive (c'est à dire d'une frange brillante ou claire) si p est entier ; • d'une interférence destructive (c'est à dire d'une frange sombre ou noire) si p est demi entier (p = 12 +n avec n ∈ Z ).

Interfrange

dénition

sur l'écran d'observation, la distance i entre deux franges consécutives de même nature est appelée interfrange. C'est par exemple l'espace entre deux franges sombres consécutives.

remarque

Cette dénition n'a véritablement d'intérêt que si i est constant, c'est à dire si l'éclairement est une fonction périodique d'une direction (par exemple x) du plan d'observation.

13 Interfrange dans le cas des trous d'Young B En utilisant la diérence de marche δ ≈ SS1 − SS2 + trous d'Young écartés de a et observés à une distance d.

ax d ,

exercice

déterminer l'interfrange dans le cas des

B La formule de Fresnel donne : I = I1 + I2 + 2

avec ∆ϕ =

2π λ

SS1 − SS2 +


ax d

p

I1 I2 cos (∆ϕ)

car il n'y a pas de déphasage supplémentaire. Aussi,

I = I1 + I2 + 2

p

 I1 I2 cos

 2π  a x SS1 − SS2 + λ d

qu'on peut réécrire sous la forme I = I1 + I2 + 2

p

 x  I1 I2 cos 2 π + ϕ0 i

Il s'agit bien d'une fonction périodique de x avec une période spatiale, l'interfrange, i = λad . B L'intersection des surfaces iso-éclairement avec l'écran donne des hyperboles. Sur une petite distances, ces hyperboles peuvent être considérées comme quasi-rectilignes.

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5. Contraste Contraste ou visibilité des franges

dénition

le contraste ou visibilité des franges est

C=

Imax − Imin Imax + Imin

14 Encadrement du contraste

exercice

Montrer que 0 6 C 6 1 .

√

√

√

√

4. I1 .I2 1 .I2 = (I1I+I Comme Imax = I1 + I2 + 2 I1 .I2 et Imin = I1 + I2 − 2 I1 .I2 , on en déduit : C = 2.(I . 2) 1 +I2 ) 2 Aussi, le contraste est le rapport de la moyenne géométrique des intensités des deux ondes seules sur la moyenne arithmétique de I1 et I2 .

Interprétation de la visibilité des franges

s'y retrouver

Aussi, • le contraste est nul si I1  I2 ou I2  I1 . Il est donc primordial d'avoir des intensités I1 et I2 proches pour conserver un bon contraste donc une bonne visibilité des franges. • le contraste est maximal (c'est à dire C = 1) si I1 = I2 : c'est la meilleure visibilité des franges.

15 Réecriture de la formule de Fresnel avec le contraste

exercice

Montrer qu'on peut écrire la formule de Fresnel d'une autre façon : I(M ) = I0 . [1 + C. cos (∆ϕ)] I = I1 + I2 + (I1 + I2 ) .C. cos (∆ϕ)

avec I0 = I1 + I2

⇒

Evolution de la visibilité des franges d'interférences avec le contraste schéma

La gure 9 représente l'évolution de la visibilité des franges d'interférences (le contraste diminuant de haut en bas).. Vous pouvez retrouver le schéma animé sur le site alain.lerille.free.fr.

Figure 10  Evolution de la visibilité des franges d'interférences avec le contraste spé PC

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Technique à maîtriser

jeudi 11 décembre 2014

I-

Les capacités exigibles

1. Calculs de chemins optiques ce qu'il faut savoir faire

capacités

Associer la grandeur scalaire de l'optique à une composante d'un champ électrique. Exprimer le retard de phase en un point en fonction du retard de propagation ou du chemin optique.

2. Calculs de diérences de marche ce qu'il faut savoir faire

capacités

Utiliser l'égalité des chemins optiques sur les rayons d'un point objet à son image. Associer une description de la formation des images en termes de rayon lumineux et en termes de surfaces d'onde.

3. Intensité lumineuse sur un écran éclairé par les trous d'Young ce qu'il faut savoir faire

capacités

Relier l'intensité à la moyenne temporelle du carré de la grandeur scalaire de l'optique. Citer le temps de réponse de l'÷il. Choisir un récepteur en fonction de son temps de réponse et de sa sensibilité fournis. Établir la formule de Fresnel. Citer la formule de Fresnel et justier son utilisation par la cohérence des deux ondes. Associer un bon contraste à des intensités I1 et I2 voisines. Justier l'additivité des intensités dans le cas de deux ondes incohérentes entre elles. Savoir que les franges ne sont pas localisées dans le cas des trous d'Young. Dénir, déterminer et utiliser l'ordre d'interférences. Interpréter la forme des franges observées sur un écran éloigné parallèle au plan contenant les trous d'Young.

II-

Méthodes

1. Calculs de chemins optiques A) Calculer un chemin optique − ~k.→ d` =

méthode

+ ϕsup . O Le calcul de chemin optique revient à évaluer la distance dans un milieu LHI et la multiplier par l'indice optique du milieu, sachant qu'il y a égalité de chemin optique entre deux points conjugués. NB : il y a égalité de chemin optique entre un point A et deux points B et B 0 sur le trajet de la lumière depuis A, si B et B 0 sont sur la même surface d'onde (qui est un plan à l'inni).

∆ψO→M =

spé PC

RM

2π λ0 (OM )

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2. Calculs de diérences de marche B) Appliquer le théorème de Malus

méthode

Sur le schéma ci-contre, le point d'observation M étant dans le plan focal image, il est conjugué avec l'inni. Du point de vue de l'optique géométrique, les rayons issus de S1 et S2 qui aboutissent en M sont parallèles (et parallèles au rayon ctif qui passerait par le centre de la lentille sans être dévié). Du point de vue de l'optique ondulatoire, comme H est le projeté orthogonal de S1 sur le rayon issus de S2 , H et S1 sont dans le même plan d'onde. Ainsi, (S1 M ) = (HM ) d'après le théorème de Malus.

3. Intensité lumineuse sur un écran éclairé par les trous d'Young C) Déterminer l'interfrange

méthode

Une fois écrit l'intensité lumineuse grâce à la formule de Fresnel sous la forme I = I1 + I2 + 2

 x  p I1 I2 cos 2 π + ϕ0 i

l'interfrange i apparaît naturellement.

III-

Exercices

1. Calculs de chemins optiques 1.1) Calcul de chemin optique dans le cas d'une lentille

Soient A et A0 deux points sur l'axe d'une lentille d'épaisseur e d'indice n de focale f 0 , de centre O. On connait 0A. 1) Déterminer le chemin optique (AA0 ). 2) En déduire (AH), si H est un point sur la lentille à une distance h de l'axe, du côté de A0 .

1)

1 1 = 0A + 0A , donc 0A0 = est : (AA ) = AA0 − e + n.e, soit 1 0A0 0

0A.f 0 f 0 +0A

0

2

(AA0 ) = −

2)

0A + (n − 1) .e 0 f + 0A

(AH) + (HA0 ) = (AA0 ), donc (AH) = (AA0 ) − (HA0 ). Or (HA0 ) = HA0 =

Pythagore. Donc, comme 0A0 =

2

Ainsi, AA0 = AA0 = −0A + f0A.f = − f 00A . Le chemin optique 0 +0A +0A

r  2 h2 + 0A d'après

0A.f 0 , f 0 +0A

v u  2 ! 0 u 0A 0A.f t (AH) = − 0 + (n − 1) .e − h2 + f + 0A f 0 + 0A 2

spé PC

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1.2) Calcul de chemin optique dans le cas d'un foyer

Soit F le foyer objet d'une lentille d'épaisseur e d'indice n de focale f 0 , de centre O. 1) Déterminer le chemin optique (AB), où B est accolé à la lentille, sur l'axe de la lentille, côté image. 2) Même question pour C , accolé à la lentille, à une distance h de l'axe de la lentille, côté image.

1) 2)

(AB) = f 0 + n.e. C sont sur le même plan d'onde, donc (AB) = (AC) = f 0 + n.e.

1.3) Calcul de chemin optique dans le cas d'un miroir plan

Soit A un point ayant pour symétrique A0 par rapport à un miroir plan M . 1) Déterminer le chemin optique (AP ), où P est est un point atteint par la lumière après réexion sur M . (AP ) = A0 P .

1.4) Le pêcheur et le poisson

Un pêcheur (H ), dont les yeux sont à HS = 1, 20m au dessus de l'eau (d'indice n = 1, 33), regarde verticalement un poisson P situé à SP = 0, 60m au dessous de l'eau. 1) A quelle distance d1 le pêcheur voit-il le poisson ? 2) A quelle distance d2 le poisson voit-il le pêcheur ? On pose : P 0 la position de l'image du poisson vue par l'homme, et H 0 la position de l'image de l'homme vue par le poisson. 0 SP 1) d1 = HP 0 , avec HP1 = HS 1 + n , soit d1 = HS +

2)

d2 = P H 0 , avec

P H0 n

=

PS n

+

SH 1 ,

SP = 1, 65m n

soit

d2 = P S + n.SH = 2, 20m

1.5) Limitation du taux de transfert d'une bre optique

Une impulsion lumineuse de courte durée envoyée dans une bre optique d'indice n = 1, 5 subit un élargissement temporel lorsqu'elle ressort de celle-ci. Ceci limite rapidement le taux maximal de transfert d'informations à grande distance. En eet, les rayons lumineux d'inclinaisons diérentes n'ont pas le même chemin à parcourir dans la bre, donc leur temps de parcours est variable. 1) Calculer la diérence de temps ∆t mis par deux rayons lumineux se propageant dans une bre optique de longueur L = 10km, l'un sur l'axe de la bre et l'autre incliné de θ = 20◦ par rapport à celui-ci. 2) Quel nombre d'informations N peut transférer une telle bre par unité de temps ?

1) Rayon sur l'axe : distance l1 , temps de parcours t1 = l . 1 c n

Rayon incliné : distance l2 , temps de parcours t2 = lc2 . n Géométriquement, cos θ = ll12 , soit ∆t = t2 − t1 , en prenant l1 = L. Soit : ∆t =

n.L c



 1 − 1 = 3, 2µs cos θ

1 2) On doit éloigner deux "bips" de ∆t au moins, donc la fréquence des bips doit être f < N = ∆t , soit

N=

spé PC

c n.L.

1 cos θ


= 0, 31M Hz −1

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2. Calculs de diérences de marche 2.6) Calcul de chemin optique dans le cas des trous d'Young à distance nie

On s'intéresse à deux sources qui sont à une

distance a = S1 S2 , l'une de l'autre sur l'axe Ox. Ainsi, leurs coordonnées sont S1 − a2 , 0, 0 et S2 + a2 , 0, 0 . Le plan d'observation est le plan z = D, D est donc la distance des sources à l'écran. Un point d'observation M a pour coordonnées (x, y, D). Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1. 1) Déterminer le chemin optique (S1 M ). 2) En déduire (S2 M ). 3) Que vaut la diérence de chemin optique ∆ = (S1 M ) − (S2 M ) ?

1)

q (S1 M ) =

−−−→2 S1 M . En remplaçant par les coordonnées précédemment données, (S1 M ) =

soit :

r





(S1 M ) = D.  1 +

On fait un développement limité à l'ordre 2 en

y x D, D

x + a2 D

2

et

:

a D

+

 y 2

! 12 

D



"

1 x2 + x.a + 1+ 2 D2

a2 4

+ y2

!#

"

1 x2 − x.a + 1+ 2 D2

a2 4

+ y2

!#

(S1 M ) = D.

2)

a 2 + y2 + D2 2

x+

(S2 M ) = D.

3) ∆≈

x.a D

2.7) Calcul de chemin optique dans le cas des trous d'Young à distance innie

On s'intéresse à deux sources qui sont à une

distance a = S1 S2 , l'une de l'autre sur l'axe Ox. Ainsi, leurs coordonnées sont S1 − a2 , 0, 0 et S2 + a2 , 0, 0 . Le plan d'observation est le plan focal d'une lentille convergente de focale f 0 . Un point d'observation M a pour coordonnées (x, y, D). Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1. 1) Que vaut la diérence de chemin optique ∆ = (S1 M ) − (S2 M ) ?

1) La lentille conjugue le point M avec l'inni dans la direction qui fait un angle α avec l'axe optique. Aussi, S1 et H sont dans le même plan d'onde : (S1 M ) = (HM ). La diérence de marche est ∆ = (S1 M ) − (S2 M ) = −S2 H

D'autre part, S2 H = S1 S2 . sin α ≈ a.α =

a.x f0 .

Donc ∆=−

a.x f0

2.8) Calcul de chemin optique dans le cas du réseau spé PC

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On s'intéresse à une onde plane issue de S à l'inni faisant un angle αi avec l'axe Oz . L'onde est incidente sur un plan orthogonal à Oz contenant deux trous qui sont à une distance a = S1 S2 , l'un de l'autre sur l'axe Ox. On observe l'onde plane émergente qui fait un angle αe avec l'axe Oz en M , à l'inni. Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1. 1) Que vaut la diérence de chemin optique ∆ = (SS1 M ) − (SS2 M ) ?

1) La lentille conjugue le point M avec l'inni dans la direction qui fait un angle α avec l'axe optique. Aussi, S1 et H sont dans le même plan d'onde : (S1 M ) = (HM ). La diérence de marche est ∆ = (SS1 ) + (S1 M ) − [(SH) + (HS2 ) + (S2 J) + (JM )]

où H est dans le même plan d'onde incident que S1 : (SS1 ) = (SH). Et J est dans le même plan d'onde que S2 : (S1 M ) = (JM ). D'autre part, S2 H = −S1 S2 . sin αi ≈ −a.αi et S2 J = S1 S2 . sin αe ≈ a.αi .αe . Donc ∆ = a. (αe − αi )

2.9) Diérence de marche en lame d'air

On s'intéresse aux deux miroirs parallèles distants de e, le premier miroir traversé par la lumière rééchissnt une partie de celle-ci, et laissant passer l'autre partie. On repère la position sur l'écran à partir du foyer F 0 avec le rayon r. Si la focale de la lentille est f 0 , θ = fr0 est l'angle que font les rayons qui vont interférer avec l'axe optique. Montrer que la diérence de marche en r vaut ∆ = 2.e. cos θ. 

La diérence de marche vaut ∆ = 2.e. cos θ = 2.e 1 − vont interférer avec l'axe optique.

θ2 2



où θ =

r f0

est l'angle que font les rayons qui

3. Intensité lumineuse sur un écran éclairé par les trous d'Young 3.10) Trous d'Young sans diraction

Une source ponctuelle S0 (en (0, 0, −l0 )) monochromatique (de longueur d'onde λ) éclaire un écran opaque (placé en z = −D, où D < l0 ) est percé de deux trous ponctuels S1 (en ( a2 , 0, −D)) et S2 (en (− a2 , 0, −D)). On observe les inteférences sur un écran en z = 0. 1) Calculs généraux : On considère que les trous envoient, sur tout l'écran, des ondes de même intensité I0 . On néglige donc le phénomène de diraction. 1.a) Exprimer l'éclairement E en fonction de ∆, la diérence de marche au point M et I0 . 1.b) Déterminer la diérence de marche ∆ pour le point M placé en (x, y, 0). 2) On suppose de plus que D  |x| et D  |y|. 2.a) Grâce à un développement limité, simplier l'expression de ∆. 2.b) En déduire la forme des franges. 2.c) Quelle est l'interfrange i ?

1) Calculs généraux :

1.a) E = 2.I0 . 1 + cos 2.π.∆ . λ q q
1.b) ∆ = S1 M − S2 M = x − a2 2 + y2 + D2 − 2) On suppose de plus que D  |x| et D  |y|. 2.a) ∆ ≈ − a.x D . 2.b) Les franges sont rectilignes, parallèles à (Oy). 2.c) i = λ.D a .

x+


a 2 2

+ y2 + D2 .

3.11) Franges rectilignes dans le cas d'une visualisation à distance nie spé PC

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On s'intéresse à deux sources qui sont à une

distance a = S1 S2 , l'une de l'autre sur l'axe Ox. Ainsi, leurs coordonnées sont S1 − a2 , 0, 0 et S2 + a2 , 0, 0 . Le plan d'observation est le plan z = D, D est donc la distance des sources à l'écran. Un point d'observation M a pour coordonnées (x, y, D). Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1. 1) Montrer que la diérence de marche en fonction de x est x.a D

∆ = ∆0 +

où ∆0 est une constante. 2) En déduire que les franges sont rectilignes, parallèles à Oy. 3) Montrer que l'interfrange est i = λ.D a . 4) Pour visualiser à l'÷il nu les franges, il faut que l'interfrange soit susant, c'est à dire i > 100µm. Qu'est ce que cela impose sur a ?

1)

∆ = SS1 + S1 M − SS2 − S2 M = ∆0 + S1 M − S2 M q q −−−→2 −−−→2 avec ∆0 = SS1 −S2 M et S1 M −S2 M = S1 M − S2 M . En remplaçant par les coordonnées précédemment

données,

∆ = ∆0 +

soit :

r





∆ = ∆0 + D.  1 +

a 2 x+ + y2 + D2 − 2 2

x + a2 D

+

On fait un développement limité à l'ordre 2 en " ∆ ≈ ∆0 + D.

1 x2 + x.a + 1+ 2 D2

a2 4

 y 2

+ y2

et

x−

! 12

a D

!

a 2 + y2 + D2 2

 −

D

y x D, D

r

1+

x − a2 D

+

 y 2 D

! 12  

:

1 x2 − x.a + 1+ 2 D2

−

2

a2 4

+ y2

!# = ∆0 +

x.a D

2) L'intensité lumineuse en M est donc I(M ) = I1 + I2 + 2

p

 I1 .I2 . cos

2π x.a 2π.∆0 + ϕsup + λ D λ



L'intensité ne dépendant que de x, les franges sont rectilignes, parallèles à Oy . 3) L'intensité lumineuse en M peut se réécrire sous la forme I(M ) = I1 + I2 + 2

p

 x  I1 .I2 . cos 2π + ψ i

où i est la période spatiale des franges, c'est à dire l'interfrange. On en tire l'interfrange i = varie de ±i alors ∆ varie de ±λ. 4) Comme λ ∼ 500nm et D ∼ 50cm, on trouve : a<

λ.D a .

Quand x

25.10−8 = 2, 5mm 10−4

ce qui permet bien de vérier que a  D.

3.12) Franges rectilignes dans le cas d'une visualisation à l'inni

On s'intéresse à la visualisation des interférences dans le plan focal d'une lentille convergente de focale f 0 . 1) Montrer que la diérence de marche est ∆ = ∆0 −

a.x f0

où ∆0 est une constante. spé PC

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2) En déduire que les franges sont donc rectilignes, parallèles à Oy, comme précédemment. 3) Montrer que l'interfrange est : i = λ.fa . 0

1) La lentille conjugue le point M avec l'inni dans la direction qui fait un angle α avec l'axe optique. Aussi, S1 et H sont dans le même plan d'onde : (S1 M ) = (HM ). La diérence de marche est ∆ = (SS1 M ) − (SS2 M ) = SS1 − SS2 − S2 H

On peut poser comme précédemment ∆0 = SS1 − S2 M . D'autre part, S2 H = S1 S2 . sin α ≈ a.α = 2) L'intensité lumineuse en M est donc I(M ) = I1 + I2 + 2

p

 I1 .I2 . cos

2π.∆0 2π x.a + ϕsup + λ f0 λ

a.x f0 .



On voit que l'intensité ne dépendant que de x, les franges sont donc rectilignes, parallèles à Oy , comme précédemment. 3) L'intensité lumineuse en M peut se réécrire sous la forme I(M ) = I1 + I2 + 2

p

 x  I1 .I2 . cos 2π + ψ i

où i est la période spatiale des franges, c'est à dire l'interfrange.

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Résolution de problème

vendredi 12 décembre 2014

Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.

L'épaisseur des verres de lunettes

Extraits de http ://www.lunettes-experoptic.fr/verres-lunettes.htm

De quoi dépend l'épaisseur des lunettes ? Lors du choix d'une paire de lunettes, l'épaisseur des verres de lunettes est un critère majeur. Des verres épais sont esthétiquement peu avantageux et surtout plus lourds. L'épaisseur dépend de : • La puissance de la correction • L'indice du matériau • La sculpture du verre L'indice évalue la capacité du matériau à "tordre" les rayons lumineux. A correction égale, plus l'indice sera élevé et plus le verre correcteur sera n. Nos verres Standards sont des verres d'indice 1,5

Enoncé

Evaluer l'épaisseur d'une lentille convergente de diamètre 6 cm et de focale 40 cm.

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Correction

Les point I et J sont sur le même plan d'onde. Le stigmatisme impose : (IF 0 ) = (JKF 0 )

or JF 0 = f 0 et JK = e donc KF 0 = f 0 − e ainsi (JKF 0 ) = n JK + KF 0 = (n − 1) e + f 0

D'autre part, l'application du théorème de Pythagore dans le triangle IF 0 J rectangle en J donne : 0

IF =

p

IJ 2 + JF 02

Donc

s  s    2 2 d d d2 0 = + f 02 ⇒ (IF ) = + f 02 ≈ f 0 1 + 2 2 8 f 02   d2 (n − 1) e + f 0 ≈ f 0 1 + 8

⇒ e=

0, 062 d2 = = 2, 3 mm 0 8 (n − 1) f 8 × (1, 5 − 1) × 0, 4

ce qui semble être un bon ordre de grandeur.

Travaux pratiques

vendredi 12 décembre 2014

Le TP est dévolu aux expériences de TIPE (apporter la liste du matériel).

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Approche documentaire

vendredi 12 décembre 2014

Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Arthur Lassus et Florence Lebon feront un exposé.

Les découvertes de Galilée et le

Dioptricae

de Kepler

Kepler le musicien du ciel - Les génies de la sciences - Belin Pour la Science Anna Maria Lombardi

L'importance, pour les partisans du système copernicien, des observations réalisées par Galilée à l'aide de la lunette pousse Kepler à rédiger, en 1610, le premier traité moderne d'optique. Début 1610, la communauté des astronomes est secouée par une découverte révolutionnaire : Galileo Galilei a rendu publiques ses observations de quatre nouveaux objets célestes qui tournent autour de Jupiter. Kepler est ébranlé par cette nouvelle que son ami Wackher von Wackenfels (auquel l'astronome a dédicacé un intéressant traité sur la raison pour laquelle les cristaux de neige ont des formes régulières) lui a transmise. Les deux amis entament sans tarder une discussion sur la nature possible des quatre corps célestes. Selon von Wackenfels, il s'agit de nouvelles planètes du Système solaire, tandis que, pour Kepler, les quatre objets ne peuvent être que des satellites d'une autre planète : il ne peut exister que six planètes ! Le Sidereus Nuncius (Le Messager céleste), publié le 4 mars de la même année, relate les sidérantes (et sidérales) observations eectuées par Galilée lors des automne et hiver précédents. On y lit que la Voie lactée n'est que l'eet d'ensemble produit par une multitude d'étoiles, que la surface de la Lune, bien loin d'être une sphère brillante et lisse, est piquetée de montagnes, et que les objets dius que l'on distingue à l'÷il nu dans le ciel sont des amas stellaires. Surtout, Galilée annonce que Jupiter possède, comme la Terre, des satellites, dans ce cas au nombre de quatre. Le coup est dur pour les partisans d'Aristote et de Ptolémée. Le 8 avril, Kepler reçoit, par l'intermédiaire de Julien de Médicis, le livre Sidereus Nuncius, accompagné d'une lettre où Galilée le prie instamment d'exprimer son opinion sur l'ouvrage. Si Galilée tenait vraiment au soutien de Kepler, il paraît étrange qu'il ait été si indiérent à ses demandes pressantes et ne lui ait pas fait parvenir de lunette. Kepler a nalement l'occasion de contrôler les découvertes de Galilée grâce à l'Electeur Ernst de Cologne, duc de Bavière. Celui-ci se rend à Prague pour discuter avec d'autres princes des divergences entre le Duc Rodolphe et son frère Matthias - divergences qui déboucheront sur la guerre de Trente Ans - et emporte avec lui un bon instrument qu'il prête quelques jours à l'astronome. Kepler observe le ciel avec la lunette de l'Électeur les soirs du 30 août au 9 septembre 1611. Il consigne ses observations dans un rapport intitulé Narratio de Jouis satellibus. Tous les observateurs présents, raconte-t-il, ont noté à la craie sur un tableau ce qu'ils ont vu. Les diérents comptes rendus ont été comparés : ils conrment les armations du Nuncius. Le Narratio est publiée à Florence la même année et devient un témoignage supplémentaire en faveur de Galilée. Kepler tirera un autre prot de la lecture du Nuncius. Galilée, dans l'introduction de son livre, donne une première et vague explication du grossissement permis par la lunette, ce qui incite Kepler à traiter de façon systématique, par la méthode de l'optique géométrique, les problèmes liés aux lentilles et à leur combinaison. Nombre de ses successeurs verront dans le livre qui rassemble ces études le premier traité d'optique moderne.

Kepler écrit le premier ouvrage d'optique géométrique

L'÷uvre, rédigée entre août et septembre 1610 et imprimée en 1611, est intitulée Dioptricae, en référence à l'astronome Geminus qui a utilisé ce terme pour qualier l'observation eectuée avec des instruments optiques tels que le dioptre. La place consacrée au fonctionnement des lentilles mérite d'être soulignée : au début du XVIIe siècle, il est presque inconvenant qu'un philosophe naturel, tenu d'étudier les phénomènes réels, s'interroge sur le fonctionnement des lentilles. Les miroirs ou les sphères, gures parfaites, méritent l'intérêt des scientiques ; mais quel bénéce tirerait un chercheur rationnel d'un objet tel que la lentille, qui est de forme hybride et qui déforme l'image du monde ? Les lentilles sont laissées aux lunetiers ou, si l'on en croit le succès du De magia universalis (1593) de Délia Porta, à qui veut stupéer et émerveiller un auditoire à l'aide de tours et d'artices : les lentilles sont des instruments destinés au magicien, et non au scientique. Au début du XVIIe siècle, même un dispositif qui nous paraît scientique par excellence, telle la lunette astronomique, est, pour

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nombre de personnes, un instrument trompeur : il altère la réalité et ne peut être compté parmi les moyens de connaissance sérieux. Galilée ne s'est pas attardé sur le mécanisme par lequel ses instruments donnent un certain grossissement, et les premières lunettes astronomiques sont construites par les artisans qui fabriquent les lunettes de vue. Les observations qu'il eectue en automne 1609 bouleversent cette convention. Les résultats exceptionnels qu'il obtient à l'aide de sa lunette attirent l'attention des esprits les plus rationnels sur la théorie des lentilles, suscitant une compétition entre ceux qui commencent à se spécialiser dans la construction de divers types de lunettes.

La première ÷uvre qui place l'étude des lentilles parmi les vraies sciences sous le nom de Dioptrique n'est autre que le Dioptricae de Kepler. Le livre est constitué d'une succession de 141 théorèmes, classés en quatre catégories diérentes : les dénitions, les axiomes (théorèmes qui ne nécessitent pas de démonstration), les problèmes (théorèmes étayés par une démonstration expérimentale) et les propositions (théorèmes qui découlent d'axiomes et de dénitions via des démonstrations fondées sur la logique aristotélicienne). Dans le Dioptricae, Kepler reprend de nombreux thèmes déjà abordés dans l'Optica, mais dans un langage plus dépouillé et rigoureux. Outre la présentation approfondie de thèmes, par exemple articulés autour de la réfraction, signalons aussi de nouvelles avancées, telle la découverte de la réexion totale. Kepler, expérimentant divers prismes, remarque l'existence d'un angle de réexion totale : si l'angle d'inclinaison du rayon est supérieur à cette valeur, la lumière ne traverse plus le cristal et est entièrement rééchie. Le point central du Dioptricae reste l'étude des phénomènes liés aux lentilles. À l'aide de l'optique géospé PC

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métrique, Kepler explique comment on grossit ou réduit une image grâce à un choix adéquat de lentilles. En particulier, après avoir reconstitué le schéma optique de la lunette galiléenne, il propose un nouveau montage pour cette lunette : au lieu d'utiliser une lentille concave et une convexe, il aligne deux lentilles convexes. Grâce à cette combinaison optique, l'image est bien plus nette. D'aucuns objecteront que l'on obtient une image renversée, mais cela ne perturbe certainement pas Kepler, qui a passé tant d'heures à observer des images inversées dans les chambres obscures, acceptant même l'idée que notre rétine reçoit des images à l'envers. L'astronome étudie aussi des systèmes à trois lentilles ou plus, encore utilisés à l'heure actuelle dans les téléobjectifs modernes.

Kepler, conscient d'avoir écrit une ÷uvre compliquée, lance, dès l'introduction, un avertissement : Je t'ore, ami lecteur, un livre mathématique, c'est-à-dire un livre qui n'est pas facile à comprendre et qui présume non seulement un esprit intelligent, mais une certaine vivacité intellectuelle et un incroyable désir d'apprendre les causes des choses. Le mérite de Kepler, qui ne mit que deux mois pour rédiger ce chef-d'÷uvre, en est d'autant plus grand. Le manuscrit, présenté à l'Électeur Ernst de Cologne en septembre, aurait dû paraître peu après ; fort heureusement, les problèmes liés à son impression retardent grandement sa publication. Ce délai se révèle spé PC

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favorable car, entretemps, Galilée a obtenu un précieux résultat qui fait vaciller l'image géocentrique du cosmos : il a observé les phases de Vénus. Suivant l'usage de l'époque, Galilée a breveté sa découverte en diusant dans toute l'Europe une anagramme qui recèle la clé de ses observations et dont, pendant de nombreux mois, les astronomes les plus célèbres chercheront en vain la signication.

Galilée observe les phases de Vénus à la lunette astronomique

Finalement, le premier janvier 1611, Galilée révèle la solution : de même que la Lune, Vénus présente des phases diérentes. Le Dioptricae n'est pas encore publié et Kepler en prote pour expliquer, dans l'introduction, la signication de ce phénomène pour l'astronomie : ces phases montrent que le Système solaire est décrit par le modèle de de Copernic, mais pas par celui de Ptolémée. Si Vénus tournait autour de la Terre le long d'un épicycle, l'on ne verrait, depuis la Terre, que des croissants de lumière sur Vénus, et non la face complète de la planète éclairée. La Terre ne peut être le centre du monde. La possibilité d'écarter avec certitude le modèle géocentrique, qui parut intouchable pendant des siècles, fascine Kepler, qui écrit : Ô tube [la lunette], qui sais tant de choses, plus précieux que n'importe quel sceptre. Celui qui te tient dans sa main droite ne connaît ni roi ni maître dans l'÷uvre divine.

Enoncé

1) Lunette de Galilée 1.a) Refaire le schéma de la lunette de Galilée. On fera apparaître les foyers des lentilles, on tracera la

marche d'un rayon incident sur la lunette avec un angle α non nul par rapport à l'axe optique et qui émerge de celle-là avec un angle α0 par rapport à l'axe optique. 0 1.b) Exprimer le grossissement G = αα . L'image est-elle retournée ? 2) Lunette de Kepler Mêmes questions. 3) Expliquer le phénomène de réexion totale expérimenté par Kepler avec un prisme. 4) Les phases de Vénus observées à la lunette par Galilée 4.a) Relier les diérentes phases de Vénus (c1 à c5) à des congurations de Vénus, de la Terre et du Soleil, soit dans le système de Ptolémée (congurations a1 à a10), soit dans le système de Copernic (congurations b1 à b12). 4.b) En quoi cela permet-il de choisir entre les systèmes de Ptolémée et de Copernic ?

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Correction

1) Lunette de Galilée 1.a) Le schéma de la lunette de Galilée est donné sur la gure suivante :

1.b) Le grossissement est G = αα

=

2.b) Le grossissement est G = αα

=−

0

F10 A1 f10 f20 F 0 A1 1

⇒ G=

f10 f20

. L'image est droite.

2) Lunette de Kepler 2.a) Le schéma de la lunette de Kepler est donné sur la gure suivante :

0

F10 A1 f10 f20 F 0 A1 1

f0

⇒ G = − f10 . L'image est retournée. 2

3) Les lois de la réfraction n1 sin i1 = n2 sin i2 n'ont de solution i2 que si | nn

1 sin i1 | ≤ 1. Aussi, il se peut, 2 si n1 > n2 que tel ne soit pas le cas : il n'y a alors pas de réfraction, mais seulement réexion. On parle de réexion totale. Ce peut être le cas lors du passage sur le second prisme (verre-air) du un prisme, où n1 > n2 . 4) Les phases de Vénus observées à la lunette par Galilée 4.a) Les diérentes phases de Vénus sont : pour c1 reliée à a8 ou b9, pour c2 reliée à a7 ou b8, pour c3 reliée à b7, pour c4 reliée à b6, pour c5 reliée à b4. 4.b) Contrairement au système de Ptolémée celui de Copernic permet donc d'expliquer les phases de Vénus observées à la lunette.

Devoir surveillé spé PC

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samedi 13 décembre 2014 Un DS commun aura lieu samedi 13 décembre 2014, il portera sur toutes les ondes mécaniques avec les ondes sonores.

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