Jiles problem 2 - UU Studentportalen

1. Calculate the applied field needed to saturate a spherical iron sample. Givet: 1 Sfärisk provform  N  ; prov format som toroid  N  0 3 Mättnadsmagnetisering Ms  1.69  106 A/m

Fält för att uppnå mättnadsmagnetisering 1  H s N  0  H s  N   3  ---------------------------------------x-----------------------------------------För toroid-provet finns inget avmagnetiserande fält  Hi  H För sfär-provet gäller att magnetfältet = summan av pålagt och avmagnetiserande fält 1 M  Hi  H  H d  H d   NM ; N    H  3 3  När materialet når mättnadsmagnetisering M s är det inre fältet detsamma för bägge provformerna 1 M  H s N  0  H s  N    s 3 3  H s N  0 Ms 1 1 1   HsN   3H s  N   3 3   Vänsterled ≈ 0  1  M s 1.69  10 6  Hs N      0.56  10 6 A/m 3 3 3  1   0 H s  N    0.7 T 3  ----------------------------------x-------------------------------H H H i  H  NM  i   N  H  MN  H s  M s N M M  1 0 i

2. Calculate the internal field and compare with the applied field. When is the effect of the demagnetizing field largest, at small or at large applied field? Givet: Ferromagnetiskt material , l d  8  N  0.02 ------------------------------------x--------------------------------------1. B  0.9 T, H  8  10 4 A/m Beräkna M först, sedan Hi, använd fältekvation B   0 M  H i   H i  H  NM   0 M(1  N )  H    B   0.9  M    H  1  N     8  10 4  1  0.02   4   10 7   0   6.5  10 5 A/m H i  H  NM  8  10 4  0.02  6.5  10 5  6.7  10 4 A/m H-H i  0.16 H

2. B  1.1 T, H  1.6  10 5 A/m  B    1.1 M    H  1  N     1.6  10 5  1  0.02   4   10 7   0   7.3  10 5 A/m H i  H  NM  1.6  10 5  0.02  7.3  10 5  14.5  10 4 A/m H-H i  0.09 H ________________________________________________________________________________

H-H i H  H  NM NM   H H H

M H

3. Calculate the atomic magnetic moment for Fe. Givet:

M s  1.69  106 A/m

från Physics handbook   7.97  10 3 kg/m 3 molvikt (Fe)  56 kg/kmol N A  6.025  10 26 atomer/kmol ----------------------------------------x---------------------------------------Magnetiskt moment för 1 m3 av Fe är

m  1.69  106 Am2 1 m3 motsvarar 7.97  10 3 kmol, 56

vilket motsvarar 7.97  10 3  6.025  10 26 atomer n= 56

Innebär att momentet per järnatom blir m atom 

m 1.69  10 6  56   1.98  10 23 Am2 3 26 n 7.97  10  6.025  10

eller uttryckt i enheter av  B

1 B  9.27  10 24 Am 2  matom  2.14 B Varför är inte momentet ett heltal av  B ? Bara antalet 3d + 4s elektroner är ett heltal!

4. En toroid av rent järn har en omkrets på lk=0.5 m. På toroiden lindas en spole med n=500 varv och en ström I =1 A skickas genom spolen. Järnets relativa permeabilitet är µr=1000. a) Beräkna den magnetiska induktionen B i kretsen. b) Ett luftgap på lg=1 mm introduceras. Beräkna flödestätheten i luftgapet (kretsen antas vara ideal). c) Hur mycket måste strömmen höjas för att B ska nå samma värde som i a). Givet:  r  1000 , n = 500, I =1A, l k  0.5 m --------------------------------------x------------------------------------------------Ampere’s lag nI   H  d l  H k l k  H g l g

(1)

Ideal magnetisk krets (och konstant tvärsnittsyta) Bk  B g  B Fältekvati oner luftgap B   0 H g  H g 

B ; 0

material B   0  r H k  H k 

B  0 r

(2)

(1)  (2)  0 nI B B lk  l g  nI  B  lk  0 r 0  lg r

a) lg =0

 0  r nI 4  10 7  10 3  5  10 2  1 B   1.26 T lk 0.5

4  10 7  5  10 2  1 B   0.42 T b) lg =0.001m lk 0.5 3  10  lg 3 r 10  I  3 A behövs för att nå samma c) B ökar linjärt med strömmen I B som i a) (=1.26 T).  0 nI

5. En elektromagnet byggs m.h.a. ett ferromagnetiskt ok med pålindad spole, längden längs oket är lk=0.5 m och luftgapets längd är lg=0.01 m. Spolen har n =1000 varv och maximalt kan strömmen I=20 A skickas genom spolen. Betrakta den magnetiska kretsen som ideal. a) Hur stor flödestäthet erhålles maximalt i luftgapet om oket är av 6 järn, µr = 1000 och Ms =1.7·10 A/m. (4p) b) Finns det någon ferromagnetisk legering som skulle lyckas bättre än järn i detta fall? (1p) 6 Givet: l k  0.5 m , n  1000 , l g  0.01 m ,  r  1000 , M s  1.7  10 A/m , I  20 A ------------------------------------------x------------------------------------a) Ampere's lag nI   H  d l  H k l k  H g l g (1)

Ideal magnetisk krets ⇒ Bk  B g  B M Fältekvationer Hk

material B   0  r H k , fungerar om M  M s luftgap B   0 H g

(2)

(1) + (2) ger nI 



 0 nI B B lk  lg  B   lk r0 0  lg r 7

4  10  1000  20  2.39 T 0. 5  0.01 1000

om  r  1 gäller B   0 M  " tak" för elektromagneten B  0 Ms

Rimligt?  0 M s  4  10 7  1.7  106  2.14 T Eftersom kärnan nått mättnadsmagnetisering använder vi B   0 M s  H k    0 H g . B kan beräknas efter att Hk bestämts nI  H k l k  M s  H k  l g  H k 

lg M s nI   lk  l g lk  l g

10 3  20 10 2  1.7  10 6    5.88  10 3 A/m 0.51 0.51





B   0 M s  H k   4  10 7 1.7  10 6  5.88  10 3  2.144 T

b) Vi kan använda en Fe-Co legering (25-50% Co), som har en mättnadsinduktion  0 M s  2.4 T . 6. En elektromagnet med formen av en toroid konstrueras m.h.a. en järnkärna med pålindad spole. Längden i materialet är lk=1 m och kretsen har ett luftgap vars längd är lg = 0.01 m. Nära polgapet smalnar kretsen av så att tvärsnittsytan vid luftgapet är Ag =Ak/2, där Ak är materialets tvärsnittsyta (även om tvärsnittsytan minskar nära luftgapet gäller Ak~konstant). Spolen innehåller n=1000 varv och matas med strömmen 15 A. Så länge järnet inte är magnetiskt mättat så gäller µr=500. Ms=1.7 106 A/m. a) Hur stor är flödestätheten i luftgapet? (3p) b) Hur stor är järnets magnetisering? (2p) Givet: l k  1 m, l g  0.01 m, n =1000, I=15 A,  r =500, Ms=1.7 106 A/m , Ag =Ak/2

-----------------------------------------x---------------------------------------------a) Ampere's lag nI   H  d l  H k l k  H g l g (1) Ideal magnetisk krets, olika tvärsnittsytor  g   k  B g Ag  Bk Ak  Bk 

Ag Ak

Bg

(2)

Fältekvationer Bg   0 H g Bk   0  r H k   0 H k  M 

(3)

(1)+(3)  Bg Bk  lk   l g  ekv. (2)  0r 0 Bg Ag Bg   lk   lg   0  r Ak 0

nI 

4   10 7  10 3  15 Bg    1.71 T   0 M s  Ag lk 1 1   0.01   lg 2 500 Ak  r  0 nI

b) (2)+(3)   M  B g   0 H k  M   ekv. (3)  H k   Ak   1   r Ag B g  r  1  M  r   0   M    0 M   M  r 1 Ak  0  r  r 1  1 1.71 499   6.8  10 5 A/m  7 2 4  10 500 Bk 

Ag

7. Genom att använda en permanentmagnet vill du konstruera en magnetisk krets (se figur) som ger magnetfältet H 2  6  10 5 A/m i luftgapet. Arbetspunkten för materialet är B1  0.3 T och H 1  0.6  10 5 A/m , och för luftgapet gäller S 2  1.2  10 3 m 2 och l 2  1.4  10 2 m . Bestäm kretsens övriga parametrar ( S1 och l1 ) under antagandet att läckflöden i kretsen kan försummas (ideal magnetisk krets). För kretsen gäller naturligtvis att i  0 . (5p)

varför absoluttecken för H1? Givet; B1  0.3 T , H1  0.6  10 5 A/m , H 2  6  10 5 A/m , S 2  1.2  10 3 m 2 och l 2  1.4  10 2 m . -------------------------------------------x-------------------------------------------Ampere’s lag ni  0   H  d l  H 1  l1  H 2  l 2

(1)

Ideal magnetisk krets 1   2  B1  S1  B2  S 2

(2)

Fältekvation i luftgapet

B2   0 H 2 insatt i ekv. (2)   0 H 2  S 2 4    10 7  6  10 5  1.2  10 3 S1    3.02  10 3 m 2 B1 0.3 Kretsens längd kan bestämmas mha ekv. (1)

H2 6  10 5 l1   l2   1.4  10 2  1.4  10 1 m2 H1 0.6  10 5 --------------------------------------x--------------------------------------------