K17 - spepcdailly

PC Compiègne

1.

PROGRAMME DES KHÔLLE 17 et 18

sem. du 30/01 et 06/02

Révisions Un exercice de révision d’analyse ou d’algèbre

2.

probabilités

2.1

Probabilités sur un univers dénombrable

Révisions du programme précédent. Conditionnement : Probabilité conditionnelle : définition, propriété (c’est une probabilité) puis formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes. Exemple type d’application pour chacune de ces formules. Indépendance deux à deux, indépendance mutuelle. Lien entre les deux.

2.2

Variables aléatoires réelles discrètes

Variable aléatoire sur un univers probabilisable (Ω, T ). Loi d’une variable aléatoire sur un espace probabilisé (Ω, T , P ), révisions des lois connues de 1ère année, première introduction de la loi géométrique. Théorème (admis) d’existence d’une probabilité P sur un espace probabilisable (Ω, T ) telle que si X estP une variable aléatoire sur (Ω, T ) de support X(Ω) = {xn , n ∈ N} où les xn sont deux à deux distincts, et si pn est une série de réels positifs de somme 1, la loi de X est donnée par P (X = xn ) = pn pour tout n ∈ N. Introduction de la loi de Poisson. fonction d’une variable aléatoire. Fonction de répartition. Couples de variables aléatoires discrètes. Propriétés, définition, exemples. Loi conjointe et lois marginales d’un couple de variables aléatoires discrètes. Indépendance des variables aléatoires discrètes, lois conditionnelles. Exemples simples. Caractérisation de l’indépendance de deux variables aléatoires, fonctions de deux variables aléatoires indépendantes ; loi d’une somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement la loi P(λ) et la loi P(µ). Variables aléatoires mutuellement indépendantes. Extension (sans démonstration) des propriétés vues en 1ère année dans le cadre des univers finis au cas dénombrable. Suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes. Modélisation d’un jeu de pile ou face infini par une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi de Bernoulli de paramètre p. Espérance. Définition. Exemples de calculs d’espérance. Propriétés théoriques de l’espérance. Variance, covariance, coefficient de corrélation linéaire. Sous-espace vectoriel des variables aléatoires admettant un moment d’ordre 2. Inégalité de Cauchy Schwarz. Définition de la variance et de l’écart-type. Calcul de la variance des lois usuelles : Bernoulli, binomiale, géométrique et Poisson. Espérance d’un produit de variables aléatoires indépendantes. Covariance, coefficient de corrélation linéaire. Propriétés usuelles. Variance d’une somme de variables aléatoires indépendantes. Applications. Fonctions génératrices. Définition, propriétés théoriques des fonctions génératrices, fonction génératrice de la somme de deux variables aléatoires indépendantes. Résultats asymptotiques. Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson, inégalités de Markov et Bienaymé Tchebychev, loi faible des grands nombres.

Prochain programme : Révisions + algèbre euclidienne 3.

Démonstrations à connaître parfaitement — Formule des probabilités composées — Calcul de la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[. — Théorème de comparaison et croissance de l’espérance. — Loi suivie par la somme de deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivant la loi de Poisson de paramètres respectifs λ et µ. — Preuve de l’existence et calcul de l’espérance et de la variance d’une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[, respectivement la loi de Poisson de paramètre λ. — Inégalités de Markov et de Bienaymé Tchebychev. — Tous les énoncés et définitions de ces chapitres doivent pouvoir être restitués.

22/1/2017

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