Kapitel 1

Matematik 4 Kap. 1 Trigonometri och formler

Innehåll 1.1 Trigonometri och trianglar 1.2 Trigonometri och formler 1.3 Bevis och bevismetoder 1.4 Trigonometriska ekvationer 1.5 Tillämningar och problemlösning

1.1 Trigonometri och trianglar

Sinus, cosinus & tangens

a sin A  b c cos A  b a tan A  c Hur skall man göra för att komma ihåg detta?

Sinus, cosinus & tangens motstående katet sin A  hypotenusa närliggande katet cos A  hypotenusa

motstående katet tan A  närliggande katet

Sinus, cosinus & tangens sin C 

c b

cos C 

a b

tan C 

c a

Sinus, cosinus & tangens

3 sin A   0, 6 5 4 cos A   0,8 5 3 tan A   0, 75 4

Sinus, cosinus & tangens Hur stor är vinkeln A?

Sinus, cosinus & tangens

sin A  Vinkel C är rät.

cos A  tan A 

Sinus, cosinus & tangens

sin B  Vinkel C är rät.

cos B  tan B 

Sinus, cosinus & tangens

Hur stora är vinklarna A och B? Vinkel C är rät. 5 A  sin 1    22, 6  13 

 12  A  cos 1    22, 6  13 

 5 A  tan 1    22, 6  12 

 12  B  sin 1    67, 4  13 

5 B  cos 1    67, 4  13 

 12  A  tan 1    67, 4  5

Sinus, cosinus & tangens

sin 60 

cos 60 

sin 2 60 

cos 2 60 

Enhetscirkeln

Enhetscirkeln (cos  ,sin (0,8;0, 6)  )



Enhetscirkeln

Hur stor är vinkeln? Vinkeln är c:a 36,9°

Enhetscirkeln

NpMa3c ht 2012

TRIGONOMETRI Trigonometri i rätvinkliga trianglar

sin v 

3 5

cos v 

4 5

tan v 

3 4

TRIGONOMETRI

Definitioner

sin v 

a motstående katet  b hypotenusa

cos v 

c närliggande katet  b hypotenusa

tan v 

a motstående katet  c närliggande katet

EXAKTA VÄRDEN

Från formler till Matematik 4

TVÅSPECIELLA TRIANGLAR

1 2 1 sin 30  2

cos 45 

3 2

cos 60 

sin 45 

sin 60 

1 2 3 cos 30  2 1 2

1 tan 45   1 1 1 tan 30  3

tan 60 

3  3 1

EXAKTA VÄRDEN

OBS!

Finns i formelhäftet!!

ENHETSCIRKELN

ENHETSCIRKELN

ENHETSCIRKELN

sin v  tan v cos v

ENHETSCIRKELN Hur kan vi visa följande formler?

sin(v)   sin v cos(v)  cos v sin(v  180)   sin v cos(v  180)   cos v

Vi tar hjälp av räknaren Vilka vinklar?

sin v  0, 256 14,8 och 165, 2 cos v  0,966

15, 0 och  15, 0 (eller 345)

tan v  0, 268 15

TRIGONOMETRISKA ETTAN cos v  sin v  1 2

2

2

cos v  sin v  1 2

2

cos v  1  sin v 2

2

sin 2 v  1  cos 2 v

cos v  1  sin v 2

sin v  1  cos v 2

TRIGONOMETRISKA ETTAN

Hur matar man in sin 30 i räknaren? 2

TRIGONOMETRISKA ETTAN

cos v  1  sin v 2

2

cos v  1  sin v 2

cos2 v  1  sin v 1  sin v 

2

2

TRIGONOMETRISKA ETTAN

sin v  1  cos v sin 2 v  12  cos 2 v 2

sin 2 v  1  cos v 1  cos v 

2

EXEMPEL: UPPGIFT 1229

1  tan x 1  sin x  cos x cos x

Visa att detta gäller

EXEMPEL: UPPGIFT 1230 cos x cos x   2 tan x 1  sin x 1  sin x cos x cos x   1  sin x 1  sin x cos x 1  sin x  cos x 1  sin x  =   1  sin x 1  s i n x 1  sin x 1  sin x       VL=

 

cos x 1  sin x   cos x 1  sin x   1  sin x 1  sin x  cos x 1  sin x  1  sin x  

 1  sin 2 x cos x  2sin x  2sin x    2 tan x  HL cos 2 x cos x

Visa att detta gäller

ADDITIONS- OCH SUBTRAKTIONSSATSERNA FÖR SINUS

sin((40  30))  sin(40) cos(30)  cos(40) sin(30)

Hur kan man kontrollera detta?

ADDITIONS- OCH SUBTRAKTIONSSATSERNA FÖR COSINUS

cos((40  30))  cos(40) cos(30)  sin(40) sin(30)

Hur kan man kontrollera detta?

FORMLER FÖR DUBBLA VINKELN

FORMLER FÖR DUBBLA VINKELN

Uppgift 1232 sin x cos x 2 sin x cos x cos x  cos 2 x  sin 2 x cos 2 x  sin 2 x cos 2 x

sin x tan x cos x  1  tan 2 x cos 2 x sin 2 x  2 cos x cos 2 x

Uppgift 1232 Börja med att dividera både täljare och nämnare med cos 2 x

sin x cos x sin x tan x cos 2 x cos x   2 2 2 2 cos x  sin x cos x sin x 1  tan 2 x  cos 2 x cos 2 x cos 2 x Kommentar

sin x  tan x cos x

sin 2 x  tan 2 x 2 cos x

cos 2 x 1 cos 2 x

sin x cos x sin x cos x cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x cos 2 x  sin 2 x cos 2 x

sin x tan x cos x  2 1  tan 2 x cos x sin 2 x  cos 2 x cos 2 x

Uppgift 1233 tan 2 x  Vad har hänt 1  cos x sin 2 x här? 2  cos x  1  cos x sin 2 x 1  cos 2 x    cos2 x  1  cos x  cos 2 x  1  cos x  VL=

1  cos2 x 1  cos x   2 cos x  1  cos x  1  cos x 1  cos x 1  cos x  1  cos x   cos2 x  1  cos x  1  cos x 1  cos x   cos2 x 1 cos x    2 cos x cos 2 x 1 1    HL 2 cos x cos x

12  cos2 x  1  cos x 1  cos x  (Konjugat)

Uppgift 1236 sin x  sin x tan x  sin x cos x VL=   sin 3 x sin 3 x Bryter nu ut sin x i båda täljare och nämnare

 1  1 sin x   1 1  cos x   cos x sin 2 x sin x  sin 2 x  Skriver nu om ettan i täljaren som

cos x och ställer på gemensamt bråkstreck (täljaren) och skriver cos x

om nämnaren enligt trigonometriska ettan.

1  cos x cos x 1  cos2 x  Nu förlänger jag hela bråket med cos x och tar sedan hjälp av konjugatregeln.

 1  cos x  cos x   1  cos x 1  cos x  cos x     2 2 cos x 1  cos x  cos x 1  cos x  cos x 1  cos x 1  cos x  1 1  =HL cos x 1  cos x  cos x  cos2 x



EKVIVALENS

EKVIVALENS

3x  1  4  x  1



IMPLIKATION

IMPLIKATION

x 3 x 9 2

IMPLIKATION OCH EKVIVALENS IMPLIKATION

 

MEDFÖR ATT…

EKVIVALENS ÄR EKVIVALENT MED… ELLER OM OCH ENDAST OM…

IMPLIKATION OCH EKVIVALENS IMPLIKATION

x  3  x  9 2

IMPLIKATION OCH EKVIVALENS EKVIVALENS

x 3  5  x  2

IMPLIKATION OCH EKVIVALENS  

MEDFÖR ATT… ÄR EKVIVALENT MED…



 



 







ICKE

DIREKT BEVIS

PQ

INDIREKT BEVIS

P  Q  P  Q

Uppgift 1320

P : 3n  2 udda P: 3n+2 jämnt Q: n är udda Q : n ärjämnt

Vi visar P  Q genom att visa P  Q k = heltal

n  2k

3n  2  3  2k   2  2  3k  1 2  3k  1 är ett jämnt tal Q.E.D.

Uppgift 1326

Uppgift 1326

a) 2b 2  a 2 2b 2 är delbart med 2. Då är a 2 det också. 2

Om a är jämnt, så är a det också. (Se 1314)

Uppgift 1326

b) Om både a och b går att dela med 2 motsäger det att a / b är förkortat så långt det går.

Uppgift 1327 a och b är heltal. Bevisa att a 2  4b  2. Vi antar följande:

a 2  4b  2 a 2  2  4b a 2  2 1  2b   2  2b  1

Detta betyder att a 2 och a är jämna tal.

c = heltal

Vi sätter nu a  2c , vilket ger oss

 2c 

2

 4b  2

4c 2  4b  2 2  2c 2  2b   2 2c 2  2b  1 2  c2  b   1 VL är ett jämnt tal och HL är 1 (udda). Detta leder till en motsägelse.

VAD ÄR DET FÖR FEL PÅ FÖLJANDE BEVIS?

MARKÖR

HÄR!

1.4 Trigonometriska ekvationer Grundekvationer Ekvationer som omformas med formler

GRUNDEKVATION FÖR SINUS

x1  v  n  360

x2  180  v   n  360

GRUNDEKVATION FÖR SINUS DEGREES

SINUS

DEGREES

SINUS

60

0,866025

120

0,866025

420

0,866025

480

0,866025

780

0,866025

840

0,866025

1140

0,866025

1200

0,866025

1500

0,866025

1560

0,866025

1860

0,866025

1920

0,866025

2220

0,866025

2280

0,866025

2580

0,866025

2640

0,866025

2940

0,866025

3000

0,866025

3300

0,866025

3360

0,866025

GRUNDEKVATION FÖR COSINUS

x1,2  v  n  360

Uppgift 1419 a) 450° £ x £ 900°

Uppgift 1419 a) 450° £ x £ 900°

180

180

180

180

180

180

180

180

180

180

Uppgift 1419 b)

cos(4 x  11)  0, 42

?

1

4 x  11   cos (0, 42) Vi får två fall. Vilka? I

4 x  11  65  n  360 II

4 x  11  65  n  360

- 90° £ x £ 90°

Uppgift 1419 b) I

4 x  11  65  n  360 4 x  54  n  360 x  14  n  90 Hur skall vi tänka nu?

- 90° £ x £ 90°

Uppgift 1419 b) II

4 x  11  65  n  360 - 90° £ 4 x  76  n  360 x  19  n  90 Hur skall vi tänka nu?

x £ 90°

Uppgift 1419 b) x1  14  n  90 - 90° £ x £ 90°

x2  19  n  90

I

II

-76º

-19º

14º

71º

Svar: -76º, -19º, 14º & 71º,

Dubbla vinkeln för sinus

?

Dubbla vinkeln för cosinus

?

Hur ser denna graf ut?

Socrative