Le but de cet exercice est de montrer que les points A, E et F sont

Correction du devoir en temps libre n° 3 On considère la figure suivante : ABCD est un carré. Les triangles DEC et BCF sont équilatéraux.

Le but de cet exercice est de montrer que les points A, E et F sont alignés.

a) Mesures des angles  CDE et  DEC : DEC étant un triangle équilatéral, tous ses angles mesurent 60°. Donc  CDE =  DEC =60°. b) Mesure de l'angle  EDA :  ABCD étant un carré, ADC = 90° donc  EDA =90°-60° = 30° c) Nature du triangle ADE : Comme ABCD est un carré, on a DC = AD. Comme DEC est un triangle équilatéral, on a DC = DE

Donc AD = DE et ADE est un triangle isocèle en D.

d) Mesure de l'angle  AED : D'après la question précédente, AED est un triangle isocèle en D donc  EAD =  AED . D'après la question b)  = 30°. EDA La somme des angles d'un triangle étant toujours égale à 180°, on peut donc écrire : 180 – 30 150  = = 75°. AED +  EAD + 30° = 180°. Soit  AED =  EAD = 2 2 e) Mesure de l'angle  BCF : BCF est un triangle équilatéral donc  BCF = 60° f) Nature du triangle CEF : CEF est un triangle isocèle en C car CE = CF (égalités des côtés des triangles équilatéraux et du carré). De plus  ECB = 90° - 60° = 30° et BCF = 60° ( question précédente). Donc ECF = 60 + 30 = 90° et CEF est un triangle isocèle et rectangle en C. g) Mesure de l'angle  CEF : Comme CEF est un triangle isocèle et rectangle en C et que la somme des angles d'un 180 – 90 90 = =45° . triangle est égale à 180°, on a  CEF = 2 2 AED +  h) Calcul de la somme  DEC +  CEF On a trouvé  AED = 75° ( question d)),  DEC = 60° ( question a) ) et  CEF = 45°    ( question g)), donc AED + DEC + CEF = 75 + 60 + 45 = 180° AED +  i) Conclusion :  DEC +  CEF =  AEF =180°. L'angle  AEF est donc un angle plat, cela signifie que les points A, E et F sont alignés.