Le cyclotron (Corrigé)

3IMRT, Particule chargée dans les champs électrique et magnétique III - Le cyclotron (Corrigé) D’ D

Un cyclotron est constitué par deux demi-boites cylindriques D et D' à l'intérieur desquelles on établit un champ magnétique de  vecteur représentatif B . Dans l'espace compris entre les deux demi-boites, on établit une tension UDD’allternative de valeur maximale U. Des ions positifs de charge q, de masse m sont injectés en O avec une vitesse négligeable.

 B

1. La tension UDD’est positive. a) Établir les expressions littérales en fonction de q, U et m, de l'énergie cinétique EC et de la vitesse v de ces ions à leur première arrivée en D'.

xO

 B

vue de dessus

Onappl i quel et héor èmedel ’ éner gi eci nét i queàuni ondemassem etdechar geqsoumis à la tension ou différence de potentiel UDD’= VD- VD’pendant son déplacement de DàD’ dans le référentiel terrestre supposé galiléen ( Lepoi dsdel ’ i onestnégl i geable par rapport à la force électrique exer céesurl ’ i on)

 EC( D’ )–EC(D) = WDD’( Félectrique ) soit : EC –0 = q(VD- VD’) donc : EC= qU

EC = ½ mv2 donc : v =

2EC et v = m

2qU m

Calculer EC en joule puis en électron-volts ainsi que la vitesse v.

EC = 3,2 x 10 -19 x 105 = 3,2 x 10 -14 J = 3,2 x 10 -14 / 1,60 x 10-19 = 2 x 105 eV ( = 200 keV) 2 3,2 1019 105 = 1,4 x 106 m.s-1 27 3,3 10

v=

Données : q = 3,2. 10

-19

C, m = 3,3.10

-27

5

kg,

U = 10 V.

b) Ces ions penètrent alors dans D'. Quel est ensuite leur mouvement ? Exprimer en fonction de B, q, U et m le rayon R1 de leur trajectoire. Calculer R1 si B = 1 T.



mouvement circulaire uniforme dans un plan perpendiculaire au champ magnétique B R1=

mv avec v = qB

m 1 2mU 2qU 2qU 2 3,3 10-27 105 soit : R1= . ; R1 = = = 4,5 x 10-2m m m B q 3,2 10-19 qB = 4,5 cm

2. Les ions ressortent de D'. On inverse alors la tension UDD’en lui gardant la même valeur U. Établir les expressions : a) de leur vitesse v2 à l'entrée de D et leur énergie cinétique;

L’ i onef f ect ueun2ème passageent r el esdeesdoncacqui er tl ’ éner gi eEC2 = 2qU soit : ½ mv22 = 2qU ; v2 =

4qU m

=

2 2qU m

donc : v2 =

2 .v

b) du rayon R2 de leur trajectoire dans D

R2 =

mv 2 qB

=

2

mv qB

soit : R2 =

2 .R 1 au 2ème passage entre les dees

c) du rayon de la trajectoire des ions en fonction de n, nombre de passages entre D et D' et de R1.

àchaquepassageent r el esdees,l ’ i onaccumul el ’ éner gi eqUdoncaprès le nème passage, l ’ i on possède l ’ énergie ECn avec la vitesse vn telles que

ECn = ½ mvn2 = nqU donc vn = alors : Rn =

mvn qB

=

n

mv qB

2nqU m

soit Rn =

=

n

2qU m

soit : vn =

n. v

n .R1

3. Le cyclotron ayant un rayon de 49,5 cm, calculer le nombre de tours décrit par ces ions el leur énergie cinétique à leur sortie (en eV). 2

2

R  49,5  n= donc : n =  n  =  = 121 passages soit : 121 / 2 = 60,5 tours R1 R 1  4,5  Rn

ECn = nqU soit : Ecn = nEC = 121 x 200 keV = 24200 keV = 24,2 MeV