Le parallélogramme

Chapitre VII : Les quadrilatères I-

Les quadrilatères. Définition : Un quadrilatère est une forme géométrique plane, qui a quatre côtés.

Exemples : Les figures ci-dessous sont des quadrilatères.

Figure 1

Figure 2

Figure 3

Figure 5

II-

Le trapèze : Définition : Un trapèze est un quadrilatère, qui a deux côtés parallèles.

Exemples : Les figures (2) et (5) sont des trapèzes.

III-

Le parallélogramme :

Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère, dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Exemples : La figure (5) est un parallélogramme.

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Remarque : Un parallélogramme est un trapèze, mais un trapèze n’est pas forcément un parallélogramme.

1- Ensemble des quadrilatères :

Les quadrilatères

Les parallélogrammes

Les rectangles, les losanges et les carrés sont des parallélogrammes.

2- Propriétés d’un parallélogramme. Dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur. A

D

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B

C

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P1

Hypothèse : ABCD est un parallélogramme. Conclusion : AB=DC et AD=BC.

Dans un quadrilatère, si les côtés opposés sont égaux deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

R1

Hypothèse : AB=DC et AD=BC. Conclusion : ABCD est un parallélogramme.

Dans un parallélogramme les angles opposés sont égaux deux à deux. A

D

P2

B

C

Hypothèse : ABCD est un parallélogramme. Conclusion : Aˆ  Cˆ et Bˆ  Dˆ .

Dans un quadrilatère, si les angles opposés sont égaux deux à deux, ce quadrilatère est un parallélogramme.

R2

Hypothèse : Aˆ  Cˆ et Bˆ  Dˆ Conclusion : ABCD est un parallélogramme.

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Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles deux à deux et de même longueur.

P3

Hypothèse : ABCD est un parallélogramme. Conclusion : (AB) // (DC) et AB = DC.

Dans un quadrilatère, si deux côtés sont parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

R3

Hypothèse : (AB)//(DC) et AB = DC . Conclusion : ABCD est un parallélogramme.

Dans un parallélogramme les diagonales se coupent en leur milieu.

A

B

O

D P4

C

Hypothèse : ABCD est un parallélogramme. Conclusion : [AC] et [BD] ont le même milieu O

Dans un quadrilatère, si les diagonales se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

R4

Hypothèse : [AC] et [BD] ont le même milieu O. Conclusion : ABCD est un parallélogramme.

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3- Parallélogrammes particuliers.

A- Rectangle :

Définition : Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit.

Propriété : Dans un rectangle les diagonales ont la même longueur.

Réciproque : Si dans un parallélogramme les diagonales ont la même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle.

B- Losange :

Définition : Un losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.

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Conséquence : Un losange est un parallélogramme qui a quatre côtés de même longueur.

Propriété : Dans un losange les diagonales sont perpendiculaires en leur milieu.

Réciproque : Si dans un parallélogramme les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu, alors ce parallélogramme est un losange.

C- Carré :

Définition : Un carré est un parallélogramme dont les angles sont droits et les côtés sont égaux.

Propriété : Un carré est à la fois un rectangle et un losange.

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Conséquences :  Comme dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.  Comme dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur.  Comme dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires.

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