leçon 4

Leçon

04 :

Description Mathématique d’une expérience aléatoire : événements élémentaires, événements, probabilité (on se limitera au cas où l’ensemble d’éléments élémentaires est fini)

Pré requis : Langage ensembliste & Notion de dénombrement

I) Expérience aléatoire Oral : Jeter un dé équilibré, tirer une carte, jeter une pièce en l’air et regarder si elle tombe sur pile ou face ; toutes ces expériences sont telles que l’on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance : ce dernier est du au hasard. Définition 1 : (i) Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat de façon certaine. (ii) On appelle univers Ω l’ensemble de toutes les issues (ou éventualités) possibles w d’une expérience aléatoire. Notation : On suppose ici que Ω est de cardinal fini n soit Ω={𝑤1 , … , 𝑤𝑛 } Remarque : Une même expérience aléatoire peut conduire à différents univers. Exemple (oral) : On lance une pièce deux fois de suite. On peut : -soit s’intéresser aux résultats obtenus et Ω= {PF, FP, PP, FF} -soit compter le nombre d’apparitions de « pile » et Ω’= {0, 1,2} Définition 2 : On appelle (i) événement toute partie de Ω. (ii) événement élémentaire, un événement réduit à une issue. (iii) événement impossible : ∅. (iv) événement certain : Ω Exemple (oral) : On lance un dé. Soit Ω= {1, 2, 3, 4, 5,6} alors (i) « Obtenir un résultat pair » (ii) « Obtenir un multiple de 2 et de 3 » (ii) « Obtenir plus de 7 » (iv) « Obtenir un nombre pair ou impair » Définition 3 : (i) On dit qu’une issue w est favorable à un événement A si 𝑤 ∈ 𝐴 (ii) Deux événements A et B sont dits incompatibles si A∩B=∅. Si, de plus, A∪B=Ω, ils sont dits ̅. contraires (ou complémentaires) et B est noté A Exemple (oral) : Pour un lancer de dé, les événements « Obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre impair » sont contraires. Terminologie : Langage Ensembliste Ensemble des Eventualités Elément de Ω Partie de Ω Singleton Ensemble Vide Complémentaire de A Réunion de 2 parties Intersection de 2 parties Parties disjointes Inclusion

Langage Probabiliste Univers Eventualité (ou issue) Evénement Evénement élémentaire Evénement impossible Evénement contraire A ou B réalisé A et B réalisé Evénements incompatibles A implique B

Notation Ω 𝑤𝑖 ∈ Ω A⊂ Ω {𝑤𝑖 }⊂ Ω ∅ ̅ A = Ω\A A∪B A∩B A∩B=∅ A⊂B

II) Probabilités Notons P(Ω) l’ensemble des parties de Ω

2-1 Définition Définition 4 : *Une probabilité P sur Ω est une application P : P(Ω) ⟶ [0,1] tel que : P(Ω)=1 Si A et B sont des événements incompatibles alors P(A∪B)=P(A) +P(B) *∀ A ⊂ P(Ω), P(A) est appelé probabilité de l’événement A. * (Ω, P(Ω), P) est appelé probabilité de l’événement A. Remarque (Oral) : Une probabilité donne une valeur numérique indiquant la chance qu’un événement se réalise. Exemple : On lance une fléchette contre une cible jaune au centre, rouge à l’extérieur et noir entre ces deux couleurs. On note la couleur obtenue ; on pose donc Ω= {J, N, R}. Alors l’application P tel que : P(∅)=0, P ({J})=1/9, P ({N})=3/9, P ({R})=5/9 P ({J, R})=2/3, P ({N, J})=4/9, P ({N, R})=8/9 et P(Ω)=1 est une probabilité sur Ω.

2-2 Propriétés Théorème 1 : Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé. Alors : 1) P(∅)=0 ̅ ) = 1 − P(A) 2) P(A 3) Si 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 sont n événements incompatibles 2 à 2 alors : P(⋃𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 ) 4) ∀ A, B ∈ P(Ω), P(A∪B)=P(A) +P(B)-P(A∩B) 5) Si A⊆B⊆ P(Ω) alors P(A) ≤P(B) Démonstration : 1) Ω=Ω∪∅ et Ω∩∅=∅ alors P(Ω)=P(Ω) +P(∅) ⟹1=1+P(∅) ⟹P(∅)=0. 2) Ω=A∪𝐴̅ et ∅=A∩𝐴̅ ⟹ P(Ω)=P(A) +P (𝐴̅) ⟹P(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴). 3)Par récurrence sur n 4)A∪B=(A\B) ∪ (B\A) ∪ (A∩B) union disjointe Or P(A)= P(A\B)+P(A∩B) P(B)=P(B\A)+P(A∩B) D’où P(A∪B)=P(A)-P(A∩B)+P(B)-P(A∩B)+P(A∩B) 5) B=(B\A)∪A ⟹P(B)=P(B\A)+P(A) ⟹ P(A)=P(B)-P(B\A)≤P(B)∎ Exercice : A et B sont deux événements d’une même expérience aléatoire tel que P(A)=0,3, P(A∪B)=0,7 et ̅). P(A∩B)=0,2. Déterminer P(B Théorème 2 : Une application P : P(Ω) ⟶ [0,1] est une probabilité sur Ω si et seulement si 1) ∑𝑤∈Ω 𝑃({𝑤}) = 1 { 2) ∀ 𝐴 ⊆ P(Ω) tel que A ≠ ∅ P(A) = ∑w∈A P({w}) Démonstration : ⟹Soit A⊆ P(Ω) tel que A≠∅ P(A)=P(⋃𝑤∈𝐴{𝑤}) = ∑𝑤∈𝐴 𝑃({𝑤}). (Si A=Ω, on a 1) ) ⟸ 1) P(Ω)= P (⋃𝑤∈𝛺{𝑤}) = ∑𝑤∈𝛺 𝑃({𝑤})=1 2) Si A, B⊆ P(Ω) tel que A∩B=∅ alors P(A∪B)=∑𝑤∈𝐴∪𝐵 𝑃({𝑤}) = ∑𝑤∈𝐴 𝑃({𝑤}) + ∑𝑤∈𝐵 𝑃({𝑤}) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). ∎ Définition 5 :*Définir une loi de probabilité P pour une expérience aléatoire, c’est associer à chaque issue 𝑤𝑖 , 𝑖 ∈ {1 … 𝑛}, un nombre 𝑝𝑖 ∈ [0,1] tel que ∑𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 = 1. *Modéliser une expérience aléatoire, c’est lui associer une loi de probabilité. Exercice : Un dé est déséquilibré de sorte que la probabilité de sortie de chaque numéro est proportionnelle à celuici. Donner la loi de probabilité ainsi définie sur Ω= {1, 2, 3, 4, 5,6}.

2-3 Equiprobabilité Définition 6 : On dit que la probabilité P est uniforme sur Ω ou qu’il y a équiprobabilité si ∀w, w’∈Ω P ({w})=P ({w’}) Exemple (Oral) : Lancer d’un dé équilibré. Proposition 1 : Si P est uniforme sur Ω, alors ∀ A ⊆ P(Ω), P(A)=

𝑐𝑎𝑟𝑑 𝐴 𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω

Démonstration : Soit A⊆ P(Ω) tel que card(A)=a≥1 ainsi A= {𝑤1 , … , 𝑤𝑎 }. Alors A=⋃𝑎𝑖=1 𝑤𝑖 réunion disjointe D’où P(A)=∑𝑎𝑖=1 𝑃({𝑤𝑖 }) = 𝑎. 𝑃({𝑤1 }). Si A=𝛺, card(Ω)=n et puisque P(Ω)=1=n.P ({𝑤1 }) d’où P ({𝑤1 }) = 1/𝑛.∎ Exercice : Dans un jeu de 32 cartes, on tire 6 cartes. Donner la probabilité d’obtenir 2 valets. Correction : Soit A= « Obtenir 2 valets » (32 ) = 906192 façons de tirer 6 cartes 6 4 (2) = 6 manières différentes de choisir 2 valets (28 ) = 20475 possiblilités pour les 4 dernières cartes 4 Alors P (A) =

6∗20475 906192

≈ 0,136.

2-4 Formule de Poincaré (dite du crible) Théorème 3 : Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé et 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 n événements de Ω. Alors : 𝑛

𝑃(⋃ 𝑖=1

𝑛

𝐴𝑖 ) = ∑((−1)𝑘+1 ∑ 𝑃(⋂ 𝐴𝑖 )) 𝑘=1

𝐼∈𝑃𝑘 (𝑛)

𝑖∈𝐼

où 𝑃𝑘 (𝑛) est l’ensemble des parties à k éléments de {1…n}. Démonstration : voir TD 2 module 7 Application : On considère n boules et n tiroirs numérotés de 1 à n. On dépose une boule dans chaque tiroir (on suppose équiprobabilité). Quelle est la probabilité qu’aucun de ces tiroirs ne contienne une boule ayant le même numéro ? Correction : voir TD 2 module 7

III) Applications 3-1 Problème posé à Galilée par le Prince de Toscane Le Prince de Toscane demanda un jour à Galilée : « Pourquoi lorsqu’on jette trois dés, obtient-on le plus souvent la somme 10 que la somme 9, bien que ces deux sommes soient toutes deux obtenues de six façons différentes ? ». Modéliser le problème, répondre à la question. Quelle erreur a commis le prince ?

3-2 Problème posé à Pascal au Chevalier de Méré Quel est le plus probable : sortir au moins un 6 en lançant quatre fois un dé ou sortir au moins un double 6 en lançant vingt quatre fois deux dés ?

3-3 Anniversaires On considère un groupe de n personnes. Déterminer la probabilité qu’au moins deux personnes fêtent leur anniversaire en même temps. (On suppose que toutes les années comptent 365 jours) Correction : On pose Ω=⟦1,365⟧𝑛 et P la probabilité uniforme sur P(Ω). Notons A= « Au moins deux personnes fêtent leur anniversaire le même jour » 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴̅) 𝐴𝑛 P(A)=1-P(𝐴̅)=1=1- 365𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑑 𝛺

365

Si n=23 on a P(A)≈0,5, on atteint même 0 ,99 pour n=57