Leçon N° 5 : Les probabilités

Leçon N° 5 : Les probabilités Ce cours a été commencé en première aussi, une sérieuse révision s’impose. C’est en premier lieu une question de vocabulaire. Chaque action dans une situation donnée donne naissance à un univers E ou Ω. Par exemple si nous jetons deux dés l’un après l’autre, l’univers sera E = { (x ; y) x face du dé 1 et y face du dé 2} ou si nous choisissons une lampe dans une chaîne de production pour la tester alors : E ={ {x} x la lampe choisie} etc. Il faut ensuite apprendre à compter les éléments de l’univers, cela nous donne Card E, le nombre total d’éventualités. Dans l’exemple du dé, card E = 6(6) = 36 éventualités en effet, nous avons six choix possibles pour le premier dé et 6 pour le deuxième, les dés sont jetés l’un après l’autre donc (3 ; 6) ≠ (6 ; 3), l’ordre intervient. Dans le deuxième exemple, tout dépend du nombre de lampes testés, si le test porte sur 1000 lampes alors, Card E = 1000 éventualités. Tout regroupement d’éventualités donne naissance à un événement A ou B ou C dont on doit être capable de dénombrer le nombre des éventualités. Exemple : pour les dés, A : « Sortir un double », Card A = 6 car on a 6 possibilités : (1 ;1) ; (2 ; 2) ; (3 ; 3) ; (4 ; 4) ; (5 ; 5) et (6 ; 6) Pour les lampes, si l’énoncé précise que 0,5% des lampes sont défectueuses alors si l’événement étudié est A : « tirer une lampe défectueuse » alors Card A = 1000(0,005) = 5 lampes. Lorsque le jeu ou la situation étudiée est soumis au pur hasard alors, nous sommes dans une situation d’équiprobabilité c’est-à-dire chaque éventualité a la même chance de se produire. Lorsque nous lançons les deux, chaque éventualité a une probabilité d’apparition 1 qui est égale à . Pour les lampes, chaque lampe a une probabilité d’être choisie égale à 36 1 . 1000 Théorème : Dans l’équiprobabilité, nous utilisons la formule de Pascal. Soit A un événement, alors P(A) =

Card A . Card E

Il faut se souvenir qu’une probabilité est en fait une fréquence d’apparition. Conséquence : Pour tout évènement A, 0 ≤ P(A) ≤ 1. (Soit P(A) entre 0 et 100%) Il y a deux cas particuliers important : L’évènement impossible : ∅, P(∅ ∅) = 0 (Par exemple « sortir 7 et 8 avec deux dés ») L’évènement certain : E, P(E) = 1 (Par exemple « sortir deux entiers entre 0 et 6 avec deux dés ») Voyons nos deux exemples : Card A 6 1 P(« sortir un double ») = = = ≈ 0,167 = 16,7%. Card E 36 6 Il y a trois écritures possibles pour une probabilité, un quotient irréductible, une écriture décimale ou le pourcentage. Card A 5 P(« lampe défectueuse » = = = 0,005 = 0,5%. Card E 1000

Il y a aussi les jeux truqués ou les phénomènes qui ne sont pas dus au pur hasard. Il faut alors avoir la probabilité de chaque éventualité pour pouvoir calculer la probabilité d’un évènement. Par exemple, si un évènement A est composé de trois éventualités, e1, e2 et e3 alors, P(A) = P(e1) + P(e2) + P(e3). Il y a ensuite quelques théorèmes simples : Th1 : Si on a deux évènements A et B incompatibles (c’est-à-dire A∩B = ∅, A et B ne peuvent pas se produire en même temps) alors : P(A∪ ∪B) = P(A) + P(B). Si les deux évènements ne sont pas incompatibles alors : P(A∪ ∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩ ∩B). Th2 : Tout événement A possède son événement contraire noté A . ( A ∪ A = E ; A ∩ A =∅) et nous avons P(A) = 1− P( A ). Dans certains problèmes, nous utilisons la technique de l’arbre : Exemple : nous jetons deux pièces de monnaies l’une après l’autre. Nous pouvons dessiner l’arbre suivant :

Pile

(Pile ; Pile)

P((Pile ; Pile)) = 0,5(0,5) = 0,25

Face

(Pile ; Face)

P((Pile ; Face) = 0,25

0,5

Pile

((Face ; Pile)

P((Face ; Pile)) = 0,25

0,5

Face (Face ; face)

0,5 Pile 0,5 0,5 ° 0, 5 Face P((Face ; Face)) = 0,25.

L’univers E est composé par des couples (L’ordre intervient première pièce puis deuxième pièce) : E = { (Pile ; Pile) ; (Pile ;Face) ; (Face ;Pile) ; (Face ; Face) }. Nous avons 4 éventualités, nous sommes dans une situation d’équiprobabilité et donc : 1 P((Pile ; Pile)) = P((Pile ; Face)) = P((Face ; Pile)) = P((Face ; Face)) = = 0,25 =25%. 4 Nous pouvons compléter l’arbre en faisant apparaître les probabilités. Voilà, nous pouvons passer à la fiche de terminale.

TERMINALE STG

FICHE LES PROBABILITES

Exercice 1(BAC 2010) Dans un lycée, on interroge les élèves de terminale STG sur leurs intentions d’orientation post-bac après le conseil de classe du troisième trimestre. On compte parmi ces élèves 45 % de filles. – 95 % des filles souhaitent s’inscrire en BTS ou DUT. 0,45

...........

0,95

E

.........

E

........

E

........

E

A

B

– 90 % des garçons souhaitent cette même orientation. On choisit une fiche au hasard. Chaque fiche a la même probabilité d’être choisie. On note A, B et E les évènements suivants : – A : « l’élève est une fille » ; – B : « l’élève est un garçon » ; – E : « l’élève souhaite s’inscrire en BTS ou DUT ». 1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant : 2. Définir par une phrase l’évènement A ∩ E . 3. Calculer les probabilités des évènements A ∩ E et B ∩ E . 4. Calculer la probabilité conditionnelle de A sachant E, notée pE ( A ) et celle de B sachant E notée pE ( E ) .

Comparer ces probabilités. Que peut-on en conclure ? Exercice 2 (BAC 2009) En octobre 2007, une entreprise française de transport lance une nouvelle tarification et commande auprès d’un institut de sondage une enquête de satisfaction sur l’ensemble de sa clientèle. Cette étude est réalisée auprès d’un échantillon représentatif de 4 000 clients et ne concerne qu’un seul et même type de transport. Lors de l’étude, deux questions sont posées : l’une demandant si le client possède ou non une carte de réduction et l’autre concernant la fréquence d’utilisation de ce mode de transport. • Parmi les personnes interrogées 35 %, soit 1 400 personnes, ont une carte de réduction. • 1 190 personnes ayant une carte de réduction utilisent ce mode de transport au moins dix fois par an. • Un dixième des personnes de l’échantillon représentatif, sans carte de réduction, voyage au moins dix fois par an. On choisit au hasard un client parmi les 4 000 interrogés et on considère les évènements C et T suivants : C : « le client interrogé détient une carte de réduction », T : « le client interrogé utilise ce mode de transport au moins dix fois par an ». Sauf indication contraire, on donnera les valeurs exactes des résultats demandés.

1. Donner grâce à l’énoncé les probabilités conditionnelles pC (T ) ) et pC (T ) . 2. a. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous : T 0,85 C 0,35

T T 0,1 C T

b. Calculer la probabilité p ( C ∩ T ) . c. Calculer la probabilité que le client interrogé utilise ce mode de transport au moins dix fois par an. d. Les deux évènements C et T sont-ils indépendants ? 3. Calculer la probabilité que, sachant qu’il voyage au moins dix fois par an, le client ait une carte de réduction. On donnera une valeur arrondie à 0,01. Exercice 3 (BAC 2008) Un lac contient exclusivement trois sortes de poissons : 40 % des poissons sont des brochets, 25 % des poissons sont des truites et le reste est constitué de sandres. 50 % des brochets de ce lac sont de taille réglementaire ainsi que 60 % des truites et 45 % des sandres. On pêche un poisson de ce lac : tous les poissons ont la même probabilité d’être pêchés. On considère les évènements suivants : • B : « le poisson pêché est un brochet » ; • T : « le poisson pêché est une truite » ; • S : « le poisson pêché est un sandre » ; • R : « le poisson pêché est de taille réglementaire » ; • R : l’évènement contraire de R. 1. Décrire par une phrase l’évènement T ∩ R . 2. Compléter l’arbre de probabilité de ce problème Dans les questions suivantes, les résultats seront arrondis au centième. 3. a. Justifier que la probabilité que le poisson pêché soit un brochet de taille réglementaire est égale à 0,20. b. Calculer la probabilité que le poisson pêché soit un sandre de taille réglementaire, c. Montrer que la probabilité que le poisson pêché soit de taille réglementaire est sensiblement égale à 0,51. d. En déduire p ( R ) . 4. Sachant que le poisson pêché n’est pas de taille réglementaire, quelle est la probabilité que ce soit une truite ?

Correction Au programme, cette année, les probabilités conditionnelles. Soit un événement A supposé réalisé, la probabilité d’avoir B réalisé sera : P( A ∩ B ) P(A) ≠ 0. PA (B ) = P( A ) Ceci peut apparaître dans un arbre : B

A et A sont complémentaires Dans la partie droite de l’arbre Nous supposons A ou A réalisés et donc sur les branches à droite, nous avons les probabilités conditionnelles.

PA(B) A P(A) P( A )

PA( B ) B PA (B) B

Par exemple : PA(B) probabilité de B sachant que

A PA (B)

A est réalisé.

B

Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si PA (B ) = P(B ) . En fait, la réalisation de A n’influe pas sur celle de B. Dans les problème, nous regarderons si P(A∩ ∩B) = P(A)P(B) en effet, si PA (B) = P(B) alors P(A ∩ B) PA (B) = = P(B) soit P(A∩B) = P(A)P(B). P( A) Evidemment, si P(A∩B) ≠ P(A)P(B) alors, les deux évènements A et B ne sont pas indépendants, ils sont dépendants l’un de l’autre. Formule des probabilités totales : Soit A1, A2, ……, An une partition de l’univers E, alors pour tout événement B, nous aurons : P(B) = PA1(B)P(A1) + PA2(B)P(A2) + …… + PAn(B)P(An) ou autrement écrit P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + …… + P(B∩An). Regardons avec A, A ,B. Pour bien comprendre faisons un dessin : Voici figuré un univers E

B E

A et A forment une partition de E c’est-à-dire : A ∪ A = E et A ∩ A = ∅. ∩A) + P(B∩ ∩ A ) ou PA(B) P(A) + PA (B) P( A ). Pour avoir P(B), nous faisons P(B) = P(B∩

Exercice 1 On choisit une fiche au hasard donc nous sommes dans une situation d’équiprobabilité. L’univers est Ω ={une fiche d’élève x}. Grâce aux informations contenues dans l’énoncé, nous pouvons compléter l’arbre : 95 % des filles souhaitent s’inscrire en BTS ou DUT, il s’agit d’une probabilité conditionnelle, PA(E)= 95% = 0,95 (Fréquence conditionnelle des vœux BTS ou DUT par rapport aux filles). 90 % des garçons souhaitent cette même orientation, de même, il s’agit d’une probabilité conditionnelle PB(E)= 90% = 0,90. E représente : « l’élève souhaite une autre orientation que BTS ou DUT » PA( E ) = 1 – 0,95 = 0,05 = 5%. PB( E ) = 1 – 0,90 = 0,10 = 10%. En effet, au niveau de chaque nœud dans l’arbre la somme des probabilités est égale à 1 : (P(A) + P(B) = 1 ; de même PA(E) + PA( E ) = 1 et PB(E) + PB( E )) . Au début de l’arbre, nous avons 45% de filles, P(A) = 45% = 0,45 et donc P(B) = 55% = 0,55. A et B sont aussi complémentaires dans l’univers Ω. 1) Voyons l’arbre pondéré :

2) A∩E représente un évènement : « la fiche d’une fille ayant demandé BTS ou DUT comme vœux ». P(A ∩ E) 3) Nous savons que PA (E ) = donc P(A∩E) = PA(E)P(A) donc : P( A ) P(A∩E) = 0,45 (0,95) = 0,4275 soit 42,75%. De même pour B∩E : « la fiche d’un garçon ayant demandé BTS ou DUT comme vœux » P(B ∩ E) PB (E) = et donc P(B∩E) = PB(E)P(B) soit : P(B) P(B∩E) = 0,55 (0,90) = 0,495 soit 49,5%. 4) PE(A) représente la probabilité que la fiche choisie soit celle d’un garçon sachant que l’élève fait partie de ceux qui ont fait comme vœux BTS ou DUT. P(E ∩ A) PE(A) = P(E) P(E∩A) = P(A∩E) = 0,4275 mais il faut calculer P(E). Nous utilisons la formule des probabilités totales : P(E) = P(A∩E) + P(B∩E) = 0,4275 + 0,495 = 0,9225 (92,25%).

0,4275 4275 19 = = ≈ 0,4634 soit environ 46,3%. 0,9225 9225 41 P(E ∩ B) P(B ∩ E ) 0,495 4950 22 PE(B) = = = = = ≈0,537 soit environ 53,7%. P( E ) P(E) 0,9225 9225 41 Si nous comparons ces deux probabilités, nous pouvons dire qu’elles sont proches l’une 19 22 de l’autre ( et ) cela montre que, parmi ceux qui ont demandé BTS ou DUT, nous 41 41 avons à peu près le même nombre de filles et de garçons. Le pourcentage de garçons est cependant légèrement supérieur. Conclusion : PE (A) =

Exercice 2 1. Parmi les 1400 personnes ayant une carte de réduction, 1190 personnes utilisent ce mode de transport au moins dix fois par an, il s’agit d’une probabilité conditionnelle 1190 donc pC ( T ) = = 0,85 . pC(T) = 0,85 = 85%. 1400 Un dixième des personne de l’échantillon représentatif , sans de réduction , voyage au 1 moins dix fois par an , donc pC ( T ) = = 0,1 . p C (T) = 0,1= 10%. 10 2. a. Parmi les personnes interrogées 35 % ont une carte de réduction , donc p ( C ) = 0,35 . C et C sont contraires donc P( C ) = 1 – 0,35 = 0,65 = 65%.

0,35

0,65

0,85

T

0,15

T

0,1

T

C

C 0,90

T PC( T ) = 1 – 0,85 = 0,15 = 15% et PC ( T ) = 1 – 0,1 = 0,9 = 90%.

b. C ∩ T est l’événement « la personne a une carte de réduction et voyage au moins dix fois par an ». donc nous pouvons utiliser la formule de probabilité conditionnelle soit p ( C ∩ T ) = pC (T ) × p ( C ) = 0,85 × 0,35 = 0, 2975 = 29,75%. 1190 = 0,2975 = 29,75%. 4000 c. C et C forment une partition de l’ensemble de référence : (C ∪ C = E, l’univers et C ∩ C = ∅) , donc en appliquant la formule des probabilités totales on a :

Nous aurions pu aussi faire : P(C∩T) =

(

)

( )

p (T ) = p ( C ∩ T ) + p C ∩ T = pC (T ) × p ( C ) + pC (T ) × p C . P(T) = 0,2975 + 0,65 (0,1) = 0,3625 = 36,25%. d. C et T sont indépendants si p ( C ∩ T ) = p ( C ) × p (T )

or p ( C ∩ T ) = 0, 2975 et p ( C ) × p (T ) = 0,35 × 0,3625 = 0,126875

donc p ( C ∩ T ) ≠ p ( C ) × p (T ) , et les événements C et T ne sont pas indépendants. 3. la probabilité que, sachant qu’il voyage au moins dix fois par an, le client ait une carte de p (T ∩ C ) 0, 2975 réduction est : pT ( C ) = = ≈ 0,820689 ≈ 0,82 ≈ 82%. p (C ) 0, 3625 Exercice 3 1) T∩R représente l’évènement suivant : « le poisson pêché est une truite de taille réglementaire ». 2) Ici l’arbre est un peu plus compliqué, il a trois branches au départ car nous avons trois sorte de poissons, les brochets (B), les truites (T) et les sandres (S). R 0,5 B

0,5

R

0,40 0,25

0,6

R

0,4

R R

T

0,35 S

0,45 0,55 R

Explications : L’énoncé donne le pourcentage des Brochets (40% = 0,4) celui des truites (25% = 0,25), nous en déduisons le pourcentage des sandres, 100% − 40% − 25% = 35% soit 0,35. D’autre part, l’énoncé donne 50% des brochets sont de taille réglementaire, c’est une probabilité conditionnelle PB(R) = O,5 et donc PB (R ) = 50% = 0,5. De même pour les truites, PT(R) = 60% = 0,6 et donc PT( R ) = 100% − 60% = 40% = 0,4 et enfin pour les sandres, PS(R) = 45% = 0,45 et PS( R ) = 100% − 45% = 55% = 0,55. 3 – a) Nous devons calculer P(« le poisson pêché est un brochet de taille réglementaire » donc P(B∩R) = P(B) PB(R)= 0,40(0,5) = 0,20 (=20%) . b) De même P(S∩R) = P(S) PS(R) = 0,35(0,45) = 0,1575 ≈ 0,16 (au centième) (≈ 16%) c) B,T et S forment une partition de l’univers, nous pouvons appliquer la formule des probabilités totale pour calculer P(R) : P(R) = PB(R) P(B) + PT(R) P(T) + PS(R) P(S) ou plus simplement = P(B∩R) + P(T∩R) + P(S∩R) Nous avons P(B∩R) et P(S∩R), il nous faut calculer P(T∩R) : P(T∩R) = P(T) PT(R) = 0,25 (0,6) = 0,15 = 15%. P(R) = 0,20 + 0,15 + 0,1575 = 0,5075 ≈0,51 ≈ 51%. d) R et R sont complémentaires dans l’univers étudié en effet, les poissons sont ou ne sont pas de taille réglementaire donc P(R) + P( R ) = 1 et donc : P( R ) = 1 – P(R) = 1 – 0,5075 = 0,4925 ≈ 0,49 ≈ 49%.

4) Pour calculer la probabilité d’avoir une truite (T) sachant que le poisson n’est pas de taille réglementaire, nous utilisons la formule des probabilités conditionnelles : 0,1 P(T ∩ R ) 0,25 × 0,4 = = ≈ 0,20 ≈ 20%. PR (T ) = 0,4925 0,4925 P(R ) Pour le Bac, faire deux ou trois problèmes en plus, ils se ressemblent tous mais ne pas négliger de relire sa fiche sur le cours de première.