les espaces probabilisés finis

RÉSUMÉ n°23 : ESPACES PROBABILISÉS FINIS VOCABULAIRE PROBABILISTE D1 Soit  un ensemble. a)On note  () l’ensemble des parties de  . b)On dit que deux parties A et B de  sont distinctes si A  B . c)On dit que deux parties A et B de  sont disjointes si A  B   . D2 Soit  un ensemble. Un peu de vocabulaire : a)Univers : l’ensemble  tout entier. L’univers correspond à l’ensemble des résultats possibles (on dit aussi réalisations ou issues) d’une expérience. b)Événement de  : c’est une partie de  . c)Événement impossible : A   . d)Événement certain : A   . e)Événement élémentaire : tout singleton A  {} de  . f)Événement contraire de l’événement A : A   \ A : c’est le complémentaire de A dans  . g)Événement A ET B : il s’agit de l’événement A  B . h)Événement A OU B : il s’agit de l’événement A  B . i)Événements incompatibles : si A  B   : ce sont deux événements qui ne peuvent pas se produire simultanément. j)Système complet d’événements : toute famille  A1 , A2 ,..., An 

 Les événements  A1 , A2 ,..., An  forment alors une partition de  .

A1

i  j  Ai  Aj    d'événements de  vérifiant :  n .  Ai    i 1 A2

A4 A3

Expérience 1 : On lance un dé. Ici, l’univers est   {1, 2,3, 4,5, 6} : l’univers est fini. On considère les événements suivants : A : « le résultat est pair » et B : « le résultat est impair ». On a donc A  {2, 4,6} et B  {1,3,5} .

( A, B) est un système complet d’événements. A et B sont bien sûr incompatibles. Expérience 2 : On lance une pièce jusqu’à ce que l’on tombe sur « pile ». Ici, l’univers est    * : l’univers est infini discret. On considère l’événement suivant A : « on obtient « pile » en 5 lancers au plus ». On a A  {1, 2,3, 4,5} . Expérience 3 : On choisit au hasard un réel positif ou nul. Ici, l’univers est   [0, [ . L’univers est infini continu. On considère l’événement suivant A : « on obtient un nombre rationnel ». On a A   .

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PROBABILITÉS D3 Soit  un ensemble. On appelle probabilité sur  toute application P :  ()  [0,1] vérifiant les conditions suivantes :

 P ( )  1 .  2 ( A, B )   () : A  B    P ( A  B)  P( A)  P ( B ) On dit alors que  , P  est un espace probabilisé. Il est dit fini si  est un ensemble fini. P1 Soit  , P  un espace probabilisé fini. a)On a P()  0 .

 

b)On a A   () : P A  1  P ( A) . c)Si A  B   , alors P( A)  P( B ) . On dit qu’une probabilité est croissante. d) ( A, B )   () 2 : P  A  B   P ( A)  P ( B )  P  A  B  .

 n  n e)Si  A1 , A2 ,..., An  est une famille d’événements deux à deux incompatibles, alors on a : P   Ai    P  Ai  .  i 1  i 1 f)Si  A1 , A2 ,..., An  est un système complet d’événements de  , alors on a :

n

 P A  1 . i 1

i

D4 Soit  , P  un espace probabilisé fini. On dit que P est une probabilité uniforme (ou équiprobabilité) sur  si pour tout    , les probabilités élémentaires

P   ont toutes la même valeur. P2 Soit P une probabilité uniforme sur  . On a alors : a)    : P {} 

1 . card()

b)Pour toute partie A de E : P( A) 

card( A) . card()

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES  (, P) un espace probabilisé fini D5 Soient  .  A et B deux événements de  tels que P( B)  0 On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B réalisé le réel : PB ( A)  P ( A | B)  P3 Soit  , P  un espace probabilisé fini. a)Si B est un événement de  tel que P ( B )  0 , alors on a : P( B | B )  1 . b)L’application P(. | B) est une probabilité sur  .

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P  A  B P( B)

.

P4 La formule des probabilités composées.

  , P  un espace probabilisé fini  Soient  n  2 un entier .  n  1      A1 , A2 ,.., An  n événements tels que P   Ai   0  i 1   On a alors P  A1  A2  ...  An   P ( A1 ).P ( A2 | A1 ).P ( A3 | A1  A2 )...P ( An | A1  A2  ...  An 1 ) . P5 La formule des probabilités totales.

  , P  un espace probabilisé fini   Soient  n  2 un entier .    A1 , A2 ,.., An  un système complet d'événements de  tel que l'on ait pour tout i : P  Ai   0 n

On a alors, pour tout événement B de  : P( B)   P  Ai  .P ( B | Ai ) . i 1

P6 La formule de Bayes. Soit  , P  un espace probabilisé fini. a)Si A et B sont deux événements tels que P ( A)  0 et P ( B )  0 , alors on a P( A | B) 

P ( A) .P( B | A) . P( B)

b)Soit  A1 , A2 ,..., An  un système complet d’événements de  tel que l’on ait pour tout j : P( Aj )  0 .

événement B de  tel que P( B)  0 P ( B | Aj ).P( Aj ) P( B | Aj ).P( Aj )  On a alors, pour tous  : P( Aj | B)  n . P( B) entier j tel que 1  j  n  P  Ai  .P( B | Ai ) i 1

D6 Soit  , P  un espace probabilisé fini.

ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS

Les événements A et B de  sont dits indépendants si l’on a P ( A  B)  P( A).P( B) . P7 Soit  , P  un espace probabilisé fini.

 A et B sont deux événements indépendants de  Si  , alors on a P ( A | B)  P( A) .  P( B)  0 P8 Soit  , P  un espace probabilisé fini.



 

 



Si  A, B  est un couple d’événements indépendants de  , alors A, B , A, B , A, B sont aussi des couples d’événements indépendants de  . D7 Soient A1 , A2 ,.., An n événements de  . a)On dit que ces n événements sont deux à deux indépendants si :

(i, j )  {1, 2,..., n}2 tq i  j , les événements Ai et Aj sont indépendants. b)On dit que ces n événements sont mutuellement indépendants si :

  Pour tout partie I contenue dans {1, 2,..., n} , on a : P   Ai    P  Ai  .  iI  iI P9 Si n événements sont mutuellement indépendants, alors ils sont deux à deux indépendants. La réciproque est fausse. Page 3 sur 3