LES FONCTIONS DE REFERENCE

LES FONCTIONS DE REFERENCE I. Les fonctions affines : Définition : On appelle fonction affine toute fonction définie sur IR , ou sur un intervalle de IR , par f : x  ax + b avec a et b deux nombres réels. Propriétés : La représentation graphique d'une fonction affine est une droite d'équation y = ax + b. Le coefficient directeur est a et l'ordonnée à l'origine est b. Le vecteur directeur est u ( 1 ; a ). Si a > 0 la fonction est croissante . Si a = 0 la fonction est constante. La courbe représentative est une droite parallèle à l'axe des abscisses. Si a < 0 la fonction est décroissante. Tableau de variation : Si a > 0

Si a < 0 –

x f(x)

b a

x

0

f(x)

–

b a 0

b b . Le point de coordonnées ( – ; 0 ) est le a a point d'intersection de la courbe représentative de f avec l'axe des abscisses.

Remarques : f(x) = 0 si ax + b = 0 c'est-à dire si x = –

Si x = 0 f ( 0 ) = b. Le point de coordonnées ( 0 , b ) est le point intersection de la droite représentative de la fonction f avec l'axe des ordonnées.

Représentation graphique : Si a > 0

Si a = 0

Si a < 0 b b 0

0

-

0

b a

-

b a

b

Si b = 0 la fonction est dite linéaire. Sa courbe représentative est une droite passant par l'origine du repère. Exemple : Représenter dans un même repère les quatre fonction suivantes : f(x) = 10x – 2 ; g(x) = – 8x + 4 ; h(x) = 7x ; l(x) = – 3 1ère STI Ch 1 Les fonctions de référence 2010–2011 F.Tournier

II. La fonction carrée : C'est la fonction définie par : f : x  x² . Elle est définie sur R. Elle est paire car f( – x) = f(x) . Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle passe par l'origine , c'est une parabole. La fonction f est décroissante pour x négatif et croissante pour x positif.

Tableau de variation : x

Courbe représentative : 0

f(x) 0

0

III. La fonction cube : C'est la fonction définie par : f : x  x3 . Elle est définie sur R. Elle est impaire car f( – x) = – f(x) . Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine. Elle passe par l'origine . La fonction f est croissante pour tout x .

Tableau de variation :

Courbe représentative :

x

0

f(x)

0 0

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IV. La fonction inverse : 1 C'est la fonction définie par : f : x  . x Elle n'est pas définie en 0. Son ensemble de définition est ] –

;0[

]0;+

[.

Elle est impaire car f( – x) = – f(x) . Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine . C'est une hyperbole. La fonction f est décroissante sur les deux intervalles de son domaine de définition..

Tableau de variation : x

Courbe représentative : 0

f(x)

La double barre dans le tableau de variation indique que la fonction n'est pas définie pour la valeur 0.

0

V. La fonction racine carrée : C'est la fonction définie par : f : x  x . Elle n'est définie que pour des nombres positifs. Son ensemble de définition est [ 0 ; +

[.

Elle n'est ni paire ni impaire car son ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0. . Sa représentation graphique passe par l'origine . La fonction f est croissante sur son domaine de définition.

Tableau de variation : x

Courbe représentative :

0

f(x) 0 0

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VI. Les fonctions trigonométriques : 1) La fonction cosinus : f(x) = cos(x) Son ensemble de définition est IR . Pour tout x de IR on a : – 1

cos(x)

1

Rappel sur le cercle trigonométrique :

Tableau de valeurs : x en radians cos x

– –1

–

2

0

–

3 1 2

–

4 2 2

–

6 3 2

0 1

6 3 2

Représentation graphique :

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4 2 2

3 1 2

2 0

–1

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Propriétés importantes : a) La fonction cosinus est 2 – périodique c'est–à–dire que cos(x) = cos( x + 2 ) = cos ( x – 2 Pour tout réel x on a cos(x) = cos( x + 2 k ) avec k ZZ ( entiers relatifs ).

)…

b) La fonction cosinus est paire . En effet pour tout réel x , cos( x ) = cos( – x ) Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

2) La fonction sinus : f(x) = sin(x) Son ensemble de définition est IR . Pour tout x de IR on a : – 1

sin(x)

1

Tableau de valeurs : x en radians sin x

– 0

–

2

–1

–

3 3 – 2

–

4 2 – 2

–

6 1 – 2

0 0

6 1 2

4 2 2

3 3 2

2 1

0

Représentation graphique :

Propriétés importantes : a) La fonction sinus est 2 – périodique c'est–à–dire que sin(x) = sin( x + 2 ) = sin( x – 2 Pour tout réel x on a sin(x) = sin( x + 2 k ) avec k ZZ ( entiers relatifs ). b) La fonction sinus est impaire . En effet pour tout réel x , sin( x ) = – sin( – x ) Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport à l'origine du repère.

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)…

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VI. Utilisation des fonctions de référence : 1) Opérations sur les fonctions : f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I de IR. .

est un réel quelconque.

a) Somme de deux fonctions : La fonction f + g est définie sur l'intervalle I par f + g : x  (f + g )(x) = f(x) + g(x) b) Produit de deux fonctions : La fonction f . g est définie sur l'intervalle I par f . g : x  ( f . g )(x) = f(x) g(x) c) Produit d'une fonction par un réel : La fonction f est définie sur l'intervalle I par f : x  ( f )(x) = f(x) d) Elévation au carré d'une fonction : La fonction f ² est définie sur l'intervalle I par f ² : x  f ² (x) = [ f(x)] ² 2) Composition de deux fonctions : f et g sont deux fonctions définies sur IR . On appelle composée de f par g la fonction définie sur IR , notée g o f ( g "rond" f ) telle que : g o f (x) = g [ f(x)]. Exemple :

f(x) = 2x – 5

et

g(x) = x² sont deux fonction définies sur IR .

La fonction g o f est définie sur IR par : f : x  2x – 5 = X g : X  X ² = ( 2x – 5 ) ²

donc

g o f (x) = g [ f(x)] = g ( 2x – 5 ) = ( 2x – 5 ) ² .

Attention : on peut aussi définir la fonction f o g ! g : x  x² = X f : X  2X – 5 = 2x² – 5 donc f o g (x) = f [ g(x)] = f ( x² ) = 2x² – 5 . On constate donc immédiatement sur cet exemple que g o f (x)

f o g (x) .

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