Les limites simples Estimation d`une limite : méthode informelle de

Les limites simples

1. Estimation d’une limite : méthode informelle de donner la limite.  À partir d’un tableau Ex. 1) Estimer lim 𝑥 + 1 à l’aide d’un tableau. 𝑥→1

Solution :

x s’approche de 1 x f(x) = x + 1

0,9 1,9

0,99 1,99

0,999 1,999

0,9999 1,9999

f s’approche de 2 Il est aisé de conclure que les valeurs de f que nous avons calculées s’approchent de 2. On peut donc estimer que :

 À partir d’un graphique

2. Calcul d’une limite simple.

Les premiers calculs formels de limites se font à l’aide d’un tableau de propriétés des limites, du théorème sur la limite d’une fonction polynomiale ainsi qu’avec le tableau de l’arithmétique de l’infini. Ces 3 outils nous permettent de substituer à x la valeur vers laquelle il tend. Ce qui revient à un calcul d’image et ce sujet fait partie du bagage antérieur des apprenants. Ils n’éprouvent aucune difficulté, mis à part les erreurs de calcul. Ils n’ont pas besoin de support visuel ni de faire des manipulations algébriques.

 À l’aide du tableau des propriétés des limites.

Source : J.Hamel & L.Amyotte (2007) Calcul différentiel , p22

Ce tableau est d’allure rébarbative parce qu’il englobe toutes sortes de possibilités de calcul de limite et qu’il ne contient que des symboles, des lettres et des variables, mais une fois qu’on s’y est adapté, on voit sa grande utilité.

On voit que l’utilisation du tableau revient à substituer 1 à x (la valeur vers laquelle il tend) dans l’expression x + 1. C’est le même calcul que de trouver f(1), donc l’image de x = 1. C’est un repère fiable qui aide à avoir confiance en la réponse trouvée.  À l’aide du théorème de la limite d’une fonction polynomiale.

Le théorème simplifie la recherche de limite quand la fonction est une polynomiale. Une étape suffit et on remplace encore x par la valeur vers laquelle il tend.  À l’aide du tableau de l’arithmétique de l’infini.

C’est le même genre de tableau que celui des propriétés des limites, mais il concerne les limites à l’infini. On procède en remplaçant x par le symbole ∞ et on se réfère à l’arithmétique de l’infini. La logique de l’infini n’est pas toujours évidente à comprendre, mais un bon truc est de dire que « ∞ » est un très grand nombre. La forme no 1 revient à dire que si on ajoute un nombre quelconque (k dans la forme) à un très grand nombre, le résultat est un très grand nombre. La compréhension de l’infini devient plus claire même si l’utilisation du terme « très grand nombre » n’est pas exacte.

Nous avons parcouru les concepts présentés dans le cours de Calcul différentiel avant d’aborder les limites des formes indéterminées. Le principe est simple, on se fie aux 3 outils ci-dessus mentionnés. Le support graphique est toujours apprécié dans le calcul de limite, mais pour les problèmes simples, il n’est pas si utile. Cependant, l’introduction de l’étude des formes indéterminées crée un saut dans le niveau de difficulté. Celles-ci requièrent plus que des habiletés de substitution de valeur. L’algèbre doit être appliquée pour arriver à trouver une fonction équivalente à celle de départ, mais dont l’expression permet d’utiliser les outils que j’ai présentés au point 3, et de ce fait, calculer la limite. Pour ajouter à la difficulté, une même forme indéterminée ne se résout pas toujours de la même façon.

3. Les formes indéterminées.

 Définition : le voisinage d’un point x = a est un intervalle troué et centré à ce point. Ex. 7)

]¾, 1[ ⋃ ]1, 1 ¼[ est un voisinage de x = 1.

Étape 1 : division des polynômes. Dès lors, on doit réaliser que x = 1 est un zéro des polynômes du numérateur et du dénominateur de la fonction. Ce qui veut dire que x – 1 est un facteur commun. On peut le diviser chacun par x – 1 avec le crochet. Ce vidéo explique la division par crochet : http://www.alloprof.qc.ca/rep_videos/la-division-d-expressions-algebriques-parcrochet.aspx Après division par x – 1, le numérateur devient x + 1 et le dénominateur devient 1. Je vous fais grâce des calculs.

On n’a fait que diviser le haut et le bas par le même nombre, ce qui me donne une fraction équivalente. C’est une règle que les élèves apprennent en secondaire I.

Étape 2 : substitution de la fonction.