Les quadrilatères

Chapitre 8 QUADRILATÈRES PARTICULIERS A - RECOMMANDATIONS I.

INTRODUCTION Il s'agit de consolider les connaissances acquises en 6e sur les parallélogrammes particuliers (rectangle, losange, carré) et le trapèze, et de les approfondir en liaison avec la symétrie centrale. Un accent particulier sera mis sur le raisonnement déductif. Le professeur s'efforcera d'entraîner les élèves à utiliser les "propriétés directes" de ces quadrilatères pour faire des démontrations simples Les caractérisations sont entièrement au programme de 4e. Elles peuvent cependant faire l'objet d'exercices d'approfondissement.

II.

COMPÉTENCES EXIGIBLES Connaître et utiliser les propriétés d'un trapèze, d'un rectangle, d'un losange, d'un carré concernant les longueurs des côtés, les diagonales et les égalités de mesures d'angles. Construire un quadrilatère à l'aide d'un compas. Reconnaître qu'un quadrilatère est un trapèze, un losange, un rectangle, un carré. Reconnaître qu'un quadrilatère est un trapèze isocèle à l'aide des égalités d'angles. Utiliser les propriétés "directes" des quadrilatères pour : démontrer que des droites sont concourantes, parallèles, perpendiculaires, calculer et comparer des aires, des longueurs, démontrer qu'un point est milieu d'un segment, calculer des mesures d'angles, démontrer l'alignement.

III. PRÉREQUIS DE LA CLASSE Propriétés du parallélogramme Définition et construction d'un rectangle, d'un losange ou d'un carré. Aire d'un parallélogramme, d'un rectangle, d'un losange, d'un carré. Propriétés des triangles particuliers. Axe de symétrie. Équations dans D. IV - ADÉQUATION DU LIVRE C.I.A.M AU PROGRAMME EN VIGUEUR PARTIES TRAITÉES Rectangle : propriétés des diagonales axes de symétrie. losange. Carré : le carré est à la fois un rectangle et un losange ;axes de symétrie. Trapèze : définition, trapèze rectangle, isocèle axes de symétrie d'un trapèze isocèle;caractérisation du trapèze isocèle; aire du trapèze.

HORS PROGRAMME Rectangle : Caractérisation à partir des angles, des diagonales. Losange : caractérisation d'un losange; comment reconnaître qu'un quadrilatère est un losange ; comment reconnaître qu'un parallélogramme est un losange : - à partir des diagonales, - à partir des côtés.

PARTIES A AJOUTER Rectangle : centre de symétrie; utilisation de la formule littérale de l'aire du périmètre. Losange : propriétés des diagonales; utilisation de la formule littérale de l'aire du périmètre ; centre de symétrie.

B - COURS I.

CONSOLIDATION DES PRÉREQUIS

Exercice 1 ABCD et AECF sont des parallélogrammes. Quelle est la nature du quadrilatère EBFD ? Exercice 2 Quelle est l'aire d'un carré dont le périmètre est 20 cm ? Quelle est l'aire d'un rectangle dont le périmètre est 16 cm et dont un côté mesure 2 cm ? Exercice 3 Construis un triangle ABC tel que AB = AC = 5 cm. Soit I le milieu de [BC]. Que peux-tu dire de la droite (AI) ? Exercice 4 Soient un segment [BC] de longueur 6 cm et I le milieu de ce segment. A est un point tel que AI = 3 cm. Quelle est la nature du triangle ABC ? Exercice 5

A

D

F

B

C

E

I

L

M

J

K

N

ABCD est un carré de 36 cm de périmètre. DCEF est un rectangle dont l'aire est 11,7 cm2. Calcule les dimensions du rectangle ABEF.

Exercice 6 Le carré IJKL a une aire de 1 m2 ; le triangle IKM une aire de 0,75 m2. Calcule les dimensions du rectangle LKNM.

Exercice 7 (Exercice 1-e page 107 CIAM 5°) Calcule l'aire d'un trapèze dont les longueurs respectives de la grande base, de la petite base et de la hauteur sont 5 cm, 3 cm et 6,5 cm. Exercice 8 Pour chacune des figures suivantes indique le nombre d'axes de symétrie ; fais une figure et place le (ou les ) axe(s) : -rectangle ; - losange ; - carré ; - triangle isocèle ; - triangle équilatéral.

II. 1.

RECTANGLE Parallélogramme particulier Un rectangle est un parallélogramme. Un rectangle a donc toutes les propriétés d'un parallélogramme. Un rectangle admet pour centre de symétrie le point d'intersection de ses diagonales.

Activité

1) Construis un rectangle ABCD. Justifie que les droites (AB) et (CD) d'une part, et (AD) et (BC) d'autre part, sont parallèles. 2) Que peux-tu en déduire pour le quadrilatère ABCD? 2. Propriété des diagonales 3) Que représente alors le point I d'intersection Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses de ses diagonales ? diagonales ont la même longueur. 4) Trace les axes de symétrie (∆) et (∆') de ABCD. 3. Configuration 5) Détermine le symétrique du segment [AC] par rapport à (∆), puis par rapport à (∆'). A B 6) Que peux-tu dire des longueurs des segments [AC] et [BD] ? 7) Justifie ta réponse. I

D

C

ABCD est rectangle donc AC = BD III. LOSANGE 1.

Parallélogramme particulier Activité Un losange est un parallélogramme. 1) Construis un losange ABCD. Un losange a donc toutes les propriétés d'un 2) Justifie que la droite (AC) est médiatrice du parallélogramme. segment [BD] et que la droite (BD) est Un losange admet pour centre de symétrie le point médiatrice du [AC]. d'intersection de ses diagonales. 3) Montre que ABCD est un parallélogramme. 4) Que représente alors le point I d'intersection 2. Propriété des diagonales des diagonales pour ABCD ? Si un quadrilatère est un losange, alors ses 5) Détermine les symétriques de ABCD par diagonales sont perpendiculaires. rapport à (AC) puis par rapport à (BD). 6) Que représentent (AC) et (BD) pour ABCD ? 3. Axes de symétrie Les diagonales d'un losange sont ses axes de symétrie. 4.

Configuration

A

D

I

C ABCD est un losange donc (AC) ≠ (BD)

B

IV. CARRÉ Propriétés Un carré est à la fois un rectangle, un losange et un parallélogramme Si un quadrilatère est un carré, alors : ses côtés consécutifs sont perpendiculaires et de même longueur ; ses diagonales sont perpendiculaires, ont même longueur et même milieu ; il possède un centre et quatre axes de symétrie. A

Configuration :

B

I

D

Activité (Bilan des propriétés du rectangle et du losange) Construis un carré ABCD (on sait que le carré ABCD est à la fois un rectangle et un losange). Que peux-tu dire des côtés [AB], [BC], [CD], [DA] du carré ? Que peux-tu dire des diagonales [AC] et [BD] du carré ? Combien d'axes de symétrie possède le carré ABCD ? Construis et nomme tous les axes de symétrie du carré ABCD. Quel est le centre de symétrie du carré ABCD?

C

V.

TRAPÈZES PARTICULIERS

1. Trapèze isocèle Définition Un trapèze dont les deux côtés non parallèles sont de même longueur est isocèle . A D Configuration

B C (AD)//(BC) et AB = DC donc .ABCD est un trapèze isocèle Propriété Un trapèze isocèle admet un axe de symétrie qui est la médiatrice commune de ses bases.

Configuration

A

Activité 1.3 page 105 CIAM 5°

E

F

(∆) A

B B

C

ABC est un triangle isocèle en A. (EF) est une droite parallèle à (BC). Trace l'axe de symétrie (D) du triangle ABC 1) Justifie que les angles E et F ont même mesure. 2) Justifie que (D) est axe de symétrie pour le quadrilatère EFCB. (Pour cela, justifie que (D) est (∆) médiatrice de [AB] et de [CD] est axe de la médiatrice de [EF].) symétrie du trapèze ABCD 3) Justifie que BE =CF. donc A = B et C = D

D

2.

C

Trapèze rectangle

Un trapèze est rectangle si et seulement si l'un de ses côtés est perpendiculaire à ses deux bases. Exemple : A

A

Activité :

F

E

1.2 page 104 CIAM 5°

D

C

B

ABC est un triangle rectangle en B. (EF) est une droite parallèle à (BC). ABCD est un trapèze tel que (AD)//(BC) et (AD)^ 1°) Nomme tous les angles droits du quadrilatère (AB) et (AB)^(BC), alors ABCD est un trapèze EFCB. 2°) Quelle est la nature de ce quadrilatère ? rectangle.

6.

C

Aire d'un trapèze

(B + b) x h A= 2 A = aire du trapèze ; B = longueur de la grande base ; b = longueur de la petite base ; h = hauteur. Exemple

Activité (D'après 1.4 page 106 CIAM 5°) A

5 cm

7 cm

B

B

E

I

D

C

F

8 cm

AB =5 cm ; CD = 8 cm ; h = 7 cm (hauteur du On veut calculer l'aire du trapèze dont l'esquisse trapèze ABCD). codée est proposée ci-dessus. L'aire du trapèze ABCD est : Le point I est le milieu du [BC]. 1°) Construis les points E et F symétriques respectifs (CD + AB) x h = (8 + 5) x 7 des points D et A par rapport au point I. A= = 45,5 2 2 2°) Justifie que le quadrilatère AEFD est un Réponse parallélogramme. 3°) Calcule l'aire de ce parallélogramme. L’aire mesure 45,5 cm2. 4°) Calcule l'aire du trapèze ABCD.

C - EXERCICES I.

APPLICATION

Exercice 1 ( 10 page 100 du livre CIAM 5°) Construis un triangle ABC rectangle en B dont les longueurs des côtés [BC] et [AC] sont respectivement 4 et 7 cm. Construis le milieu O du côté [AC] ; construis le point D, symétrique de B par rapport à O. Justifie que le quadrilatère ABCD est un rectangle. Quelle est la longueur du segment [BD] ? Justifie ta réponse. Exercice 3 ( 13 page 100 du livre CIAM 5°) Trace un segment [AI] de 2,5 cm. Construis le losange ABCD de centre I et dont la longueur du côté est 6 cm.

Exercice 2 ( 12 page 100 du livre CIAM 5°) L'unité de longueur est le cm ; construis un losange ABCD tel que AC = 4 et BD = 7. Exercice 4 ( 17 page 100 du livre CIAM 5°)

Trace un cercle (C ) de centre O et deux de ses diamètres [AC] et [BD] dont les supports sont perpendiculaires. Justifie que le quadrilatère ABCD est un carré. Exercice 5 ( 20 page 100 du livre CIAM 5°) Construis un carré ABCD de côté 3 cm. Construis les points E et F symétriques respectifs des sommets B et D par rapport à A. Quelle est la nature du quadrilatère BDEF ? Justifie la réponse. II. APPROFONDISSEMENT Exercice 6 (21 page 100 du livre CIAM 5°) MNPQ est un parallélogramme. (D) est la droite perpendiculaire à (NQ) passant par M. Construis à l'aide de la règle non graduée, la droite perpendiculaire à (NQ) passant par P. Justifie la construction. (D)

M

N

Q

P

Exercice 7 (23 page 101 du livre CIAM 5°) ABCD est un parallélogramme. Calcule la mesure de chacun des angles suivants :

DBC, DAC et ACB. Justifie les réponses. Peux-tu calculer CAB et ABD ? A

B

65° 40° D

C

Exercice 8 (24 page 101 du livre CIAM 5°) Trace un triangle ABC ; construis les points B' et C', symétriques respectifs des points B et C par rapport à A. Quelle est la nature du quadrilatère BCB'C' ? Justifie ta réponse. Quelle doit être la nature du triangle ABC pour que BCB'C' soit : - un rectangle ? - un losange ? - un carré ? Exercice 9 (25 page 101 du livre CIAM 5°) Trace un triangle ABC. Construis les hauteurs issues des sommets B et C ; ces deux hauteurs se coupent au point I. Construis la droite perpendiculaire à (AC) passant par C et la droite perpendiculaire à (AB) passant par B. Ces deux droites se coupent au point O. Quelle est la nature du quadrilatère CIBO ? Justifie ta réponse.

Exercice 10 ( 27 page 101 du livre CIAM 5°) Trace un segment [AC] et marque un point E extérieur à (AC). Construis un rectangle ABCD tel que E appartienne à (BD). A quelles conditions peux-tu construire un carré AMCQ tel que E appartienne à (MQ) ? Exercice 11 ( 28 page 101 du livre CIAM 5°) Trace un rectangle ABCD. Construis la parallèle à (BD) passant par C ; cette parallèle coupe (AD) au point E. Quelle est la nature du quadrilatère BCED ? Justifie ta réponse. Quelle est la nature du triangle ACE ? Justifie ta réponse.

Exercice 12 ( 30 page 101 du livre CIAM 5°) Construis un parallélogramme ABCD tel que BC = 2xAB, puis construis les points M et N, milieux respectifs des segments [BC] et [AD]. Justifie que ABMN et DCMN sont des losanges. Justifie que N est le centre du cercle circonscrit au triangle AMD. Déduis-en la nature de ce triangle. Exercice 13 ( 31 page 101 du livre CIAM 5°) Construis un rectangle ABCD de centre O. Les points I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [AD]. Justifie que les droites (IK) et (LJ) sont perpendiculaires. Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ? Justifie ta réponse.

2,5 cm

Exercice 14 (21 page 113 du livre CIAM 5°) ABCD est un trapèze. En utilisant un découpage du trapèze en un parallélogramme et un triangle, calcule l'aire de ce trapèze. Où placer un point M sur (CD) pour que l'aire du triangle AMD soit égale à la moitié de l'aire du trapèze ABCD ? Justifie ta réponse. 2 cm A B

D

C 8 cm