Les racines nièmes Rappel La racine carrée

Les racines nièmes

Rappel La racine carrée : Définition : La racine carrée d'un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré est x. √𝑥 = 𝑦 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 2 = 𝑥 Quelques exemples :  

la racine carrée du nombre réel 9 est 3, en effet 3 est positif et 3² = 9 la racine carrée du nombre réel 16 est 4, en effet 4 est positif et 4² = 16



la racine carrée du nombre réel

16 9

4

4

4 2

3

3

3

et , en effet est positif et ( ) =

16 9

.

ATTENTION ! La racine carrée n'est pas définie pour un nombre négatif, puisque le carré d'un nombre quelconque est toujours positif. Tout réel strictement positif admet deux racines de signes opposés Propriétés : 2

 

carré d'une racine carrée : (√𝑎) = 𝑎 racine carrée d'un produit : √𝑎. 𝑏 = √𝑎 . √𝑏



racine carrée d'un quotient : √𝑏 =



racine carrée d'un carré : √𝑎² = |𝑎|

𝑎

√𝑎 √𝑏

Exercices : 1) Effectue : a) √10000 = 36

b) √81 =

e) √5. √5 = f) √7. √14 = g) √10. √125. √8 =

c) √100 = 1

169

d) √144 =

h) √8. √2 =

1

La racine cubique : Définition : La racine cubique d'un nombre réel positif x est le nombre positif dont le cube est x. 3

√𝑥 = 𝑦 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦³ = 𝑥

Quelques exemples :  

La racine cubique du nombre réel 8 est 2, en effet 2³ = 8 La racine cubique du nombre réel 27 est 3, en effet 3³ = 27

Tableau des dix premiers cubes : Nombre Nombre au cube 1 1 2 8 3 27 4 64 5 125 6 216 7 343 8 512 9 729 10 1000 Petite astuce pour retrouver la racine cubique d’un réel dont la réponse est un nombre entier : Supposez que l’on vous donne à extraire la racine cubique de 287 496. Le dernier chiffre de ce nombre est 6, en allant voir dans le tableau ci-dessus, on remarque que le nombre se terminant par 6 est le cube de 6, donc le dernier chiffre dans ce cas est 6. Pour déterminer le premier chiffre de la racine cubique : supprimez les trois derniers chiffres du cube (quel que soit le nombre de chiffre le composant) pour ne retenir que les chiffres restants. Dans cet exemple on a 287. Dans la table cidessus 287 se situe entre les cubes de 6 et 7. Le plus petit de deux ces chiffres (6) correspond au premier chiffre de la racine du nombre annoncé. La réponse est 66.

Exerce-toi ! 3

√21952 =

3

√59319 =

Propriétés : 

3

la racine cubique d’un nombre négatif est un nombre négatif : √−64 = −4

Attention ! Les propriétés citées pour la racine carrée sont les mêmes pour la racine cubique ! 2

Introduction 1) Complète le tableau suivant. Quelle conclusion peux-tu en tirer ? −3 2

X

3 2

5 7

0

−6

1

√2

−12

|x|

X²

√𝑥²

Conclusion :

2) Complète les tableaux suivants à l’aide de ta calculatrice et tire une conclusion : 0

X

−2

−3 4

7

−9

9

1

√𝑥 3

√𝑥

4

√𝑥

7

√𝑥

X

0

−2

1

−1

4

√𝑥³

6

√𝑥 4

5

√𝑥 3

3

√𝑥 2 𝑛

3) À quelles conditions l’expression √𝑎𝑝 représente-t-elle un réel ? 3

Les racines d’indice n 1. Généralisation : Définitions : Le nombre b est une racine nième du nombre réel a si et seulement si 𝒃𝒏 = 𝒂 𝑛

si n est pair : ∀𝑎, 𝑏 ∊ ℝ+ , √𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑏 𝑛 = 𝑎 (𝑛 ∈ ℕ0 ) 𝑛 si n est impair : ∀𝑎, 𝑏 ∊ ℝ, √𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑏 𝑛 = 𝑎 Notations et vocabulaire : 𝒏

a) La racine nième de a se note √𝒂 et a est appelé le radicand ( ∀𝑎 ∈ ℝ+ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟 𝑒𝑡 ∀ 𝑎 ∈ ℝ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟 ) 𝒏

b) √𝒂 se lit également racine d’indice n de a (ou radical d’indice n) où n est l’indice ( ∀𝑎 ∈ ℝ+ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟 𝑒𝑡 ∀ 𝑎 ∈ ℝ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟 ) Propriétés : 1) Les propriétés des racines carrées sont valables pour toutes racines d’indice pair 2) Les propriétés des racines cubiques sont valables pour toutes racines d’indice impair

Donc : Si n est pair :  

La nième puissance d’un nombre réel est un nombre réel positif Aucun réel strictement négatif n’admet de racine nième

 

𝑛

√0 = 0 Tout réel strictement positif admet deux racines nièmes opposées

Si n est impair : 

La nième puissance d’un nombre réel possède le même signe que ce nombre réel

 

𝑛

√0 = 0 Tout nombre réel admet une seule racine nième

4

Opérations sur les racines nièmes : Si n est pair : 𝑛

𝑛



∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ : √𝑎. 𝑏 = √𝑎 . √𝑏



∀ 𝑎 ∈ ℝ+ , ∀ 𝑏 ∈ ℝ0+ : √𝑏 =



∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∀ 𝑛 ∈ ℕ0 : √𝑎𝑛 = |𝑎|

𝑛

𝑛

𝑎

𝑛

√𝑎

𝑛

√𝑏

𝑛

Si n est impair : 𝑛

𝑛



∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ∶ √𝑎. 𝑏 = √𝑎 . √𝑏



∀ 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ0 : √𝑏 =



∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∀𝑛 ∈ ℕ0 : √𝑎𝑛 = 𝑎

𝑛

𝑛

𝑎

𝑛

√𝑎

𝑛

√𝑏

𝑛

Autres opérations :   

𝑛

𝑛

𝑚 𝑛

𝑚.𝑛

√𝑎 𝑝 = ( √𝑎 ) 𝑝 𝑛𝑝 𝑛 √𝑎 𝑝 = √𝑎 √ √𝑎 =

√𝑎

2. Exercice : Simplifier les radicaux suivants si on suppose que a, b, c sont (strictement) positifs 1)

3

√𝑎7 𝑏³ =

2) √𝑎7 𝑏 8 𝑐 = 3) 4) 5) 6) 7)

4

√𝑎8 𝑏 5 =

3

√𝑎14 𝑏 7 𝑐12 =

3

√8𝑎5 =

4

√32𝑎4 𝑏7 =

3

√216𝑎6 𝑏4 =

3

8)

√

𝑎4 𝑏2

=

5

Les exposants fractionnaires 1. Généralisation : Définition : Si n est un entier non nul et si p est un entier positif supérieur ou égal à 2, Alors pour tout nombre réel strictement positif a, on a : 𝑝

𝑛

√𝑎𝑛 = 𝑎 𝑝

Exemples : 1



42 = √4 = 2



83 = √82 = √64 = 4

2

3

3

Règles de calcul : Les règles de calcul vues pour les exposants entiers sont aussi valables pour les exposants fractionnaires 1



𝑎−𝑟 = 𝑎𝑟



𝑎𝑟 𝑎 𝑠 = 𝑎𝑟+𝑠



𝑎𝑟



(𝑎𝑟 )𝑠 = 𝑎𝑟𝑠



(𝑏)𝑟 = 𝑏𝑟

= 𝑎𝑟−𝑠

𝑎𝑠

r et s sont des nombres rationnels a et b sont des réels strictement positifs

𝑎𝑟

𝑎

2. Exercices : Réécris sous forme de radicaux puis calcule à l’aide de ta calculatrice : 1

a) 83 = 1

b) 162 = 1

c) 22 = 2

d)

25 4 (16)

=

5

e) 42 = 7

f) 22 =

6

Exercices 1. Écris sous forme d’une puissance à exposant rationnel (a ≥ 0) : a) √2 =

d)

3

b) √5 = c)

1 √2

=

√3 4

e) √𝑎 =

=

3

1

f)

1 5

√23

=

2. Transforme en n’écrivant que des radicaux et des puissances à exposants naturels : On a 𝒂 > 0 1

5

a) 𝑎2 =

d) 𝑎4 =

2

b) 𝑎−3 = c)

2 3

− 𝑎 4

e)

=

1

=

2

− 𝑎 5

f) 𝑎0 =

3. Calculer sans machine en transformant l’écriture de manière adéquate : 1

1

a) 162 =

e) 273 =

1

b) 0,01−2 = 3

1

f) 16−4 = 1

g) 100−2 =

c) 42 = 1

1

h) (− )−3 =

d) 8−3 =

2

4. Simplifie en utilisant les propriétés : 1

2 5

a) 𝑎2 . 𝑎2 = 2

−5

=

d) (𝑎 )

6

3

b) (𝑎3 ) =

e) (4𝑎2 )2 = 1

c) 8𝑎−2 . 𝑎−2 =

7

5. Calcule : 3

a) √122 + 162 =

h) √43 − 92 =

b) √132 − 122 =

i) √(−21)−6 =

3

c) 3√0,000729 =

3

4

3 3 j) √61 + √25 + √8 =

3

k) √5√2 − 1. √5√2 + 1 =

3

l) √3 + 2√2 . √3 − 2√2 =

d) √256−1 = e) √33 + 43 = f) √−125.109 = g) √32 + √49 = 4

6. Quel nombre est le plus grand : ( √16)100 ou (√16)25 ? Justifie !

7. Résous les équations suivantes dans ℝ :

a) 𝑥 3 = −64 b) 𝑥 4 = 81 c) 64𝑥 3 = 1 d) 𝑥 4 − 125𝑥 = 0 e) 𝑥 3 + 27 = 0 f) 𝑥 2 + 49 = 0 g) 𝑥 4 − 0,0625 = 0 h) 𝑥 6 = 16−3 i) 𝑥 6 − 64 = 0

8