Les variables aléatoires de lois discrètes

Discret

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible

Les variables aléatoires de lois discrètes

Loi conjointe

3-602-84 Modèles probabilistes et stochastiques de la gestion

Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

Geneviève Gauthier HEC Montréal

Novembre 2007

1

Discret

Dé…nitions Variables aléatoires discrètes

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance

De…nition Une variable aléatoire X est dite discrète si elle peut prendre au plus qu’un nombre dénombrable de valeurs, disons x1 , x2 , ..., xn , ... 2 R. De façon équivalente, nous pouvons a¢ rmer qu’une variable est discrète si

Moments

∑

Lois discrètes

fx 2RjP fX =x g>0 g

P fX = x g = 1.

De…nition Le support d’une variable aléatoire discrète est l’ensemble des valeurs possibles de X :

SX = fx 2 R jP fX = x g > 0 g .

2

Discret

Fonction de masse Dé…nitions Distribution Changement de mesure

Égalités forte et faible

De…nition La distribution d’une variable aléatoire discrète X est commodément décrite par sa fonction de masse :

Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

fX

: R ! [0, 1]

x ! probabilité que la v.a. X soit égale à x,

c’est-à-dire que

8x 2 R, fX (x ) = P fX = x g . Remarque. La distribution d’une variable aléatoire dépend de la mesure de probabilité qui prévaut sur l’ensemble fondamental, comme l’indique l’expression ci-dessus. Nous illustrerons ce commentaire à l’aide d’un exemple. 3

Discret

Exemple I Distribution d’une variable aléatoire discrète

Dé…nitions Distribution Changement de mesure

Égalités forte et faible

ω

W (ω )

Q (ω )

ω

W (ω )

Q (ω )

1

5

4 12

4

5

1 12

2

5

1 12

5

0

1 12

3

5

1 12

6

10

4 12

Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

Déterminons les fonctions de masse de la variable aléatoire W . f W (x )

=

=

Q f ω 2 Ω jW ( ω ) = x g n o 8 1 > Q 5 = 12 > > > > n o > > > < Q 1 , 2 , 3 , 4 = 4 + 1 + 12 12 n o > > 4 > > Q 6 = 12 > > > > : 0

si x = 0 1 12

+

1 12

=

7 12

si x = 5 . si x = 10 sinon

4

Discret

Exemple II Dé…nitions

Distribution d’une variable aléatoire discrète

Distribution Changement de mesure

Égalités forte et faible Loi conjointe fW(w)

Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

w

5

Discret

Exemple III Distribution d’une variable aléatoire discrète

Dé…nitions Distribution Changement de mesure

Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

Rappel : ω

W (ω )

Q (ω )

ω

W (ω )

Q (ω )

1

5

4 12

4

5

1 12

2

5

1 12

5

0

1 12

3

5

1 12

6

10

4 12

Indépendance Moments Lois discrètes

6

Discret

Exemple IV Distribution d’une variable aléatoire discrète

Dé…nitions Distribution Changement de mesure

Égalités forte et faible Loi conjointe

Calculons la fonction de répartition de la variable aléatoire W . si x F W (x )

< =

Loi conditionnelle Indépendance Moments

=

Lois discrètes

=

si x F W (x )

x g = Q (?) = 0;

Q f ω 2 Ω jW ( ω )

xg=Q

n

5

xg=Q

n

1, 2, 3, 4, 5

x < 10 alors

si 5 F W (x )

Q f ω 2 Ω jW ( ω ) x < 5 alors

si 0 F W (x )

0 alors

Q f ω 2 Ω jW ( ω )

o

=

1 ; 12 o

=

8 ; 12

10 alors

=

Q f ω 2 Ω jW ( ω )

x g = Q (Ω) = 1. 7

Discret

Exemple V Dé…nitions

Distribution d’une variable aléatoire discrète

Distribution Changement de mesure

Égalités forte et faible Loi conjointe

FW(w)

Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

w

Remarque. La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète est une fonction en escalier.

8

Discret

Exemple I Impact d’un changement de mesure sur la distribution

Dé…nitions Distribution Changement de mesure

Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments

ω

X (ω ) Y (ω ) Z (ω ) W (ω )

P (ω ) Q (ω )

1

0

0

0

5

1 6

4 12

2

0

5

0

5

1 6

1 12

3

5

5

0

5

1 6

1 12

4

5

5

5

5

1 6

1 12

5

10

5

10

0

1 6

1 12

6

10

10

10

10

1 6

4 12

Lois discrètes

9

Discret

Exemple II Impact d’un changement de mesure sur la distribution

Dé…nitions Distribution Changement de mesure

Égalités forte et faible

Distributions des variables aléatoires X , Y , Z et W sous la mesure de probabilité P :

Loi conjointe

x

P fX = x g

P fY = x g

P fZ = x g

P fW = x g

Loi conditionnelle

0

1 3 1 3 1 3

1 6 2 3 1 6

1 2 1 6 1 3

1 6 2 3 1 6

Indépendance Moments Lois discrètes

5 10

La distribution de la variable aléatoire X est dite uniforme puisque P fX = 0g = P fX = 5g = P fX = 10g = 13 . Les variables aléatoires Y et W ont la même distribution bien qu’elles ne soient pas égales. En e¤et, Y

1

= 0 6= 5 = W

1

. 10

Discret

Exemple III Impact d’un changement de mesure sur la distribution

Dé…nitions Distribution Changement de mesure

Égalités forte et faible

Distributions des variables aléatoires X , Y , Z et W sous la mesure de probabilité Q

Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

x 0 5 10

Q fX = x g Q fY = x g Q fZ = x g Q fW = x g 5 12 2 12 5 12

1 3 1 3 1 3

1 2 1 12 5 12

1 12 7 12 1 3

Notons que les distributions des variables aléatoires ont changé. De plus, sous la mesure de probabilité Q, les variables aléatoires Y et W n’ont plus la même distribution. 11

Discret

Égalités forte et faible I Variables aléatoires discrètes

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments

De…nition Deux variables aléatoires X et Y sont dites égales (égalité forte) si et seulement si 8ω 2 Ω, X (ω ) = Y (ω ). Elles sont dites égales en distribution (ou en loi ou égalité faible) lorsqu’elles ont la même distribution.

Lois discrètes

Le concept d’égalité entre deux variables aléatoires est plus fort que celui d’égalité en distribution. En e¤et, si deux variables aléatoires sont égales, alors elles sont égales en distribution. Par contre, il est possible que deux variables aléatoires soient égales en distribution mais qu’elles ne soient pas égales. 12

Discret

Égalités forte et faible II Dé…nitions

Variables aléatoires discrètes

Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

De plus, deux variables aléatoires peuvent être égales en distribution selon une certaine mesure de probabilité et ne pas l’être selon une autre mesure de probabilité.

Dans l’exemple précédent, lorsque c’est la mesure P qui prévaut sur Ω, Y et W sont égales en distribution mais elles ne sont pas égales.

13

Discret

Fonction de masse conjointe Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments

De…nition La fonction de masse conjointe de deux variables aléatoires discrètes X et Y est dé…nie par

Lois discrètes

fX ,Y : R

R ! [0, 1]

(x, y ) ! P fX = x et Y = y g .

14

Discret

Exemple I Distribution conjointe

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments

ω

X (ω ) Y (ω )

P (ω )

1

0

0

1 6

2

0

5

1 6

3

5

5

1 6

4

5

5

1 6

5

10

5

1 6

6

10

10

1 6

Lois discrètes

15

Discret

Exemple II Dé…nitions

Distribution conjointe

Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

La fonction de masse conjointe de X et Y est 8 si x = 0 et y 2 f0, 5g > 1 > > > 6 ou si x = 10 et y 2 f5, 10g < fX ,Y (x, y ) = 1 si x = 5 et y = 5 > > 3 > > : 0 sinon.

16

Discret

Exemple III Distribution conjointe

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

fX,Y(x,y)

Indépendance Moments Lois discrètes

x

y

17

Discret

Fonction de répartition conjointe Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments

De…nition La fonction de répartion conjointe de deux variables aléatoires discrètes X et Y est dé…nie par

Lois discrètes

fX ,Y : R

R ! [0, 1]

(x, y ) ! P fX

x et Y

yg .

18

Discret

Exemple I Fonction de répartition

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments

ω

X (ω ) Y (ω )

P (ω )

1

0

0

1 6

2

0

5

1 6

3

5

5

1 6

4

5

5

1 6

5

10

5

1 6

6

10

10

1 6

Lois discrètes

19

Discret

Exemple II Dé…nitions

Fonction de répartition

Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

La fonction de répartition conjointe de X et Y est 8 0 si x < 0 ou y < 0 > > > > > 1 > > > 6 si 0 x < 5 et 0 y < 5 > > > 2 > si 0 x < 5 et y 5 > > 6 > > > 1 < x < 10 et 0 y < 5 6 si 5 FX ,Y (x, y ) = 4 > si 5 x < 10 et y 5 > 6 > > > > 1 > si x 10 et 0 y < 5 > 6 > > > > 5 > si x 10 et 5 y < 10 > 6 > > > : 1 sinon

20

Discret

Exemple III Fonction de répartition

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe

Fonction de répartition conjointe de X et de Y

Loi conditionnelle 1

Indépendance Moments

0,8

Lois discrètes

0,6 0,4 0,2 0

21

Discret

Fonctions de masse marginales Variables aléatoires discrètes

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

De…nition

Indépendance

Nous pouvons retrouver la fonction de masse (marginale) de chacune des deux variables aléatoires à partir de la fonction de masse conjointe. En e¤et,

Moments Lois discrètes

fX ( x ) =

∑

y 2SY

fX ,Y (x, y ) et fY (y ) =

∑

fX ,Y (x, y ) .

x 2SX

22

Discret

I Fonctions de masse marginales

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments

ω

X (ω ) Y (ω )

P (ω )

1

0

0

1 6

2

0

5

1 6

3

5

5

1 6

4

5

5

1 6

5

10

5

1 6

6

10

10

1 6

Lois discrètes

23

Discret

II Fonctions de masse marginales

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe

f X (0 )

Indépendance Moments

=

∑

fX ,Y (0, y ) = fX ,Y (0, 0 ) + fX ,Y (0, 5 ) + fX ,Y (0, 10 )

y 2SY

Loi conditionnelle

= f X (5 )

=

1 2 1 + +0 = , 6 6 6 ∑ fX ,Y (5, y ) = fX ,Y (5, 0 ) + fX ,Y (5, 5 ) + fX ,Y (5, 10 )

y 2SY

Lois discrètes

= fX (10 )

=

0+

∑

2 2 +0 = , 6 6 fX ,Y (10, y ) = fX ,Y (10, 0 ) + fX ,Y (10, 5 ) + fX ,Y (10, 10 )

y 2SY

= et pour x f X (x )

2 / =

1 1 2 + = 6 6 6 f0, 5, 10 g ,

0+

∑

fX ,Y (x , y ) = fX ,Y (x , 0 ) + fX ,Y (x , 5 ) + fX ,Y (x , 10 ) = 0.

y 2SY

24

Discret

III Fonctions de masse marginales

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe

f Y (0 )

= =

Indépendance Moments

∑

fX ,Y (x , 0 ) = fX ,Y (0, 0 ) + fX ,Y (5, 0 ) + fX ,Y (10, 0 )

x 2SX

Loi conditionnelle

f Y (5 )

=

1 1 +0+0 = , 6 6 x , 5 f ( ) = fX ,Y (0, 5 ) + fX ,Y (5, 5 ) + fX ,Y (10, 5 ) ∑ X ,Y

x 2SX

Lois discrètes

= fY (10 )

=

1 2 1 4 + + = , 6 6 6 6 ∑ fX ,Y (x , 10 ) = fX ,Y (0, 10 ) + fX ,Y (5, 10 ) + fX ,Y (10, 10 )

x 2SX

= et pour x f Y (y )

2 / =

1 1 = 6 6 f0, 5, 10 g ,

0+0+

∑

fX ,Y (x , y ) = fX ,Y (0, y ) + fX ,Y (5, y ) + fX ,Y (10, y ) = 0

x 2SX

25

Discret

Fonction de masse conjointe Vecteurs aléatoires discrets

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

De…nition Plus généralement, il est possible de dé…nir la fonction de masse conjointe de n variables aléatoires X1 , ..., Xn . fX 1 ,..., X n : R

n

! [0, 1] (x1 , ..., xn ) ! P fX1 = x1 et X2 = x2 et ... et Xn = xn g .

26

Discret

Fonction de masse conditionnelle I Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments

De…nition Soit X et Y , deux variables aléatoires discrètes. La fonction de masse conditionnelle de X étant donné Y est

Lois discrètes

fX j Y : R

SY ! [0, 1] (x, y ) ! P [fX = x g jfY = y g ] .

27

Discret

Fonction de masse conditionnelle II Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

Ainsi, pour tout y 2 SY , fX jY (x, y )

= P [fX = x g jfY = y g ] P [fX = x g \ fY = y g] = P [fY = y g] par la dé…nition de la probabilité conditionnelle. P [fX = x et Y = y g] = P [fY = y g] f (x, y ) = X ,Y fY ( y )

28

Discret

Dé…nitions

Fonction de masse conditionnelle III

Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

fX jY (x, y ) =

fX ,Y (x, y ) fY ( y )

Nous voyons maintenant pourquoi nous restreignons la variable Y à son support alors que la variable X n’est pas contrainte de cette même façon : nous ne pouvons nous permettre de diviser par zéro! De façon symétrique, nous dé…nissons la fonction de masse conditionnelle de Y étant donné X :

8x 2 SX et 8y 2 R, fY jX (y , x ) =

fX ,Y (x, y ) . fX ( x ) 29

Discret

Fonction de masse conditionnelle IV

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

De…nition

Indépendance

Plus généralement, il est possible de dé…nir la fonction de masse conditionnelle de n variables aléatoires X1 , ..., Xn étant donné m variables aléatoires Y1 , ..., Ym :

Moments Lois discrètes

fX 1 ,..., X n jY 1 ,...,Y m : R

n

SY 1

SY m

!

(x1 , ..., xn , y1 , ..., ym )

!

...

[0, 1 ] fX 1 ,..., X n ,Y 1 ,...,Y m (x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ) . fY 1 ,...,Y m (y1 , ..., ym )

30

Discret

Exemple I Fonction de masse conditionnelle

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments

Supposons que l’ensemble fondamental est Ω = fω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 g et que T = f0, 1, 2, 3g. Le processus stochastique X = fXt : t 2 f0, 1, 2, 3gg représente l’évolution du prix d’une action, Xt = le prix de l’action à la fermeture de la Bourse au t ième jour, l’instant t = 0 représentant aujourd’hui.

Lois discrètes

ω

X0 (ω ) X1 (ω ) X2 (ω ) X3 (ω ) 1

1

1 2 1 2

1

1 2 1 2

ω3

1

2

1

1

ω4

1

2

2

2

ω1

1

ω2

P (ω ) 2 8 1 8 3 8 2 8

31

Discret

Exemple II Dé…nitions

Fonction de masse conditionnelle

Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

La fonction de masse de X2 est 8 6 > < 8 si x = 1 2 fX 2 ( x ) = 8 si x = 2 , > : 0 sinon. La fonction de masse conjointe 8 3 > > 8 > > > < 3 8 fX 2 ,X 3 (x, y ) = 2 > > 8 > > > : 0

de X2 et X3 est si x = 1 et y =

1 2

si x = 1 et y = 1 si x = 2 et y = 2 sinon. 32

Discret

Exemple III Dé…nitions

Fonction de masse conditionnelle

Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

La fonction de masse conditionnelle de X3 étant donné X2 est 8 1 3 6 > = 21 si x = 12 et y = 1 > 8 8 > > > 1 > 3 6 > = 21 si x = 1 et y = 1 > 8 8 > < fX 3 jX 2 (x, y ) = 1 > 2 2 > = 1 si x = 2 et y = 2 > 8 8 > > > > > > : 0 sinon. 33

Discret

Exemple IV Fonction de masse conditionnelle

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe

X2 =1 1 0,9

Loi conditionnelle

0,8 0,7 0,6 0,5

Indépendance

0,4 0,3

Moments

0,2 0,1

Lois discrètes

0 0

1

2

3

X2 =2 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

1

2

3

34

Discret

Indépendance Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

De…nition Les variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si

8x, y 2 R, fX ,Y (x, y ) = fX (x ) fY (y ), c’est-à-dire si 8x, y 2 R, les événements fX = x g et fY = y g sont indépendants. Intuitivement, X et Y sont indépendantes lorsque le fait de détenir de l’information concernant l’une d’entre elles ne nous en fournit pas à propos de l’autre.

35

Discret

Exemple I Indépendance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

ω

X

Y

1

1

1

2

1

3

P (ω ) P (ω ) 0

0

1 6 1 6

1

0

1 6

1 5

4

0

1

1 6

1 5

5

0

0

1 6

1 5

6

0

0

1 6

1 5

1 5

36

Discret

Exemple II Indépendance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

Les variables aléatoires X et Y sont indépendantes si c’est la mesure de probabilité P qui prévaut sur Ω car P (X = 1 ) P (Y = 1 ) P (X = 0 ) P (Y = 1 )

= =

Indépendance Moments Lois discrètes

P (X = 1 ) P (Y = 0 )

=

P (X = 0 ) P (Y = 0 )

=

11 23 11 23 12 23 12 23

1 6 1 = 6 1 = 3 1 = 3

=

=P =P

n n

1

o

= P (X = 1 et Y = 1) ,

o

= P (X = 0 et Y = 1) , o = P 2 , 3 = P (X = 1 et Y = 0) , n o = P 5 , 6 = P (X = 0 et Y = 0) . n

4

Intuitivement, la réponse à la question ”un dé a été lancé; quelle est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur 1?” est la même que la réponse à la question ”un dé a été lancé et la variable aléatoire Y prend la valeur 1; quelle est la probabilité que la variable aléatoire X prenne aussi la valeur 1?”. Cette réponse est une demie. Nous pouvons refaire le même type de raisonnement pour n’importe quelles valeurs de X et de Y .

37

Discret

Exemple III Indépendance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible

ω

X

Y

P (ω )

P (ω )

1

1

1

1 6

0 1 5

Loi conjointe

2

1

0

1 6

3

1

0

1 6

1 5

Moments

4

0

1

1 6

1 5

Lois discrètes

5

0

0

1 6

1 5

6

0

0

1 6

1 5

Loi conditionnelle Indépendance

Par contre, les mêmes variables aléatoires X et Y sont dépendantes si c’est P qui gouverne Ω puisque 2 1 2 = 5 n 5 o 25 P (X = 1 et Y = 1) = P 1 = 0.

P (X = 1) P (Y = 1) =

38

Discret

Exemple IV Dé…nitions

Indépendance

Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

Intuitivement, la réponse à la question ”un dé a été lancé; quelle est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur 1?” n’est pas la même que la réponse à la question ”un dé a été lancé et la variable aléatoire Y prend la valeur 1; quelle est la probabilité que la variable aléatoire X prenne aussi la valeur 1?”. Dans le premier 2 tandis que dans le second, la cas, la réponse est 25 réponse est 0.

39

Discret

Exemple V Dé…nitions

Indépendance

Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

Bien que les variables aléatoires n’aient nul besoin d’une mesure de probabilité pour exister, il est nécessaire de connaître la mesure de probabilité qui prévaut sur l’espace probabilisable pour parler d’indépendance, comme l’illustre l’exemple précédent.

40

Discret

Exemple I Indépendance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

ω

X

Y

Z

P (ω )

ω

X

Y

Z

P (ω )

Moments

ω1

1

1

0

1 8

ω5

0

1

1

1 8

Lois discrètes

ω2

1

0

0

1 8

ω6

0

0

0

1 8

ω3

1

0

1

1 8

ω7

0

0

0

1 8

ω4

1

0

1

1 8

ω8

0

0

1

1 8

Indépendance

Ces variables aléatoires sont deux à deux indépendantes puisque

41

Discret

Exemple II Indépendance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe

P fX = 0 g P fY = 0 g

= =

0, 375

P fX = 1 g P fY = 0 g

= =

0, 375

P fX = 0 g P fY = 1 g

= =

0, 125

P fX = 1 g P fY = 1 g

= =

0, 125

Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

P fω 6 , ω 7 , ω 8 g = P (fX = 0g \ fY = 0g) ,

P fω 2 , ω 3 , ω 4 g = P (fX = 1g \ fY = 0g) ,

P fω 5 g = P (fX = 0g \ fY = 1g) ,

P fω 1 g = P (fX = 1g \ fY = 1g) . 42

Discret

Exemple III Indépendance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe

P fX = 0 g P fZ = 0 g

= =

0, 25

P fX = 1 g P fZ = 0 g

= =

0, 25

P fX = 0 g P fZ = 1 g

= =

0, 25

P fX = 1 g P fZ = 1 g

= =

0, 25

Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

P fω 6 , ω 7 g = P (fX = 0g \ fZ = 0g) ,

P fω 1 , ω 2 g = P (fX = 1g \ fZ = 0g) ,

P fω 5 , ω 8 g = P (fX = 0g \ fZ = 1g) ,

P fω 3 , ω 4 g = P (fX = 1g \ fZ = 1g) . 43

Discret

Exemple IV Indépendance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe

P fZ = 0 g P fY = 0 g

= =

0, 375

P fZ = 1 g P fY = 0 g

= =

0, 375

P fZ = 0 g P fY = 1 g

= =

0, 125

P fZ = 1 g P fY = 1 g

= =

0, 125

Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes

P fω 2 , ω 6 , ω 7 g = P (fZ = 0g \ fY = 0g) ,

P fω 3 , ω 4 , ω 8 g = P (fZ = 1g \ fY = 0g) ,

P fω 1 g = P (fZ = 0g \ fY = 1g) ,

P fω 5 g = P (fZ = 1g \ fY = 1g) . 44

Discret

Exemple V Indépendance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

Mais ces variables ne sont pas mutuellement indépendantes puisque

Indépendance Moments Lois discrètes

= 6= = =

P fX = 1g P fY = 1g P fZ = 1g

0, 0625 0 P f?g

P (fX = 1g \ fY = 1g \ fZ = 1g) .

45

Discret

Espérance Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

De…nition L’espérance d’une variable aléatoire discrète X , notée E [X ], est E [ X ] = ∑ x fX ( x ) . x 2SX

46

Discret

Exemple I Espérance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible

Reprenons la variable aléatoire W ainsi que les deux mesures de probabilité P et Q :

Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

ω

W (ω )

P (ω ) Q (ω )

1

5

1 6

4 12

2

5

1 6

1 12

3

5

1 6

1 12

4

5

1 6

1 12

5

0

1 6

1 12

6

10

1 6

4 12

47

Discret

Exemple II Espérance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

x 0 5 10

P fW = x g Q fW = x g 1 6 4 6 1 6

1 12 7 12 4 12

48

Discret

Exemple III Espérance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

EP [ W ] =

i =1

Indépendance Moments Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

n

∑ xi fX (xi )

= 0 EQ [ W ] =

1 +5 6

4 + 10 6

1 30 = = 5; 6 6

n

∑ xi fX (xi )

i =1

= 0

1 +5 12

7 + 10 12

4 75 = = 6, 25. 12 12

49

Discret

Exemple IV Dé…nitions

Espérance

Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

L’espérance d’une variable aléatoire est un nombre réel. Ce n’est pas une quantité aléatoire. Dans l’exemple précédent, nous pouvons noter que l’espérance d’une variable aléatoire dépend de la mesure de probabilité utilisée.

50

Discret

Moments Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

De…nition Plus généralement, si g : R ! R est une fonction à valeurs réelles alors l’espérance de g (X ) où X est une variable aléatoire discrète est E [g (X )] =

∑

g ( x ) fX ( x ) .

x 2SX

51

Discret

Propriétés Espérance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

Soit X et Y , deux variables aléatoires discrètes. Si a et b représentent des nombres réels alors (E1) E [aX + bY ] = aE [X ] + bE [Y ] . (E2) Si 8ω 2 Ω, X (ω )

Y (ω ) alors E [X ]

E [Y ] .

(E3) De façon générale, E [XY ] 6= E [X ] E [Y ] .

(E4) Si X et Y sont indépendantes alors E [XY ] = E [X ] E [Y ] .

52

Discret

Preuve de (E3) Espérance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

Voici un contre-exemple : ω

X (ω ) Y (ω )

P (ω )

X (ω ) Y (ω )

1 4 1 4 1 4 1 4

0

Indépendance Moments Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

ω1

0

1

ω2

0

1

ω3

1

0

ω4

1

0

Nous trouvons E [X ] E [Y ] =

1 2

1 2

=

0 0 0 1 4

6= 0 = E [XY ] . 53

Discret

Preuve de (E4) Espérance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance

E [XY ] =

∑ ∑

xy fX ,Y (x, y )

∑ ∑

xy fX (x ) fY (y )

x 2SX y 2SY

=

Moments

x 2SX y 2SY

Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

=

car X et Y sont indépendantes. ! !

∑

x 2SX

x fX ( x )

= E [X ] E [Y ]

∑

y fY ( y )

y 2SY

Exercice. Démontrez les propriétés (E1) et (E2). 54

Discret

Variance Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

De…nition La variance d’une variable aléatoire discrète X , notée Var [X ], est dé…nie comme suit : i h Var [X ] = E (X E [X ])2

=

∑

(x

E [X ])2 fX (x ) .

x 2SX

La variance est une mesure de la dispersion des valeurs prises par X autour de son espérance E [X ]. Plus la variance est grande, plus les valeurs sont dispersées. Tout comme l’espérance, la variance est un nombre réel. De plus, quelle que soit la variable aléatoire, la variance n’est jamais négative. L’écart-type, fort utilisé en statistique, est la racine carrée de la variance.

55

Discret

Propriétés Variance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

(V1) Var [X ]

0.

(E [X ])2 . (V3) 8a 2 R, Var [aX + b ] = a2 Var [X ] . (V4) Si X et Y sont indépendantes alors Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ] . (V2) Var [X ] = E X 2

56

Discret

Preuve de (V1) Variance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

Var [X ] =

∑

x 2SX

(x |

E [X ])2 fX (x ) {z } | {z } 0

0.

0

57

Discret

Preuve de (V2) Variance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible

Var [X ]

Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

∑

=

E [X ])2 fX (x )

(x

x 2SX

∑

=

x 2SX

∑

=

x 2SX

|

2xE [X ] + (E [X ])2

x2

x 2 fX ( x ) {z

=E[X 2 ]

h i = E X2 h i = E X2

∑

2E [X ]

}

∑

x fX (x ) + (E [X ])2

x 2SX

|

fX ( x )

{z

=E[X ]

}

x 2SX

|

fX ( x ) {z

}

=1 par la dé…nition de fonction de masse

2 (E [X ])2 + (E [X ])2

(E [X ])2 . 58

Discret

Preuve de (V3) Variance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance

Var [aX + b ] =

Lois discrètes

(ax + b

E [aX + b ])2 fX (x )

∑

(ax + b

aE [X ]

x 2SX

Moments Espérance Variance Covariance

∑

=

x 2SX

= a2

2

∑

(x

b )2 fX (x ) par (E1).

E [X ])2 fX (x )

x 2SX

= a Var [X ] .

59

Discret

Preuve de (V4) Variance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

=

Indépendance

=

Moments Espérance Variance Covariance

=

Lois discrètes

=

=

Var [X + Y ] h i E (X + Y )2 (E [X + Y ])2 par (V2) i h E X 2 + 2XY + Y 2 (E [X ] + E [Y ])2 par (E1) h i h i E X 2 + 2E [XY ] + E Y 2

(E [X ])2 2E [X ] E [Y ] (E [Y ])2 h i h i E X 2 + 2E [X ] E [Y ] + E Y 2

(E [X ])2 2E [X ] E [Y ] (E [Y ])2 par (E4) h i h i E X2 (E [X ])2 + E Y 2 (E [Y ])2

= Var [X ] + Var [Y ] par (V2).

60

Discret

Covariance I Dé…nitions Distribution

De…nition

Égalités forte et faible

La covariance des variables aléatoires discrètes X et Y , notée Cov [X , Y ] est l’espérance de la variable aléatoire (X E [X ]) (Y E [Y ]) :

Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

Cov [X , Y ] =

∑ ∑

(x

E [X ]) (y

E [Y ]) fX ,Y (x, y )

x 2SX y 2SY

Si la covariance est positive, c’est que dans la somme

∑ ∑

(x

E [X ]) (y

E [Y ]) fX ,Y (x, y ) ,

x 2SX y 2SY

ce sont les x et les y rendant le terme (x E [X ]) (y E [Y ]) positif qui dominent, ce qui signi…e que les variables aléatoires X et Y ont tendance à 61

Discret

Covariance II Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

être soit supérieures, soit inférieures à leur espérance pour les mêmes états du monde ω. Si la covariance est négative, alors ce sont les ω rendant le terme (x E [X ]) (y E [Y ]) négatif qui dominent, ce qui signi…e que lorsqu’une des variables aléatoires X ou Y est supérieure à son espérance, l’autre a tendance à être inférieure à son espérance.

62

Discret

Propriétés I Covariance

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Espérance Variance Covariance

Lois discrètes

(C1) Cov [X , Y ] = E [XY ]

E [X ] E [Y ] .

(C2) Si X et Y sont indépendantes, alors Cov [X , Y ] = 0. (C3) 8a1 , a2 2 R, Cov [aX1 + bX2 ; Y ] = aCov [X1 ; Y ] + bCov [X2 ; Y ] . (C4) Var [X + Y ] = Var [X ] + Var [Y ] + 2Cov [X , Y ]

63

Discret

Principales lois discrètes Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Les cinq premières lois présentées (Bernoulli, binomiale, géométrique, binomiale négative et hypergéométrique) servent à modéliser di¤érentes quantités concernant la situation suivante : une expérience aléatoire est tentée pour laquelle deux résultats seulement sont possibles : un succès, qui peut être obtenu avec une probabilité π, ou un échec, qui survient avec probabilité 1 π, π étant un nombre réel compris entre 0 et 1 inclusivement.

64

Discret

Loi de Bernoulli I Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Une expérience aléatoire est tentée. Deux résultats sont possibles : un succès, qui peut être obtenu avec une probabilité π, ou un échec, qui survient avec probabilité 1 π, π étant un nombre réel compris entre 0 et 1 inclusivement. La variable aléatoire X , qui vaut 1 si un succès est observé et 0 sinon, est de loi de Bernoulli de paramètre π.

65

Discret

Loi de Bernoulli II Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments

Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont 8 < f0, 1g si 0 < π < 1, 0 si π = 0, SX = : 1 si π = 1. Sa fonction de masse est

Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

fX ( x ) =

π )1

π x (1 0

x

si x 2 SX sinon.

En e¤et, et 1

π

=

P [obtenir un succès] = P [X = 1] = π 1 (1

π

=

P [obtenir un échec] = P [X = 0] = π 0 (1

π )1 π )1

1 0

.

66

Discret

Loi de Bernoulli III Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible

E [X ] = 0fX (0) + 1fX (1)

Loi conjointe

= 0 π 0 (1 = π,

Loi conditionnelle

π )1

0

+ 1 π (1

π )1

1

Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

E X2

= 0fX (0) + 12 fX (1) = π,

Var [X ] = E X 2

(E [X ])2

= π π2 = π (1 π ) . 67

Discret

Binomiale I Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Une expérience aléatoire est tentée. Deux résultats sont possibles : un succès, qui peut être obtenu avec une probabilité π, ou un échec, qui survient avec probabilité 1 π, π étant un nombre réel compris entre 0 et 1 inclusivement. Cette expérience est répétée n fois, de façon indépendante. La variable aléatoire X , qui représente le nombre de succès obtenus au cours de ces n tentatives, est de loi binomiale de paramètres n et π.

68

Discret

Binomiale II Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont 8 < f0, 1, ..., ng si 0 < π < 1, 0 si π = 0, SX = : n si π = 1. Sa fonction de masse est 8 n < π x (1 x fX ( x ) = : 0

π )n

x

si x 2 SX sinon.

n = x !(nn! x )! . x Rappelons que, par dé…nition, 0! = 1. où

69

Discret

Binomiale III Dé…nitions

Justi…cation de la fonction de masse :

Distribution Égalités forte et faible

Il y a 10 façon d’obtenir 3 succès lors de 5 tentatives :

Loi conjointe

ÉÉSSS, ÉSÉSS, ÉSSÉS, ÉSSSÉ

Loi conditionnelle

SÉÉSS, SÉSÉS, SÉSSÉ,

Indépendance

SSÉÉS, SSÉSÉ, SSSÉÉ.

Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

P [X = x ]

= P [obtenir x succès et n x échec] n! πx = (1 π )n x . |{z} | {z } x ! (n x ) ! | {z } probabilité d’obtenir probabilité d’obtenir nombre de façons de disposer les x succès parmi les n essais

x succès

n x échecs

70

Discret

Binomiale IV Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance

Si Xi =

1 si nous obtenons un succès au i ième essai 0 sinon

Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

alors X1 , ..., Xn est un ensemble de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, toutes de loi Bernoulli(π). Nous pouvons constater que X = ∑ni=1 Xi .

71

Discret

Binomiale V Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible

Pour cette raison,

Loi conjointe Loi conditionnelle

E [X ] = E

Indépendance Moments

n

∑ Xi

i =1

#

n

=

Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

"

∑ E [Xi ]

par la propriété (E1)

i =1 n

=

∑π

i =1

= nπ.

72

Discret

Binomiale VI Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

Var [X ] = Var

Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

"

n

∑ Xi

i =1

#

n

=

∑ Var [Xi ]

par la propriété (V4)

i =1 n

=

∑ π (1

π)

i =1

= nπ (1

π) .

73

Discret

Exemple I Loi binomiale

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible

Le nombre X de 6 obtenus en 15 lancers de dé est de loi binomiale 15, 16 .

Loi conjointe Loi conditionnelle

x

fX ( x )

Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

0 1 2 3 4 5

6, 491 1, 947 2, 726 2, 363 1, 418 6, 237 ...

10 10 10 10 10 10

Fonction de masse de X 2

0,3 0,25

1 1 1 1

0,2 0,15 0,1 0,05 0

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

E [X ] = 2, 5 et Var [X ] =

25 = 2, 0833. 12 74

Discret

Exemple II Dé…nitions

Loi binomiale

Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Le nombre de personnes ayant les yeux bleus dans un échantillon aléatoire simple avec remise de taille 540 tiré dans une population donnée est de loi binomiale(540, π ) où π est la proportion d’individus ayant les yeux bleus dans la population.

75

Discret

Propriété Dé…nitions

Loi binomiale

Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Si X1 et X2 sont des variables aléatoires indépendantes de loi binomiale(n1 , π ) et binomiale(n2 , π ) respectivement, alors X1 + X2 est de loi binomiale(n1 + n2 , π ).

76

Discret

Géométrique I Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Une expérience aléatoire est tentée.

Deux résultats sont possibles : un succès, qui peut être obtenu avec une probabilité π, ou un échec, qui survient avec probabilité 1 π, π étant un nombre réel compris entre 0 exclusivement et 1 inclusivement. Cette expérience est répétée de façon indépendante jusqu’à l’obtention d’un premier succès. Soit X le nombre d’essais requis.

77

Discret

Géométrique II Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont

SX =

f1, 2, 3, ...g si 0 < π < 1 1 si π = 1

Sa fonction de masse est

Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

fX ( x ) =

π (1

π )x 0

1

Justi…cation de la fonction de masse: 2

si x 2 SX sinon. 3

´ ´ E´ ...E´ S 5 P [X = x ] = P 4Le résultat des n essais est E | E {z }

= (1

π)

x 1

x 1 fois

π.

78

Discret

Les séries géométriques I Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe

Theorem Soit Sn = 1 + a + a2 + ... + an . Si jaj < 1 alors

Loi conditionnelle

lim Sn =

n !∞

Indépendance Moments

1 1

a

.

Preuve.

Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Sn = 1 + a + a2 + ... + an

) aSn = a + a2 + ... + an +1 ) Sn aSn = 1 an +1 1 an +1 ) Sn = . 1 a 79

Discret

Les séries géométriques II Dé…nitions Distribution

Theorem

Égalités forte et faible

Posons Tn = 1 + 2a + 3a2 + ... + nan

Loi conjointe

lim Tn =

Loi conditionnelle

n !∞

Indépendance Moments

1.

1

(1

a )2

Si jaj < 1 alors .

Preuve. Rappelons que Sn = 1 + a + a2 + ... + an .

Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Tn

= = =

d Sn da d 1 an +1 da 1 a 1 (n + 1) an + nan +1

(1

a )2

.

80

Discret

Les séries géométriques III Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

Theorem Posons Un = 1 + 22 a + 32 a2 + ... + n2 an lim Un =

Indépendance

n !∞

Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

1+a

(1

a )3

1.

Si jaj < 1 alors

.

Preuve. Rappelons que Un Tn et aTn

= 1 + 22 a + 32 a2 + ... + n2 an = 1 + 2a + 3a2 + ... + nan 1 . = a + 2a2 + 3a3 + ... + nan

1

81

Discret

Les séries géométriques IV Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Un d = (aTn ) da d = Tn + a Tn da 1 (n + 1) an + nan +1 d = +a 2 da (1 a )

=

1+a

1

(n + 1) an + nan +1 (1 a )2

n2 + 2n + 1 an + 2n2 + 2n

(1

1 an +1

!

an +2 n 2

a )3

82

.

Discret

Les moments I loi géométrique

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible

Rappel : Tn = 1 + 2a + ... + nan Si 0 < π < 1 alors

Loi conjointe Loi conditionnelle

Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

et limn !∞ Tn =

1 . (1 a )2

∞

E [X ] =

∑ xfX (x )

x =1 ∞

Indépendance Moments

1

=

∑ x π (1

π )x

1

∑ x (1

π )x

1

x =1 ∞

= π

x =1

= π 1 + 2 (1 = π

π ) + 3 (1

1

(1

(1

π ))

2

=

π )2 + ...

1 . π 83

Discret

Les moments II loi géométrique

Dé…nitions Distribution

Rappel : Un =

1 + 22 a + ... + n2 an 1

Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments

E X2

1 +a . (1 a )3

∞

=

∑ x 2 fX ( x )

x =1 ∞

=

∑ x 2 π (1

π )x

1

∑ x 2 (1

π )x

1

x =1 ∞

Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

et limn !∞ Un =

= π

x =1

= π 1 + 22 (1 = π =

2

1 + (1

(1

(1 π

π2

π ) + 32 (1

π )2 + ...

π) π ))3

. 84

Discret

Les moments III loi géométrique

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Var [X ] = E X 2 2 π = π2 1 π = . π2

(E [X ])2 1 π2

85

Discret

Exemple Loi géométrique

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

Le nombre X de lancers de dé nécessaires à l’obtention de la face 6 suit une loi géométrique de paramètre π = 16 . x

Fonction de masse de X

fX ( x )

Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

0,2

1 2 3 4 5

1, 667 1, 389 1, 157 9, 645 8, 038 ...

10 10 10 10 10

1

0,15

1 0,1

1 2

0,05

2

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

E [X ] = 6 et Var [X ] = 30. 86

Discret

Binomiale négative I Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Une expérience aléatoire est tentée. Deux résultats sont possibles : un succès, qui peut être obtenu avec une probabilité π, ou un échec, qui survient avec probabilité 1 π, π étant un nombre réel compris entre 0 exclusivement et 1 inclusivement. Cette expérience est répétée de façon indépendante jusqu’à l’obtention de n succès. Soit X le nombre d’essais requis.

87

Discret

Binomiale négative II Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible

Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont

Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

SX =

fn, n + 1, ...g si 0 < π < 1 n si π = 1

Sa fonction de masse est 8 x 1 < n 1 fX ( x ) = :

π n (1 0

π )x

n

si x 2 SX sinon.

88

Discret

Binomiale négative III Dé…nitions Distribution

Justi…cation de la fonction de masse

Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

P [X = x ] 2

3 il y a eu exactement x essais, 6 le résultat du dernier essais est un succès 7 7 = P6 4 et parmi les x 1 premières tentaitves, 5 il y a eu n 1 succès.

=

(x 1) ! (n 1) ! (x n ) ! {z } |

Nombre de façons d’obtenir n 1 succès en x 1 essais

πn |{z}

(1 π )x n . | {z }

probabilité d’obtenir probabilité d’ontenir n succès x n échecs

89

Discret

Binomiale négative IV Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Si Xi représente le nombre d’essais e¤ectués après le i 1 ième succès a…n d’obtenir le i ième succès alors X1 , ..., Xn est un ensemble de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, toutes de loi Géométrique(π). Nous pouvons constater que n

X =

∑ Xi .

i =1

90

Discret

Binomiale négative V Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible

Pour cette raison,

Loi conjointe Loi conditionnelle

E [X ] = E

Indépendance Moments

n

∑ Xi

i =1

#

n

=

∑ E [Xi ]

i =1 n

Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

"

=

par la propriété (E1)

1

∑π

i =1

=

n π

91

Discret

Binomiale négative VI Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

En utilisant la propriété (V 4), nous établissons une expression pour la variance d’une variable aléatoire de loi binomiale négative : " # n

∑ Xi

Var [X ] = Var

i =1

n

=

∑ Var [Xi ]

i =1 n

=

∑

i =1

= n

1

1

par la propriété (V4)

π π2

π . π2 92

Discret

Exemple I Binomiale négative

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe

Le nombre X de lancers de dé nécessaires à l’obtention de deux fois la face 6 suit une loi binomiale négative de paramètres n = 2 et π = 61 .

Loi conditionnelle Indépendance

x

Fonction de masse de X

fX ( x )

0,08

Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

2 3 4 5 6

2, 778 4, 630 5, 787 6, 430 6, 698 ...

10 10 10 10 10

2

0,07 0,06

2 2 2

0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

2

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

E [X ] = 12 et Var [X ] = 60. 93

Discret

Hypergéométrique I Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

La population est composée de N1 éléments de type 1 et de N2 éléments de type 2. Nous prélevons un échantillon aléatoire simple sans remise de taille n de cette population (n étant un entier positif inférieur ou égal à N1 + N2 ). La variable aléatoire X est le nombre d’éléments de type 1 dans l’échantillon. Cette situation ressemble à celle dé…nie lors de la présentation de la loi binomiale. En e¤et, si nous dé…nissons un succès comme étant le fait de choisir un élément de type 1, alors X serait de loi binomiale n, N 1N+1N 2 si l’échantillonnage était e¤ectué avec remise. 94

Discret

Hypergéométrique II Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Dans le cas d’un échantillonnage sans remise, le support de la variable X est

SX = fx 2 N [ f0g : max f0, n

N2 g

x

min fn, N1 gg .

En e¤et, s’il y a moins d’éléments de type 1 dans la population que d’éléments dans l’échantillon (n > N1 ) , alors il ne nous est pas possible d’obtenir plus de N1 succès. C’est pourquoi x min fn, N1 g. S’il y a moins d’éléments de type 2 dans la population que d’éléments dans l’échantillon (n > N2 ) , alors il ne nous est pas possible d’obtenir plus de N2 échecs. Comme le nombre d’échecs est n moins le nombre de succès, alors x min fn, N2 g n+x min fn, N2 g = max f n, x n + max f n, N2 g = max f0, n n

, ,

N2 g N2 g . 95

Discret

Hypergéométrique III Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

La fonction de masse est 8 0 10 > N1 A @ N2 > @ > > > x n x < 1 0 fX ( x ) = N + N 1 2 A @ > > > n > > : 0 (

=

x ! (N 1

1 A

si x 2 SX sinon

N 1 !N 2 !n!(N 1 +N 2 n )! x ) ! (n x ) ! (N 2 n +x ) ! (N 1 +N 2 ) !

0

si x 2 SX sinon.

96

Discret

Hypergéométrique IV Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Il est possible de montrer que N1 et N1 + N2 N1 N 2 N1 + N2 Var [X ] = n N1 + N2 N1 + N 2 N1 + N2 E [X ] = n

n . 1

97

Discret

Exemple I Hypergéométrique

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Un échantillon aléatoire simple sans remise de taille 20 est sélectionné dans une classe composée de 8 …lles et 29 garçons. Le nombre X de …lles présentes dans l’échantillon suit une loi hypergéométrique de paramètres n = 20 et N1 = 8 et N2 = 29. Pour …ns de comparaison, nous avons aussi représenté la distribution d’une variable aléatoire Y de loi binomiale de 8 paramètres n = 20 et π = 37 . x 0 1 2 3 4 5

f X (x ) (blanc) 6, 2966 10 1, 0075 10 6, 0905 10 1, 8272 10 2, 9867 10 2, 7307 10 ...

4 2 2 1 1 1

f Y (x ) (noir) 7, 6547 10 4, 2233 10 1, 1068 10 1, 8319 10 2, 1478 10 1, 8960 10 ...

Fcts de masse de X et de Y 0,35

3 2 1

0,3 0,25 0,2 0,15

1 1 1

0,1 0,05 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

98

Discret

Exemple II Hypergéométrique

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments

Le nombre X de cartes en • obtenues dans une main de poker suit une loi Hypergéométrique de paramètres n = 5 et N1 = 13 et N2 = 39. Par comparaison, le nombre Y de cartes en • obtenues en tirant cinq fois une carte avec remise dans un jeu de 52 cartes est de loi binomiale de paramètres n = 5 et π = 13 52 .

Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

x 0 1 2 3 4 5

f X (x ) (blanc) 2, 2153 10 4, 1142 10 2, 7428 10 8, 1543 10 1, 0729 10 4, 952 10

1 1 1 2 2 4

f Y (x ) (noir) 2, 373 10 3, 9551 10 2, 6367 10 8, 7891 10 1, 4648 10 9, 7656 10

Fonctions de masse de X et de Y 0,5

1

0,4

1

0,3

1

0,2

2

0,1

2

0

4

0

1

2

3

4

5

99

Discret

Remarque I Hypergéométrique

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

n Plus le taux de sondage N 1 + N 2 est petit, plus la loi hypergéométrique de paramètres (n, N1 , N2 ) ressemble à

la loi binomiale n, N 1N+1N 2 .

100

Discret

Poisson I Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments

La loi de Poisson s’applique souvent à la description du comportement du nombre X d’événements qui se produisent dans un certain intervalle de temps. Le support d’une variable aléatoire de loi de Poisson est l’ensemble des entiers naturels augmenté du zéro. Sa fonction de masse est

Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

fX ( x ) =

e

λ λx x!

0

si x 2 f0, 1, 2, 3, ...g sinon.

où λ est une constante positive. Nous verrons lors de l’étude des processus de Poisson comment se justi…e cette expression pour la fonction de masse. 101

Discret

Poisson II Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance

∞

E [X ] =

∞

= e

Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

= λe

λ

∑

x

x =0 ∞ λ

λ

∑

∑

λy y!

y =0

= λe

λx =e x! λx 1 (x 1) !

x =1 ∞

= λe

x

x!

x =0

Moments Lois discrètes

λλ

∑ xe

∞

λ

∑

x =1

x

λx x!

λ λ

e =λ

102

Discret

Poisson III Dé…nitions

∞

Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

E X2

=

∑

∞

= λe

λ

= λe

λ

Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

∑

x =1 ∞

λ

∑

x =1

= λe

= λe

λ

∑

x

x =1

λx 1 (x 1) !

λx d = λe ∑ 1) ! x =1 d λ ( x ∞

= λe

∞

x

x!

x =0

Indépendance Moments

λλ

x 2e

λ

∞

x λx 1 ∑ 1) ! x =1 ( x ! ∞ λx 1 (x 1) λx 1 + (x 1)! x∑ (x 1) ! =1 ! ∞ λx 1 λx 2 +λ ∑ 2) ! (x 1) ! x =2 ( x λ

e λ + λe λ

= λ + λ2 Var [X ] = E X 2

(E [X ])2 = λ + λ2

λ2 = λ.

103

Discret

Exemple Poisson

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments

S’il y a en moyenne trois naissances par jour dans un certain hôpital, alors le nombre X de naissances qui se produiront pendant les prochaines trente-six heures (1 journée et demie) à cet hôpital suit une loi de Poisson de paramètre λ = 4, 5. x

fX ( x )

Fonction de masse de X

Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

0 1 2 3 4 5 6 ...

1, 111 4, 999 1, 125 1, 687 1, 898 1, 708 1, 281 ...

10 10 10 10 10 10 10

2

0,2

2 0,2

1 0,1

1 1

0,1

1

0,0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

104

Discret

Propriété Dé…nitions

Poisson

Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Si X1 et X2 sont deux variables aléatoires indépendantes, la première étant de loi de Poisson(λ1 ) et la deuxième étant distribuée selon une loi de Poisson(λ2 ) , alors X1 + X2 est de loi de Poisson(λ1 + λ2 ).

105

Discret

Uniforme Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance

Une variable aléatoire X est dite de loi uniforme discrète de paramètres a et b si a et b sont des entiers tels que a < b et que la fonction de masse de X est

Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

fX ( x ) =

1 b a +1

0

si x 2 fa, a + 1, a + 2, ...., b g sinon,

c’est-à-dire que chacune des modalités de la variable a la même probabilité de survenir.

106

Discret

Série I La somme des n premiers entiers.

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

Theorem

Indépendance

∑ni=1 i =

Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

n (n +1 ) , 2

n 2 N.

Preuve par induction. Lorsque n = 1, nous avons 1

∑i =1=

i =1

1 (1 + 1) . 2

107

Discret

Série II La somme des n premiers entiers.

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Supposons maintenant qu’il existe un k 2 N tel que k (k +1 ) ∑ki=1 i = 2 . Alors k +1

∑i

k

=

i =1

∑i

i =1

= =

!

+ (k + 1)

k (k + 1) + (k + 1) par hypothèse d’induction 2 k +1 (k + 2) . 2

108

Discret

Série I La somme des n premiers entiers au carré.

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

Theorem

Indépendance

∑ni=1 i 2 =

Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

n (n +1 )(2n +1 ) , 6

n 2 N..

Preuve par induction. Lorsque n = 1, nous avons 1

∑ i2 = 1 =

i =1

1 (1 + 1) (2 6

1 + 1)

.

109

Discret

Série II La somme des n premiers entiers au carré.

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance

Supposons maintenant qu’il existe un k 2 N tel que k (k +1 )(2k +1 ) . Alors ∑ki=1 i = 6 k +1

∑i

2

k

=

i =1

i =1

Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

∑i

= = = =

2

!

+ (k + 1)2

k (k + 1) (2k + 1) + (k + 1)2 par hyp. d’induction 6 (k + 1) (k (2k + 1) + 6 (k + 1)) 6 (k + 1) 2k 2 + 7k + 6 6 (k + 1) (k + 2) (2 (k + 1) + 1) . 6 110

Discret

Moments I Loi uniforme

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

Si Y est de loi uniforme(0, c ), c’est-à-dire que a = 0 et b = c > 0, alors c

Indépendance Moments

E [Y ] =

y =0

Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

1

∑ yc +1

= = =

c 1 y c + 1 y∑ =0

1 c (c + 1) c +1 2 c 2 111

Discret

Moments II Loi uniforme

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle

E Y2

c

=

y =0

Indépendance Moments

=

Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

1

∑ y2 c + 1

= = Var [Y ] =

c 1 y2 c + 1 y∑ =0

1 c (c + 1) (2c + 1) c +1 6 c (2c + 1) 6 c (2c + 1) 6

c 2

2

=

c (c + 2) 12 112

Discret

Moments III Loi uniforme

Dé…nitions Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Il su¢ t de constater que X = Y + a, c = b a pour obtenir les premiers moments d’une variable aléatoire de loi uniforme discrète de paramètres a et b : E [X ] = E [Y ] + a b a = +a 2 a+b = 2 Var [X ] = Var [Y + a]

= Var [Y ] (b a ) (b a + 2) . = 12 113

Discret

Exemple Dé…nitions

Uniforme

Distribution Égalités forte et faible Loi conjointe Loi conditionnelle Indépendance Moments Lois discrètes Bernoulli Binomiale Géométrique Binomiale négative Hypergéométrique Poisson Uniforme

Le nombre X de points observés sur la face supérieure d’un dé suit une loi uniforme de paramètres a = 1 et b = 6. E [X ] = 27 = 3, 5 et Var [X ] = 35 12 = 2, 9167.

114