LOI DES GRANDS NOMBRES THEOREMES DE CONVERGENCE

Loi des grands nombres – Théorèmes de convergence

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LOI DES GRANDS NOMBRES THEOREMES DE CONVERGENCE «C’est presque toujours par vanité qu’on montre ses limites. » André GIDE

MARCHE D’APPROCHE 1. INEGALITE DE BIENAYME- CHEBYCHEV etc.....

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Chapitre 9

3. LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES 3. 1. Enoncé A1, A2, A3,..., An désignent une suite d’expériences aléatoires identiques, et indépendantes les unes des autres. A chaque expérience aléatoire Ai est associée une variable aléatoire Xi. Les variables aléatoires Xi ont toutes la même espérance 2 mathématique, notée µ, et la même variance, notée σ . Soit X n la variable

F GH

I JK

1 n aléatoire définie, pour tout entier n non nul, par X n = ∑ Xi . n i =1

d

i

Soit ε un réel strictement positif donné. Alors lim p X n − µ ≤ ε = 1 n→ +∞

3. 2. Démonstration Les variables aléatoires Xi étant indépendantes :

!

LM OP 1 OP 1 1 L M E ( X ) ( n ) et V ( X ) V ( X ) = µ = µ = n MN∑ MN∑ PQ n PQ = n (nσ Appliquons l’inégalité de Bienaymé-Chebychev à la variable aléatoire X . tσ I 1 F Il vient : pG X − µ > J≤ . H nK t n

1 E( X n ) = n

n

i

n

i =1

i

2

i =1

2

2

σ2 )= n

n

n

2

tσ ε n 1 nε 2 on a t = , d’où 2 = 2 . Alors : σ n t σ

En posant ε =

d

i

p Xn − µ > ε ≤

σ2

nε 2 Cette inégalité généralise le théorème de Bernoulli. !

d

(GN 1)

L’événement X n − µ ≤ ε est l’événement contraire de X n − µ > ε , donc :

i

d σ Puisque pd X − µ > ε i ≤ nε

i

p Xn − µ ≤ ε = 1− p Xn − µ > ε . 2

n

2

d

i

on a 1 − p X n − µ > ε ≥ 1 −

d

i

p Xn − µ ≤ ε ≥ 1 −

σ2

σ2 , d’où finalement : nε 2

(GN 2) nε 2 Or toute probabilité est inférieure à 1, on a donc l’encadrement : σ2 1 − 2 ≤ p X n − µ ≤ ε ≤ 1 , duquel on déduit immédiatement : nε

d

i

d

i

lim p X n − µ ≤ ε = 1

n→ +∞

(GN 3)

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Loi des grands nombres – Théorèmes de convergence 3. 3. Etude d’un exemple

On réalise n lancers successifs d’un dé cubique, non pipé, dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note Xi la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de points marqués 1 7 ème lors du i jet. La moyenne de Xi est µ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = . Sa variance est 6 2 2 35 1 7 2 2 2 2 . σ = E(Xi ) – m , d’où σ 2 = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) − , soit σ = 12 6 2

!

FG IJ HK

Soit X n la variable aléatoire qui prend pour valeurs la moyenne des points marqués

!

1 au cours des n jets : X n = n

n

∑ Xi . On se propose de déterminer un nombre de jets i =1

suffisants pour que l’événement X n − µ ≤ 0,1 ait au moins huit chances sur dix d’être

d

i

réalisé, soit p X n − µ ≤ 0,1 ≥ 0,8 . D’après l’énoncé (GN 2) de la loi des grands nombres, nous savons que : σ2 σ2 p X n − µ ≤ ε ≥ 1 − 2 . Il suffit donc de choisir ε = 0,1 et d’assurer 1 − 2 ≥ 0,8 , nε nε 3500 35 35 ≥ 0,8 , soit n ≥ 500 . Or 500 ≈ 1458,3 et n est un entier. c’est à dire :1 − 12n 12 12

d

i

FG IJ H K

FG IJ H K Il suffit donc d’effectuer au moins 1459 jets pour que pd X n − µ ≤ 0,1i ≥ 0,8 .

4. THEOREME DE BOREL Au cours d’une expérience aléatoire, la probabilité d’un événement A est p. On réalise successivement, de façon indépendante, n expériences du type précédent et on note Fn la fréquence de l’événement A au cours de ces n expériences. Soit ε un nombre réel strictement positif donné. Alors : lim p Fn − p < ε = 1 n→ +∞

c

h

Ce théorème n’est qu’un cas particulier de la loi des grands nombres mais il justifie l’introduction « fréquentiste » de la notion de probabilité. Il peut également être considéré comme un corollaire du théorème de Bernoulli. 4. 1. Démonstration

c

h

c

h

La probabilité de l’événement Fn − p < ε s’écrit : p Fn − p < ε = 1 − p Fn − p ≥ ε .

c

h

et, par suite : 1 −

pq

D’après le théorème de Bernoulli p Fn − p ≥ ε ≤

c

h

1 − p Fn − p ≥ ε ≥ 1 −

pq

nε 2 montre que : lim p Fn − p < ε = 1 . n →+∞

c

h

nε 2

pq nε 2

c

, donc :

h

≤ p Fn − p ≥ ε ≤ 1 . Cet encadrement