Lois de probabilité continues

Lois de probabilité continues

Chapitre 1

I) Lois de probabilité continues 1) P`os¸ fi˚i˚tˇi`o“nffl `d˚uffl ¯p˚r`o˝b˝l´è›m`e On considère des expériences aléatoires dont l’issue est un réel. Ce réel sera la valeur prise par la variable aléatoire X. Lorsque la variable aléatoire réelle prend des valeurs de tout un intervalle I de R, on dit que la loi de probabilité de cette variable aléatoire est continue. Les probabilités d’évènements à évaluer sont donc de la forme X < a ou X > a ou X 6 a ou X > a où a est un réel, c’est-à-dire d’une façon générale, d’évènements de la forme X ∈ J où J est un intervalle de R.

2) I”n˚t´é´gˇr`a˜l´es˙ `àffl ˜bˆo˘r‹n`e ˚i‹n˜fˇi‹n˚i`es˙ Définition Soit a un réel et f une fonction qui admet des primitives sur R. On pose : 1. 2.

R +∞ a

Ra

−∞

f (t)dt = lim

x

x→+∞ a Z a

f (t)dt = lim

3. Pour tout

Z

x→−∞ x R +∞ réel a, −∞

f (t)dt (sous réserve que cette limite existe) f (t)dt (sous réserve que cette limite existe)

f (t)dt =

Ra

−∞

f (t)dt +

R +∞ a

f (t)dt.

3) G´é›n`éˇr`a˜lˇi˚t´és˙ Définition Soit f une fonction définie sur R. On dit que f est une densité de probabilité lorsqu’elle vérifie les conditions suivantes : (i) f est continue sur R, sauf éventuellement en quelques valeurs. (ii) Pour tout x ∈ R, f (x) > 0. (iii) ,

R +∞ −∞

f (t)dt = 1.

Définition La fonction de répartition d’une variable aléatoire X qui suit une loi à densité continue f est la fonction F : F

: R −→ [0; 1] Rx x 7−→ F (x) = P (X 6 x) = −∞ f (t)dt

1

Propriété Soit X une variable aléatoire qui suit une loi à densité continue f . La fonction de répartition F de X est une fonction croissante sur R, et lim F (x) = 0 et lim F (x) = 1. De plus F x→−∞

x→+∞

est dérivable en tout réel x où f est continue , avec F ′ (x) = f (x).

Propriété Soit X une variable aléatoire qui suit une loi à densité continue f et a, b deux réels tels que a 6 b. 1. P (X = a) = 0. 2. P (X < a) = P (X 6 a) = F (a) = 3. P (X > b) = P (X > b) =

R +∞ b

Ra

−∞

f (t)dt.

f (t)dt.

4. P (X > b) = P (X > b) = 1 − P (X 6 b) = 1 − F (b). 5. P (a < X < b) = P (a 6 X < b) = P (a < X 6 b) = P (a 6 X 6 b) = F (b) − F (a) = Rb a f (t)dt.

II) Exemples de lois continues 1) L`o˘iffl ˚u‹n˚i˜f´o˘r‹m`e `c´o“n˚tˇi‹n˚u`e

Propriété Soit a et b deux réels tels que a < b.La fonction f définie sur R par f (x) =

1 si x ∈ [a; b] est une densité de probabilité.  b−a 0 sinon  

Définition Soit a et b deux réels tels que a < b, et X une variable aléatoire. On dit que X suit la loi uniforme sur [a; b] lorsque X suit la loi à densité continue f définie sur R par 1 si x ∈ [a; b] f (x) =  b−a 0 sinon  

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Exemple Choisir un réel au hasard dans [a; b] se modélise par la loi uniforme sur [a; b], c’est-à-dire que si on appelle X la variable aléatoire qui représente le réel choisi au hasard dans [a; b], alors X suit la loi uniforme sur [a; b].

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2) L`o˘iffl `e›xp ˙ `o“n`e›n˚tˇi`e¨l¨l´e `o˘uffl `d`e `d˚u˚r`é´e `d`e ”v˘i`e ¯sfi`a‹n¯s ”v˘i`eˇi˜l¨lˇi¯sfi¯sfi`e›m`e›n˚t Propriété Soit λ un réel strictement positif. La fonction f définie sur R par f (x) =

(

λe−λx si x ∈ [0; +∞[ est une densité de probabilité. 0 sinon

Définition Soit λ un réel strictement positif et X une variable aléatoire réelle. On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre λ lorsque X est à valeurs dans [0; +∞[ et suit la loi à densité continue f définie sur R par :

f (x) =

(

λe−λx si x ∈ [0; +∞[ 0 sinon

Théorème La fonction de répartition d’une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ est la fonction F définie sur R par

F (x) = P (X < x) =

Z

0

x

f (t)dt =

(

1 − e−λx si x ∈ [0; +∞[ 0 sinon

.

Définition Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [0; +∞[ qui suit une loi à densité continue. On dit que X suit une loi de durée de vie sans vieillissement ou sans mémoire lorsque : pour tous réels t et h strictement positifs tels que P (X > t) 6= 0, PX t + h) = P (X > h).

Propriété Soit X une variable aléatoire qui suit une loi à densité continue. Les propriétés suivantes sont équivalentes 1. X suit une loi exponentielle de paramètre λ. 2. X suit une loi de durée de vie sans vieillissement.

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