mathematik, 1 - Physikunterricht.at

MATHEMATIK, 1. Klasse 1.) Die natürlichen Zahlen Impulsfrage: Wer kann die höchste Zahl nennen? Impulstext: Wie groß ist groß? (aus: Lothar Dehner: Wer macht mit beim Kombi-Quiz?) Namen für große Zahlen: 1 Million= 1000 000 (6 Nullen) 1 Milliarde = 1 000 000 000 (9 Nullen) 1 Billion = 1 000 000 000 000 (12 Nullen) 1 Billiarde = 1 000 000 000 000 000 (15 Nullen) usw. z.B. Wie viele Tausender passen in eine Milliarde? 1 000 000 000 : 1 000 = 1 000 000 In eine Milliarde passen 1 Million Tausender. z.B. Wie viele Millionen passen in eine Billiarde? 1 000 000 000 000 000 : 1 000 000 = 1 000 000 000 In eine Billiarde passen 1 Milliarde Millionen.

Darstellung in einer Stellenwerttafel Stelle die Zahlen 12 356 400, 234 532, 2 563 455 451 008 768 in einer Stellenwerttafel dar! Tausender Billiarden Billionen Milliarden Millionen HT ZT T 12 3 5 6 2 3 4 2 563 455 451 0 0 8

H 4 5 7

Z 0 3 6

E 0 2 8

Die Menge der natürlichen Zahlen Eine MENGE fasst Dinge zusammen, die eine gemeinsame Eigenschaft haben. Mengen werden mit Hilfe von Mengenklammern dargestellt. {} N={0, 1,2,3,4,5, …} Menge der natürlichen Zahlen Es gibt unendlich () viele natürliche Zahlen. Zahlen, die kleiner als 0 sind (z.B. -10°C) und solche, die zwischen zwei natürlichen Zahlen liegen (z.B. 2,3 oder ½) sind keine natürlichen Zahlen. Ng= {0, 2,4,6,8,… } Menge der geraden natürlichen Zahlen Nu= {1,3,5,7,9, …} Menge der ungeraden natürlichen Zahlen Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger (z.B. 8 → 9). Jede natürliche Zahl hat (außer Null) innerhalb der natürlichen Zahlen einen Vorgänger. Wie kann man Mengen anschreiben? z.B.

2 6

4 8

10

-

Aufzählendes Verfahren A={4,6,8,10} 4,6,8 und 10 nennt man die Elemente der Menge

-

Beschreibendes Verfahren

A  {x  N g / 2  x  12} sprich: Die Menge A besteht aus allen x aus der Menge der geraden Zahlen für die gilt, dass 2 kleiner als x und x kleiner als 12 ist.

Arbeitsblatt: Mengen

1

Der Zahlenstrahl (number line) Aus Ph-Saal Messgeräte mit Skalen mitbringen (Messbecher, Voltmeter, Thermometer, …), ablesen lassen

0

1

2

1cm = 1 Einheit !!! mit Bleistift zeichnen lassen, Anfangspunkt, Pfeil rechts, Bleistift Beschriftung, bunte Farbmarkierung!!! Zu jeder natürlichen Zahl gehört genau EIN Punkt auf dem Zahlenstrahl. Der Zahlenstrahl hat einen Anfangspunkt, aber keinen Endpunkt (Pfeil!). Um größere Zahlen darstellen zu können, verkleinert man den Abstand zwischen zwei Zahlen.

0

100 200

1cm= 100 Einheiten Ordnen von Zahlen

< … ist kleiner als ≤ … ist kleiner oder gleich

> … ist größer als ≥ … ist größer oder gleich

z.B. Ordne folgende Zahlen: 33 000; 3 000; 35 000; 300; 35; 3500; 35 < 300 < 3 000 < 33 000 < 35 000

Runden und Schätzen z.B. In einem Dorf wohnen 1521 Einwohner. Runde auf Hunderter: 1 521(H) ~ 1 500 Merke: Bei 0,1,2,3,4, wird abgerundet. Bei 5,6,7,8,9 wird aufgerundet. z.B. 30 298 (H) ~ 30300 z.B. 5 192 837 ( Z) ~ 5192840 z.B. 1 580 273 184 (HM) ~ 1 600 000 000 z.B. Schätze die Anzahl der Schüler in unserer Schule. In unserer Klasse sind 26 Schüler, es gibt 31 Klassen. In unsere Schule gehen ungefähr 26·30= 780 Schüler z.B. Wie viele Sekunden hat ein Jahr ungefähr? Eine Minute hat 60 Sekunden, eine Stunde 60 Minuten. Eine Stunde hat also 3600 Sekunden, oder ungefähr 4000 Sekunden. Ein Tag hat 24 Stunden (~ 20). Ein Tag hat also ungefähr 4000· 20 = 80 000 Sekunden. Ein Jahr hat ca. 400 Tage, also 400·80 000 = 32 000 000 Sekunden. (Richtiges Ergebnis wäre: 31 536 000)

Diagramme Zahlen kann man mit Hilfe von Diagrammen veranschaulichen -

Bilddiagramm: Zahlen werden mit Hilfe von Bildern dargestellt. Häufig wird dabei gerundet (B.S. 16) Strecken- und Säulendiagramm (B.S. 17)

Dazu Bilder kopieren und einkleben lassen Römische Zahlen

Input: Warum schreibt man unsere Schule oft BRG XIV (Computer-Passwort etc.)?

2

I V X L

1 5 10 50

C D M

z.B.:

XII = 12 MMVII = 2007 MDCLXVI = 1666

100 500 1000

! Steht ein niedriges Zahlenzeichen vor einem höheren, muss man subtrahieren! z.B.

XIV = 10 + (5-1) = 14 MCM = 1000 + (1000-100) = 1900

2.) Geometrie in der Ebene Strecke, Strahl und Gerade

s

Q

P

t

g P

s… Strecke = kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten t… Strahl = gerade Linie, die einen Endpunkt hat. g… Gerade = gerade Linie, die nach beiden Seiten unbegrenzt ist. Punkte werden mit Großbuchstaben, Linien mit Kleinbuchstaben benannt

geschlossener Streckenzug

offener Streckenzug

Definition: Ein Streckenzug entsteht durch Aneinanderhängen von mehreren Strecken. z.B. Zeichne eine Strecke, für die gilt: AB= 4 cm, ST= 64 mm

Abstand zwischen 2 Punkten

A

B

Definition: Der Abstand zwischen zwei Punkten entspricht der Länge ihrer Verbindungsstrecke. Definition: Zwei Geraden, die einen rechten Winkel bilden, stehen aufeinander normal.

g

h 3

Man schreibt: g ┴h Wie weit ist Punkt P von g entfernt? Zeichne dazu eine Gerade h, die normal auf g steht und durch den Punkt P geht und miss nun den Normalabstand.

P d=32mm

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie überall denselben Abstand haben. Sie schneiden einander nicht.

Man schreibt: g ║h Parallele Geraden kann man zeichnen, indem man - die Hilfslinien am Geo-Dreieck benützt. - Mind. 2 Punkte zeichnet, die den gewünschten Abstand von der ersten Gerade haben und diese verbinden. - Indem man parallel verschiebt.

Symmetrie Symmetrische Figur durch „Nadel-Durchstechen“ zeichnen + einkleben Tintenfleck-Bild kreieren und einkleben Beide Figuren sind symmetrisch. Die Faltlinie heißt Symmetrieachse der Figur.

Ein Quadrat hat 4 Symmetrieachsen.

Ein Rechteck hat nur 2 Symmetrieachsen.

Rechteck und Quadrat Jedes Viereck, bei dem je zwei benachbarte Seiten normal aufeinander stehen, heißt Rechteck. z.B. Rechteck mit a = 6cm und b = 4cm:

Die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks sind parallel zueinander und gleich lang. Die Verbindung der Eckpunkte A und C bzw. B und D heißt Diagonale. Die Eckpunkte werden stets gegen den Uhrzeigersinn beschriftet. Bsp. 419: Welche Figuren sind Rechtecke? Ins Heft zeichnen + parallele Seiten färbig zeichnen. Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck: Es hat vier gleich lange Seiten. z.B. Quadrat mit a= 4cm:

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Umfang einer Figur = Summe aller Seitenlängen z.B. obiges Rechteck: u = 6 + 4 + 6 + 4 = 20 cm z.B. obiges Quadrat: u = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 cm Längenmessung 1 mm ----*10 ------ 1 cm ------*10------- 1dm -----*10------- 1m --------*1000 ----1km 1mm… Stecknadelkopf 1cm… Daumenbreite 1dm … Spanne zwischen Daumen und Zeigefinger 1m … Spanne zwischen ausgestreckten Armen z.B. 16 000 m = 16 km; 3600 mm = 360 cm; 140 dm = 14 m; 250 cm = 2500 mm

Rechnen mit Längen Um mit Längen rechnen zu können, müssen sie die gleiche Einheit haben. z.B. 5cm + 3 dm = 5cm + 30 cm = 35 cm  

2km + 450m – 2000 dm = 2000 m +450 m – 200m = 2250 m 460mm – 3 cm + 2 dm = 46 cm – 3 cm + 20 cm = 63 cm

Der Maßstab

Mit Hilfe des Maßstabs können Längen in Abbildungen mit Originallängen verglichen werden. Für den Maßstab 1:100 gilt z.B. - 1 mm der Abbildung entspricht 100 mm (=1dm) des Originals - 1cm der Abbildung entspricht 1000 mm (=1m) des Originals Im Prospekt eines Möbelhauses werden Möbelstücke im Maßstab 1:50 dargestellt. Berechne die tatsächlichen Längen und Höhen: a) Unterschrank: l=16mm (---800mm = 80cm) , h=20mm (=1m) b) Kasten: l=24mm (---120cm) , h=44mm (66cm) Zeichne die angegeben Längen als Strecken im Maßstab 1:100 000. a) 5km (--- 5cm) b) 6km 500 m (---6,5 cm)

3.) Die vier Grundrechenarten a) b) c) d)

Addition (+)… addere = hinzufügen (to add) Subtraktion (-)… subtrahere = abziehen (to subtract) Multiplikation (*)… multiplicare = vervielfältigen (to multiply) Division (:) … dividere = teilen (to divide)

a) Addition 354 + 56 = 410 1. Summand + 2. Summand = Summe Beispiele zur schriftlichen Addition b) Subtraktion 410 – 56 = 354 Minuend – Subtrahend = Differenz

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Beispiele zur schriftlichen Subtraktion Addition und Subtraktion sind Umkehroperationen. Beispiele zum Gebrauch der Fachausdrücke  Bilde eine Summe aus drei Summanden, deren Wert 20 ergibt  Berechne die Differenz von 126 und 82  Gib zur Summe von 3 und 2 die Differenz von 3 und 2 dazu  Der Wert der Summe zweier Zahlen ist 61. Der erste Summand ist 33. Bestimme den zweiten Summanden.

Rechengesetze für Addition und Subtraktion 45 + 60 = 60 + 45 a+b=b+a Kommutativgesetz: In einer Summe darf man die Summanden vertauschen, der Wert der Summe ändert sich dabei nicht. (2 + 4) + 5 = 2 + (4 + 5) (a+b)+c = a + (b+c) Assoziativgesetz: In einer Summe aus mehreren Summanden darf man beliebig Klammern setzen oder weglassen, der Wert der Summe ändert sich dabei nicht. Rechne vorteilhaft: 25 + 38 + 62 = 25 + (38 + 62) = 25 + 100 = 125 4 400 + 500 + 7 600 + 6 500 = (4 400 + 7 600) + (500 + 6 500) = 12000 + 7 000 = 19 000 !!! Statt mehrer Zahlen nacheinander zu subtrahieren, darf man auch die Summe dieser Zahlen subtrahieren. !!! a- b-c-d = a- (b+c+d) z.B. 100 – 45 – 6 – 23 = 100 – (45 + 6 + 23) = 100 – 74 = 26 Rechne vorteilhaft:  5 400 + 435 – 245 + 534 – 324 = (5 400 + 435 + 534) – (245 + 324) = 6 369 – 569 = 5 800  500 – 86 – 36 + 39 – 23 = (500 + 39) – (86 + 36 + 23) = 539 – 145 = 394

c)

Multiplikation

4 * 7 = 28 1. Faktor * 2. Faktor = Produkt Auch bei der Multiplikation gelten Kommutativ- und Assoziativgesetz, d.h. 3*8 = 8*3 und (5*2)*3 = 5*(2*3) a*b = b*a und (a*b)*c = a*(b*c) Tricks fürs schriftliche Multiplizieren: - Überschlagsrechnungen zur Kontrolle im Kopf - Faktoren vertauschen - Nullzeilen nicht anschreiben z.B. 2300 * 62 z.B. 1234 * 890 z.B. 237 * 206 - Einservorteil z.B. 386 * 18 z.B. 101 * 328 Arbeitsblatt: Schriftliches Multiplizieren Einige Kopfrechentricks: - „Mal 11“: z.B. 35 * 11 = 385 (8 ist die Summe aus 5 und 3) z.B. 63 *11 = 693 (9 ist die Summe aus 6 und 3)

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Addiere die Ziffern des 1. Faktors und schreibe diese Summe zwischen die Ziffern des Faktors. -

„Mal 25“: z.B. 28 *25 = 700: Dividiere den 1. Faktor durch 4 und hänge zwei Nullen an.

z.B. 231 * 100 = 23100 !!! Eine natürliche Zahl wird mit 10, 100, 1000, … multipliziert, indem man an die Zahl rechts eine, zwei, drei, .. Null(en) anhängt!!! z.B. 486 * 0 = 0 a*0 = 0 Ist einer der Faktoren (oder beide) = 0, so ist auch das Produkt 0.

d) Division 30 : 5 = 6 Dividend : Divisor = Quotient Bei einstelligem Divisor müssen keine Nebenrechnungen angeschrieben werden. z.B.: 1284 : 3 = 428 z.B.: 524700 : 9 = 58300 Dividieren durch mehrstellige Zahlen: Aufgaben im Buch Arbeitsblatt: Mehrstelliges Dividieren (Felder-Anmalen; Lösung: Hahn) z.B. 14000 : 200 = 70 !!! Man darf die gleiche Anzahl von Nullen im Dividenden und Divisor streichen, das Ergebnis ändert sich dadurch nicht!!! z.B. 0: 285 = 0 0:a= 0 Ist der Dividend 0, so ist auch der Quotient 0. z.B. 1057: 0 = --a:0 = --Ist der Divisor 0, so gibt es keine Zahl, die als Ergebnis in Frage kommt. („Die Division durch 0 ist nicht definiert.“)

Rechenregeln für Terme Term = Rechenausdruck (z.B. 4+3*2) 1. 2. 3.

Klammern werden zuerst berechnet Punktrechnung (*, :) geht vor Strichrechnung (+, -) sonst: von links nach rechts rechnen

z.B. 8 + 72:8 = 8 + 9 = 17 z.B. (8 + 72) : 8 = 80 : 8 = 10 z.B.: 100 + 6 * 3 – (19 + 9) = 100 + 6*3 – 28 = 100 + 18 – 28 = 118 – 28 = 90 z.B.: 51 – 4*3 + (21 – 7) = 51 – 4*3 + 14 = 51 – 12 + 14 = 39 + 14 = 53

TEXTBEISPIELE ÜBEN

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4.) Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat (area) Rechteck: Fläche = Länge * Breite A=a*b Quadrat: Fläche = Länge * Breite A=a*a Der Flächeninhalt wird in m² (oder davon abgeleiteten Einheiten) gemessen.

mm² --- cm² --- dm² --- m² --- a --- ha --- km² (immer 100 dazwischen) Zusammengesetzte Flächen können berechnet werden, indem man sie in Rechtecke zerlegt oder zu Rechtecken ergänzt. Worksheet: Compound Shapes Textbeispiele zu Flächen- und Umfangberechnungen

5.) Bruchzahlen (fractions) Wenn man eine Torte in 2, 3, 4, … Teile teilt, so erhält man eine Hälfte, ein Drittel, ein Viertel, … davon. Diese Zahlen nennt man Brüche. Skizze: 1 ganze Pizza – 1 viertel Pizza – 3 viertel Pizza Ein Bruch besteht aus: Zähler, Bruchstrich und Nenner. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wird. Der Zähler gibt an, wie viele solcher Teile dann genommen werden. Aufgaben zur Veranschaulichung von Brüchen (siehe Buch)    

Zeichne eine Strecke und markiere 4/5 bzw. 5/12 davon rot. Ergänze auf ein Ganzes: … Wandle um: ¾ km… 1 km = 1000 m; ¼ km = 250 m; ¾ = 750 m Wandle um: 3/5 km … =600m

Bei einem unechten Bruch ist der Zähler größer oder gleich dem Nenner, z.B. 5/4, 3/2, 186/7. Diese Zahlen sind größer als 1 und können als gemischte Zahlen notiert werden. z.B. 5/4 = 1 ¼  Schreibe als gemischte Zahl: 3/2; 8/5; 11/5; 43/21;  Schreibe als Bruch an: 6 ½; 3 ¼; 7 4/7 Auch Brüche können am Zahlenstrahl dargestellt werden.  Trage ein: 1/5; 3/5; 1 2/5  Trage ein und vergleiche: 1/3, 2/3, a 1/3, 1/6, 5/6, 1 2/6, ½ (Beispiel 477) Bruchteile von beliebigen Größen z.B. 4/5 von 12000 € bedeutet: Teile 12000 in 5 gleiche Teile und nimm 4 davon, also: 12000: 5 = 2400; 4*2400 = 9600 4/5 von 12000 € sind 9600€. Einfaches Rechnen mit Bruchzahlen (Add und Subtr mit gleichem Nenner, 5/8 * 3; 6/4: 2 = ¾) Multipliziert oder dividiert man einen Bruch mit/durch eine(r) ganze(n) Zahl, so wird der Zähler mit dieser Zahl multipliziert bzw. durch diese Zahl dividiert (wenn möglich). Der Nenner bleibt unverändert.

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6.) Der Kreis (circle) M… Mittelpunkt (centre) k… Kreislinie (circumference) r… Radius (radius)

Alle Punkte der Kreislinie haben vom Mittelpunkt denselben Abstand. Dieser Abstand heißt RADIUS des Kreises. Zeichne einen Kreis mit Radius r = 4cm 5mm (AM über M hinaus zum Durchmesser verlängern) d = Durchmesser (diameter)=2r     

Zirkelblumen Konstruktion eines regelmäßigen Sechsecks mit Hilfe eines Kreises Konzentrische Kreise mit r=5cm und r=3cm Figuren aus dem Buch übertragen Zeichne ein Rechteck mit der Länge a=4cm und b=3cm und zeichne seinen Umkreis (=Kreis, der durch alle vier Eckpunkte geht).

Sehne… Verbindung zweier Punkte, die auf der Kreislinie liegen. Skizze: Kreis mit verschieden langen Sehnen… Der Durchmesser eines Kreises ist die längste Sehne. 

Zeichne einen Kreis mit r=35 mm und einer Sehne, die 24 mm lang ist.

Kreis und Gerade Eine Gerade kann einen Kreis in 2 Punkten schneiden (=Sekante), in einem Punkt berühren (=Tangente) oder gar keinen Schnittpunkt mit ihm haben (=Passante).

Kreisteile Von einem Kreis kann man ein „Tortenstück“ ausschneiden. Man nennt es „Kreissektor“. Von einem Kreis kann man ein „Brotscherzel“ ausschneiden. Man nennt es „Kreissegment“.

7.) Einfache Gleichungen (simple equations) z.B.: Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 18 zu erhalten? 3 + ? = 18 ---- ?=15 Statt ? schreibt man oft einen Buchstaben, z.B. x oder y. Gleichungen kann man durch „Raten“ oder durch geeignetes Umformen (siehe höhere Klassen) lösen. x, y, … nennt man auch Variable. z.B.: x+3 = 4, s*14 = 42; 20:y=2; etc. durch 1) Raten und 2) logisches Umformen lösen.

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8.) Der Winkel (angle) b

S

a

Ein Winkel wird durch zwei Strahlen gebildet, die von einem Punkt ausgehen. a, b… Schenkel S… Scheitel Winkel werden IMMER mit Bögen markiert. Sie werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet: α (alpha) β (beta) γ (gamma) δ (delta) ε (epsilon) Die Größe von Winkeln wird in Grad gemessen. Eine volle Umdrehung sind 360° (kurz was über Babylonier erzählen, Kompass, Jahreseinteilung, …)      

Spitzer Winkel (zwischen 0° und 90°) Rechter Winkel (=90°)… viertel Drehung a und b stehen normal aufeinander Stumpfer Winkel (zwischen 90° und 180°) Gestreckter Winkel (=180°).. halbe Drehung Erhabener Winkel (zwischen 180° und 360°) Voller Winkel (360°)… volle Drehung inkl. Zeichnungen!

Übungen: Winkelarten benennen

Messen von Winkeln: Anleitung siehe Buch Übungen: Winkel messen

Zeichnen von Winkeln: 2 Möglichkeiten siehe Buch Übungen: Winkel zeichnen

9.) Dezimalzahlen (decimal numbers) Mit Maßband und Stoppuhren messen: Ich bin ____________ Meter groß. Ich kann den Atem ____________ Sekunden anhalten. Stellenwerttafel für z.B. 20570,24 mit Zehntel und Hundertstel Zahlen wie z.B. 2,4 (englisch: 2.4) nennt man Dezimalzahlen. Sie befinden sich zwischen zwei ganzen Zahlen (z.B. 2