Mathematiques -Sequence-07

Sommaire de la séquence 7  Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je découvre le parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je construis des parallélogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je construis des parallélogrammes - fin - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je démontre que des quadrilatères sont des parallélogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je découvre les réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je raisonne avec des propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je rédige des démonstrations

.............................................................................

 Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J’applique de nouvelles méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Objectifs  Connaître et utiliser les propriétés du parallélogramme.  Connaître et utiliser les propriétés du carré, du rectangle et du losange.  Savoir construire un parallélogramme (en particulier un carré, un losange ou un rectangle) sur papier quadrillé ou blanc.

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séance 1 —

Séquence 7

Séance 1 Je découvre le parallélogramme Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence 7. Prends un nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d’exercices et écris en haut de cette page : « SÉQUENCE 7 : PARALLÉLOGRAMMES ». Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses.

j

e révise les acquis de la 6e 1- Parmi ces figures, lesquelles ne sont pas des quadrilatères ?

2- Combien de ces quadrilatères ont pour nom QUAD ? Q

figure 1

U

Q

figure 2 figure 3

figure 4

U

A

D A

p la figure 1 p la figure 3

p la figure 2 p la figure 4

Q

D

p 1 p 3

U D

Q

A

U

D

A

p2 p4

p aucun

3- La figure à main levée codée ci-dessous est : p un carré p un rectangle p un losange p un cerf-volant

4- La figure à main levée codée ci-dessous est : p un carré p un rectangle p un losange p un cerf-volant

5- Complète la propriété suivante : « si les diagonales d’un quadrilatère ont la même longueur et le même milieu, alors c’est ... » p un carré p un rectangle p un losange p un cerf-volant

6- Que peux-tu affirmer des diagonales d’un losange ? p elles sont de la même longueur p elles sont perpendiculaires p elles sont parallèles p elles se coupent en leur milieu

8- RECT est un rectangle de centre O. 7- Coche les propriétés vraies : Coche les égalités vraies : p « Si un quadrilatère est un p RO = OE rectangle, alors ses côtés opposés p RT = EC sont parallèles » p « Si un quadrilatère est un p RC = ET p RE = TC losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires » p « Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange » p « Si un losange a deux côtés consécutifs perpendiculaires, alors c’est un carré » © Cned, Mathématiques 5e, 2008 — © Cned – Académie en ligne

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Séquence 7 — séance 1

Le but de l’exercice ci-dessous est d’établir un classement, le plus précis possible, des différents quadrilatères. Effectue cet exercice directement sur ton livret.

Exercice 1 On a tracé ci-dessous 11 quadrilatères. Observe-les. L A J S T I A E

F ....................

S

J

G

R

A ....................

I

R

M A Y

L

....................

O

....................

U

Y

L M

....................

A

M

N

D

E

....................

U

R

....................

....................

S J

P

A

A

L K

C

T A

U

....................

N

....................

....................

1- Nomme-les. Écris chaque nom là où il y a des pointillés. Écris chaque nom de telle sorte que tu obtiennes un prénom. 2- En ne regardant que les codages des 11 quadrilatères ci-dessus, remplis les pointillés oranges du tableau ci-dessous. Tu peux noter le même quadrilatère plusieurs fois dans le tableau. 4 côtés de la même longueur

4 angles droits

4 côtés de la même longueur et 4 angles droits

ses côtés opposés de la même longueur

……………………

……………………

……………………

……………………

……………………

……………………

……………………

……………………

……………………

……………………

……………………

…………………… …………………… …………………… …………………… ……………………

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Séquence 7

séance 1 —

3- À l’aide d’un raisonnement basé sur les définitions et propriétés des quadrilatères particuliers vus en 6e, remplis les pointillés verts du tableau précédent. 4- Trace les diagonales des quadrilatères et note Z leur point d’intersection. Parmi les 11 quadrilatères, lesquels semblent avoir un centre de symétrie ? Tu peux utiliser ta règle graduée ou ton compas pour comparer des longueurs. ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................

5- Compare la dernière colonne du tableau de la question 3 et ta réponse à la question 4. Que remarques-tu ? ................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................

Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.

j e retiens PARALLÉLOGRAMME A Définition : B O Un parallélogramme est un quadrilatère non croisé qui a un centre de symétrie. D Ce centre se trouve à l’intersection des diagonales. C On dit qu’il est le centre du parallélogramme. Ici, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. O est le centre de symétrie de ce parallélogramme, c’est-à-dire que ABCD est son propre symétrique par rapport à O. E

F

Remarque : le quadrilatère EFGH ci-contre admet un centre de symétrie mais n’est pas un parallélogramme car il est croisé. G

H

Effectue l’exercice suivant directement dans ton livret.

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Séquence 7 — séance 1

Exercice 2 On a représenté ci-dessous à gauche trois propriétés de la symétrie centrale et à droite 3 propriétés du parallélogramme que tu n’as pas encore démontrées. Relie chaque propriété du parallélogramme à la propriété de de la symétrie centrale qui permet de la démontrer. par une symétrie centrale , le symétrique d'une droite est une droite parallèle

les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur

une symétrie centrale conserve les longueurs

les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles

une symétrie centrale conserve les angles

les angles opposés d'un parallélogramme ont la même mesure

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 3 Un parallélogramme ABCD a pour centre O. 1- Quelles sont ses diagonales ? 2- Que peux-tu dire du point O pour le segment [AC] ? pour le segment [BD] ?

Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

Propriétés : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors : • ses côtés opposés sont parallèles. • ses côtés opposés sont de la même longueur. D • ses diagonales se coupent en leur milieu. • ses angles opposés ont la même mesure.

A

B

O

C



(AB) // (CD) et (DA) // (CB) AB = CD et AD = BC AO = OC et DO = OB DAB = DCB et ABC = ADC

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 4 Emma et Pierre discutent. Emma : « Je pense qu’un carré, un rectangle et un losange n’admettent pas de centre de symétrie... » Pierre : « Et bien moi je pense que oui, et je sais même le prouver ». Qui a raison et pourquoi ?

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séance 1 —

Séquence 7

Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

Losange, rectangle et carré Propriété : Un losange, un rectangle et un carré sont des parallélogrammes particuliers. Si un quadrilatère est un losange, alors : • ses côtés sont de la même longueur • ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires

Si un quadrilatère est un rectangle, alors : • ses côtés consécutifs sont perpendiculaires • ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de la même longueur Si un quadrilatère est un carré, alors : • ses côtés consécutifs sont perpendiculaires et de la même longueur • ses diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et de même longueur (par définition, un carré est à la fois un rectangle et un losange).

Effectue les deux exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices. K

Exercice 5

L O N

Sais-tu prouver que O est le milieu de [KM] ? M

Exercice 6 Parmi les quatre quadrilatères ci-dessous, quels sont ceux qui sont des parallélogrammes ?

a)

b)

A

B

c)

2,8 cm

I D

d) 1,2 cm 1,3 cm

C

2,7 cm

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Séquence 7 — séance 2

Séance 2 Je construis des parallélogrammes Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret et sur ton cahier d’exercices.

Exercice 7 Coche les quadrilatères ci-dessous, qui sont ou semblent être des parallélogrammes. a)

b) B

c)

A

B

I

D

B

A

B

A

C (AB) // (CD)

e)

B

D

A

A

d)

A

B D

(AB) // (CD)

f)

C

D

C

g)

h)

C D (AB) // (CD)

C

i)

j)

A B

A C D AC = BD

C (AB) // (CD) et (BC) // (AD)

A

B C D BC = AD

D

A

B C

D

B C

D

Effectue les deux exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 8 Noé dit qu’un quadrilatère ABCD qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme. Qu’en penses-tu ?

Exercice 9 Vrai ou faux ? Un quadrilatère ABCD qui a ses côtés opposés de même longueur est un parallélogramme.

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Séquence 7

séance 2 —

Lis et retiens ce qui suit puis recopie-le dans ton cahier de cours.

j e retiens

Reconnaître un parallélogramme Propriété : Si un quadrilatère ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors ABCD est un parallélogramme.

B A C D B

A

Propriété (admise) : Si un quadrilatère ABCD a ses côtés opposés parallèles alors ABCD est un parallélogramme.

D

C (AB) // (CD) et (BC) // (AD)

A

Propriété (admise) : Si un quadrilatère non croisé ABCD a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors ABCD est un parallélogramme.

D

Propriété (admise) : Si un quadrilatère non croisé ABCD a ses côtés opposés de même longueur alors ABCD est un parallélogramme.

B

(AB) // (CD)

C

A

B

D

C

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

j e comprends la méthode

TRACER UN PARALLÉLOGRAMME SUR PAPIER POINTÉ À PARTIR DE DEUX CÔTÉS

1-

2V

A

3V

L

Je choisis un des deux segments donnés, par exemple [AL].

A

4V

V

L

Je reproduis un segment de même longueur (en m’aidant des points) et parallèle au segment choisi...

A

L

A

... et je le place sur le 3ème sommet V

Y

L

Il ne reste plus qu’à tracer le parallélogramme obtenu et nommer le 4ème sommet pour donner un joli nom au parallélogramme : VALY

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 10

Prouve que le quadrilatère VALY obtenu dans le « Je comprends la méthode » est un parallélogramme. © Cned, Mathématiques 5e, 2008 —

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Séquence 7 — séance 2

Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.

Exercice 11

Dans chacun des cas ci-dessous, termine la construction du parallélogramme. Fais en sorte que le parallélogramme obtenu ait un joli prénom ! L E

O

L

R S

E

O

E

J

M

E O E

N

N O C

H

J

R M A

T

Pour tracer un parallélogramme sur papier quadrillé à partir de deux côtés, la méthode est similaire à celle étudiée pour le papier pointé. Pour tracer des segments parallèles et de même longueur, on compte les carreaux selon la méthode détaillée ci-dessous. Lis attentivement ce paragraphe.

j e comprends la méthode

TRACER DEUX SEGMENTS PARALLÈLES ET DE MÊME LONGUEUR SUR PAPIER QUADRILLÉ

1-

2-

3-

B A 4 carreaux

A C

Je compte le nombre de carreaux « entre » le point A et le point B...

12

B

B 2 carreaux

C

… 4 vers la droite et 2 vers le haut.

D

A C

A partir du point C, je trace le segment [CD] en reportant 4 carreaux vers la droite et 2 carreaux vers le haut. Les segments [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur.

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Séquence 7

séance 2 —

Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret.

Exercice 12

Dans chacun des cas ci-dessous, place le point manquant pour que le quadrilatère BIEN soit un parallélogramme : I

I I B

E E

N

B N

I E

I B

E



B

B N

N

Exercice 13 Dans chacun des cas ci-dessous, on a tracé la diagonale [TE] du parallélogramme THEO, ainsi que le sommet H. Trace dans chacun des cas, le 4ème sommet O de THEO en traçant la 2ème diagonale [OH] mais sans tracer les côtés du parallélogramme. Indication : tu devras pour cela te servir du milieu de [TE] que tu placeras facilement grâce au quadrillage. T

T H

H H

E

E T

E T

H

T

H

E H T E

E

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Séquence 7 — séance 3

Séance 3 Je construis des parallélogrammes (sur papier blanc) Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

j e comprends la méthode

CONSTRUIRE UN PARALLÉLOGRAMME À PARTIR DE 3 SOMMETS

1-

2-

3-

E E

Z

Z E

R

Z

R

R

Pour construire le 4ème sommet du parallélogramme ZERO…

… je pique la pointe du compas sur le point E puis je prends l’écartement qui correspond à la longueur EZ.

Je reporte cette longueur EZ en pointant le compas sur le point R et je trace un arc de cercle.

4-

5-

6-

E Z

E

E

Z

Z R R

Je pique maintenant la pointe du compas sur le point E puis je prends l’écartement qui correspond à la longueur ER.

Je reporte cette longueur ER en pointant le compas sur le point Z et je trace un 2ème arc de cercle qui coupe le 1er.

R O

Le point d’intersection des 2 arcs est le point O, 4ème sommet du parallélogramme ZERO.

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 14

Pourquoi le quadrilatère ZERO obtenu à la fin du « Je comprends la méthode » précédent est-il un parallélogramme ?

14

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séance 3 —

Séquence 7

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 15

Dans chacun des cas ci-dessous, construis le point O, 4ème sommet du parallélogramme SAXO. Avant de commencer la construction, essaie d’évaluer la zone dans laquelle le point O va se situer. a)

b)

S

A

S

A X

X c)

d)

S

S

A

X

X



e)

A

f)

A

X

A S

S



X

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Séquence 7 — séance 3

Les deux exercices suivants sont à faire sur une feuille blanche que tu colleras dans ton cahier d’exercices. Instrument autorisés : règle et compas.

Exercice 16 Place trois points A, B et C distincts. Construis le point S pour que le quadrilatère ACBS soit un parallélogramme. Construis le point E pour que le quadrilatère BASE soit un parallélogramme. Construis le point H pour que le quadrilatère BACH soit un parallélogramme. Construis le point T pour que le quadrilatère BETH soit un parallélogramme. Repasse en bleu les côtés [AS], [SE], [ET], [TH], [HC], [CA], [CB], [BS] et [BT]. Quelle figure vois-tu ?

Exercice 17 Tracer un triangle JUD isocèle en J tel que JU = 5 cm et DU = 3 cm. Construis le point O, 4ème sommet du parallélogramme JUDO. Construis le point E, symétrique du point J par rapport au point D. Construis le point P, 4ème sommet du parallélogramme JUPE. Construis le point K, 4ème sommet du parallélogramme JOKE. A partir des points K, O et E, construire les points L et N pour que NOEL soit un parallélogramme de centre K.

Tu effectueras l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 18 Reproduis la figure ci-dessous en vraie grandeur, sachant que les quadrilatères AOCD, OBEC et AOBF sont des parallélogrammes. Instruments autorisés : règle et compas. A

5c

cm

m

D 4,7

2,4 cm

F

O m

4c

B

C

6 cm

E

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séance 4 —

Séquence 7

Séance 4 Je démontre que des quadrilatères sont des parallélogrammes Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.

Exercice 19 B

On considère la figure ci-contre. 1- Quelle est la position relative a) des droites (AD) et (BC) ? b) des droites (xy) et (x’y’)? 2- Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

A x

y 20°

20°

y' C

20°

D

x'

Effectue l’exercice ci-dessous à la fois dans ton cahier et dans ton livret.

Exercice 20

1- Trace : a) le cercle C de centre O et de rayon 3 cm b) un diamètre [BD] de ce cercle.

A O C

2- Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

Exercice 21

Trace un parallélogramme EFGH dont les diagonales [EG] et [FH] mesurent respectivement 3 cm et 4 cm.

Exercice 22

1- Construis un parallélogramme ABCD tel que : • AB = 4,2 cm • BC = 3,1 cm • ABC = 62°.

Instruments autorisés : règle, équerre, rapporteur 2- Place • le point E de [AB] tel que : AE = 1,8 cm • le point F de [CD] tel que : DF = 2,4 cm. 3- Calcule FC. 4- Quelle est la nature du quadrilatère AECF ? © Cned, Mathématiques 5e, 2008 — © Cned – Académie en ligne

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Séquence 7 — séance 5

Séance 5 Je découvre les réciproques Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

j e comprends la méthode OBTENIR UNE RÉCIPROQUE

Voici une propriété concernant les parallélogrammes : « SI ABCD est un parallélogramme, ALORS les diagonales de ABCD ont le même milieu. » J’obtiens une réciproque de cette propriété, en permutant les phrases colorées : « SI les diagonales de ABCD ont le même milieu, ALORS ABCD est un parallélogramme. »

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 23

1- Recopie la propriété puis écris une réciproque comme dans l’exemple. Dans chaque cas, précise si cette réciproque est vraie. Exemple : SI il pleut, ALORS la route est mouillée.

ceci est toujours vrai !

Réciproque : SI la route est mouillée, ALORS il pleut.

ceci n’est pas toujours vrai !

a) Si le bébé a faim, alors il pleure. b) Si le réservoir d’essence est vide, alors la voiture ne démarre pas. c) Si un nombre entier se termine par le chiffre 2, alors ce nombre est pair. d) Si un quadrilatère est un carré, alors il a 4 angles droits. 2- Trouve d’autres propriétés vraies dont les réciproques sont fausses.

Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 24

Le tableau suivant contient des propriétés concernant les parallélogrammes particuliers. Pour chacune d’entre elles : • indique si elle est vraie ou fausse • écris une réciproque (sur la ligne juste en dessous) • indique si cette propriété réciproque est vraie ou fausse

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séance 5 —

Séquence 7

VRAI

FAUX

SI un quadrilatère est un rectangle, ALORS ses diagonales sont de la même longueur.

SI ..........................................................................................…..., ALORS .......................................................................................................................................

SI un quadrilatère a 3 angles droits, ALORS c’est un carré.

SI ..........................................................................................…..., ALORS .......................................................................................................................................

SI un quadrilatère est un losange, ALORS il a 4 côtés de la même longueur.

SI ..........................................................................................…..., ALORS .......................................................................................................................................

SI un quadrilatère est un carré, ALORS il a 4 côtés de la même longueur.

SI ..........................................................................................…..., ALORS .......................................................................................................................................

SI un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, ALORS c’est un losange.

SI ..........................................................................................…..., ALORS .......................................................................................................................................

SI un quadrilatère est un rectangle, ALORS ses diagonales sont perpendiculaires.

SI ..........................................................................................…..., ALORS .......................................................................................................................................

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Séquence 7 — séance 6

Séance 6 Je raisonne avec des propriétés Au cours des séances précédentes, tu as vu 20 propriétés concernant les parallélogrammes et les parallélogrammes particuliers. On a attribué à chacune d’entre elles un code (P1, P2, ..., P20) qui te servira dans la résolution des exercices de cette séance. P1

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles.

P2

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de la même longueur.

P3

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

P4

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure.

P5

Si un quadrilatère est un losange, alors ses côtés sont de la même longueur.

P6

Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

P7

Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés consécutifs sont perpendiculaires.

P8

Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de la même longueur.

P9

Si un quadrilatère est un carré, alors ses côtés consécutifs sont perpendiculaires et de la même longueur.

P10

Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et de la même longueur.

P11 Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme. P12 Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de la même longueur, alors c’est un parallélogramme. P13 Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. P14

Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de la même longueur, alors c’est un parallélogramme.

P15 Si un quadrilatère a ses côtés de la même longueur, alors c’est un losange. P16

Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont perpendiculaires, alors c’est un losange.

P17 Si un quadrilatère a ses côtés consécutifs perpendiculaires, alors c’est un rectangle. P18

Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de la même longueur, alors c’est un rectangle.

P19 Si un quadrilatère a ses côtés consécutifs perpendiculaires et de la même longueur, alors c’est un carré. P20

Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, qui sont perpendiculaires et de la même longueur, alors c’est un carré.

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 25 La propriété P1 est la réciproque de la propriété P11. De la même manière, trouve les «couples» de propriétés qui sont réciproques l’une de l’autre.

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séance 6 —

Séquence 7

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton livret.

Exercice 26 Une propriété est généralement formulée sous la forme: SI .... , ALORS .... Ce qui suit le mot ALORS indique ce que la propriété sert à démontrer. Ainsi, la propriété P1 (SI un quadrilatère est un parallélogramme, ALORS ses côtés opposés sont parallèles) sert à démontrer que deux droites sont parallèles. Complète le tableau suivant en indiquant le code de la propriété à utiliser (un même code peut apparaître plusieurs fois dans le tableau). pour démontrer que...

... on utilise la propriété...

deux droites sont parallèles,

P1, ....................................................

deux droites sont perpendiculaires,

..........................................................

deux angles ont la même mesure,

..........................................................

un quadrilatère est un parallélogramme,

..........................................................

un quadrilatère est un losange,

..........................................................

un quadrilatère est un rectangle,

..........................................................

un quadrilatère est un carré,

..........................................................

deux segments ont la même longueur,

..........................................................

un point est le milieu d’un segment,

..........................................................

Effectue les deux exercices ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 27 Observe les figures ci-dessous et inscris sur les pointillés le code de la propriété qui te permet d’être sûr qu’il s’agit d’un parallélogramme. V T

R I

R

I N E

U

E

(TR) // (UO)

O

D

………………………

………………………

……………………… © Cned, Mathématiques 5e, 2008 —

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Séquence 7 — séance 6

Exercice 28 La figure 1 est un rectangle, la figure 2 est un losange, la figure 3 est un carré. Dans chaque cas, indique sur les pointillés le code de la propriété qui te permet d’affirmer que les segments colorés en bleu sont de la même longueur.

………………………

………………………

………………………

Cet exercice est à faire sur ton cahier d’exercices.



Exercice 29 Effectue chacune des constructions sur ton cahier d’exercices, et indique pour chacune d’entre elles le code de la propriété qui t’a permis de la réaliser. Construction n°1 : construis un losange LOSA de centre I tel que LI = 2 cm et IO = 3 cm. Construction n°2 : construis un rectangle RECT de centre O tel que TE = 5 cm et EOC = 30°. Construction n°3 : construis un parallélogramme OGRA tel que OG = 6 cm et OA = 4 cm en utilisant uniquement le compas et une règle. Il est conseillé de faire d’abord une figure à main levée.

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séance 7 —

Séquence 7

Séance 7 Je rédige des démonstrations Pour rédiger une démonstration, il faut : • indiquer ce que l’on sait (c’est-à-dire ce que l’énoncé de l’exercice nous dit) • trouver et écrire la propriété qui convient • conclure en répondant à la question posée. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

j e comprends la méthode

MONTRER QUE LE QUADRILATÈRE JOLI EST UN LOSANGE • Je sais que : [IO] et [JL] sont les diagonales du quadrilatère, elles se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

J

I

• J’utilise la propriété : SI un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires, ALORS c’est un losange (P16).

O L

• Je conclus que : JOLI est un losange.

Dans cette séance, tu devras rédiger des démonstrations courtes en t’inspirant de l’exemple précédent. Effectue les deux exercices suivants sur ton livret.

Exercice 30 1- Complète les pointillés pour démontrer que RIEN est un parallélogramme Je sais que : ........................................................................

R

.........................................................................................

I

J’utilise la propriété : P ......

N

Je conclus que : ....................................................................

E

V

2- Complète les pointillés pour démontrer que VIDE est un parallélogramme Je sais que : ........................................................................

I

......................................................................................... J’utilise la propriété : P ......

E

Je conclus que : .................................................................... D

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Séquence 7 — séance 7

3- Complète les pointillés pour démontrer que TROU est un parallélogramme T

Je sais que : ........................................................................ R

......................................................................................... J’utilise la propriété : P ...... U

Je conclus que : ....................................................................

(TU) // (RO)

O

Exercice 31 1- Complète les pointillés pour démontrer que RV = ET

VERT est un rectangle V

Je sais que : ........................................................................

E

......................................................................................... J’utilise la propriété : P ......

T

Je conclus que : ....................................................................

2- Complète les pointillés pour démontrer que RO = OS

R

ROSE est un losange R

Je sais que : ........................................................................ ......................................................................................... J’utilise la propriété : P ......

O E

Je conclus que : ....................................................................

S

3- Complète les pointillés pour démontrer que BO = LO

BLEU est un carré de centre O

Je sais que : ........................................................................

B

.........................................................................................

L

J’utilise la propriété : P ...... Je conclus que : ....................................................................

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O U E

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séance 7 —

Séquence 7

Les trois exercices suivants sont à faire sur ton cahier d’exercices. Après avoir réalisé la figure et codé ce que tu sais grâce à l’énoncé, rédige ta démonstration en 3 étapes comme dans l’exemple de début de séance.

Exercice 32 1- Trace un cercle de centre O et de rayon 4 cm. 2- Trace 2 diamètres [TA] et [RC] qui ne soient pas perpendiculaires. 3- Démontre que TRAC est un rectangle.

Exercice 33



1- Construis un triangle PME rectangle en M avec PM = 2 cm et ME = 4 cm. 2- Construis le point R symétrique du point E par rapport à M, et le point U symétrique du point P par rapport à M. 3- Démontre que PEUR est un losange.

Exercice 34 1- Construis un parallélogramme CALM tel que MCA = 110°, CA = 5 cm et CM = 3 cm. 2- Démontre que ALM = 110°.

Séance 8 J’applique de nouvelles méthodes Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.

Exercice 35 1- Trace à l’aide d’une équerre et d’une règle un parallélogramme ABCD tel que AB = BC = 3,5 cm 2- Loanne dit que ABCD est un losange. Qu’en penses-tu ? © Cned, Mathématiques 5e, 2008 — © Cned – Académie en ligne

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Séquence 7 — séance 8

Lis attentivement ce qui suit puis note-le sur ton cahier de cours.

j e retiens

Reconnaître un losange, un rectangle Propriété : Si un parallélogramme ABCD a deux côté consécutifs de même longueur alors ABCD est un losange.

B C A D

Remarque bien que tu disposes d’une nouvelle méthode pour prouver qu’un quadrilatère est un losange. Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 36 On considère la figure à main levée ci-contre représentant un parallélogramme EFGH tel que (EG) soit la bissectrice de HEF.

F

1- Compare les angles HGE et GEF . 2- Quelle est la nature a) du triangle EHG ? b) du quadrilatère EFGH ?

H

G

Exercice 37 1- Trace à l’aide d’un compas un parallélogramme ABCD tel que (AB)

(BC).

2- Corentin pense que ABCD est un rectangle. Es-tu d’accord avec lui ?

Lis attentivement ce qui suit puis note-le sur ton cahier de cours.

j e retiens

Propriété : Si un parallélogramme ABCD a deux côtés consécutifs perpendiculaires alors ABCD est un rectangle.

A

B

D

C

Remarque bien que tu disposes d’une nouvelle méthode pour prouver qu’un quadrilatère est un rectangle. Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

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séance 8 —



Exercice 38

L

On considère le quadrilatère ci-contre, tracé à main levée.

K

1- Calcule KNM .

56°

2- Samia dit que le quadrilatère KLMN est un rectangle. Qu’en penses-tu ?



Séquence 7

34°

M

N

Exercice 39 1- Trace à l’aide d’un compas un parallélogramme ABCD tel que : AB = AD = 3,8 cm et BAD = 90°. 2- Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.



Exercice 40 On considère la figure à main levée ci-contre.

I

1- Déduis des informations codées sur cette figure que IJKL est un parallélogramme.

L

2- Compare : a) IO et LO b) IK et LJ

J

O

K

3- Est-il vrai que IJKL est un carré ?

Séance 9 J’effectue des exercices de synthèse Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

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Séquence 7 — séance 9

B

Exercice 41 On considère la figure ci-contre où ABCD est un parallélogramme.

A x

1- Trouve deux angles égaux à ADC .

C

2- Est-il vrai ou faux que BAD et ADC sont supplémentaires ? D

A ∈[Bx)

Exercice 42 On considère la figure à main levée ci-dessous dans laquelle KLMN et KPMQ sont des parallélogrammes. On appelle O le milieu de [KM]. 1- Que représente O pour le segment [LN] et pour le segment [QP] ? 2- Quelle est la nature du quadrilatère LQNP ? 3- Que peux-tu dire des droites (LQ) et (NP) ? (QN) et (LP) ? K

L

Q P N

M

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche directement la (les) réponse(s) exacte(s) sur ton livret. Une fois les 10 questions faites, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.

j e m’évalue

1-Le parallélogramme ci-contre peut-être nommé :

p EHKB p KBHE p HEBK p HBKE

28

E

H K

B

2- Si ABCD est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en O alors :

p (AC) est la bissectrice de DAB p (DB) est la bissectrice de ABC p (AC) est un axe de symétrie de la figure p O est le centre de symétrie de la figure

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séance 9 —

4- On considère la figure ci-contre.

3- Si ABCD est un parallélogramme de centre O alors :

p un parallélogramme p un losange p un cerf-volant p un triangle rectangle

B A

C (AB) // (CD)

D

p un parallélogramme p un losange A p un rectangle 1,15 cm p un carré

40° C

20°

A

6- Le quadrilatère ABCD ci-contre est :

5- On considère le parallélogramme ABCD représenté à main levée ci-contre.

p 40° p 60° p 20° p 120°

B

ABCD est :

p AC = BD p O est le milieu de [AC] p O est le milieu de [BD] p AO = OB

ACD mesure :

Séquence 7

D

1,2 cm B 1,15 cm

D 1,2 cm C

Dans les questions 7 et 8, on utilise les figures ci-dessous. figure 1

figure 2

I

I L

L

figure 3

J

29°

I

I

28°

2 cm

J

J

K

figure 4 2,2

L L

K

J

cm

K

K

8- Combien mesure la longueur de [LJ] sur la figure 4 ?

7- Dans quel cas peut-on affirmer que le quadrilatère IJKL n’est pas un parallélogramme ?

p p p p

p figure 1 p figure 2 p figure 3 p figure 4 9- Le quadrilatère KLMN représenté à main levée ci-contre est : K

L

N

M

2,15 cm 2,2 cm 2,25 cm 2,30 cm

10- La figure à main levée ci-contre représente : V U W

p un parallélogramme p un losange p un rectangle p un carré

X

p un parallélogramme p un losange p un rectangle p un carré © Cned, Mathématiques 5e, 2008 —

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