Notions de probabilité 1 Probabilités élémentaires

Chapitre 5a

Notions de probabilité

1 Probabilités élémentaires 1.1 Généralités et vocabulaire Une expérience aléatoire est une expérience faite dans des conditions de déroulement connues, dont tous les résultats possibles sont connus mais dont on ne peut pas prévoir à l’avance l’issue de façon certaine. Une éventualité est une issue possible d’une expérience aléatoire. L’ univers de l’expérience est l’ensemble des éventualités. On le note Ω. Exemples : • On lance un dé et on regarde le numéro de la face obtenue : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} •On lance un dé et on regarde si le numéro de la face obtenue est pair ou impair : Ω = {P ; I} • On lance une pièce de monnaie : Ω = {P ; F} • On lance deux pièces de monnaie : Ω = {PP ; PF ; FP ; FF} • On lance deux dés : Ω = {(i ; j ) avec 1 6 i 6 6 et 1 6 j 6 6} Notons qu’il existe des expériences aléatoires qui comportent une infinité d’issues : • On choisit un entier naturel au hasard : Ω=N • On choisit un réel au hasard entre 0 et 1 : Ω = [0 ; 1]

Un événement est une partie de Ω. Un événement élémentaire est un événement réduit à une seule issue. Un événement impossible est un événement qui n’est réalisé par aucune éventualité : c’est donc l’ensemble vide. Un événement certain est un événement réalisé par toutes les éventualités : c’est donc l’ensemble Ω.

A et B étant 2 événements, on appelle : • A ou B et on note A ∪ B l’événement réalisé si l’un au moins des 2 événements est réalisé (A ou B est donc l’événement contenant l’ensemble des éventualités appartenant à A ou B). • A et B et on note A ∩ B l’événement réalisé si les 2 événements sont réalisés (A et B est donc l’événement contenant les seules éventualités appartenant à la fois à A et B).

• Deux événements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser simultanément (il n’existe aucune éventualité qui les réalise tous les deux, c’est-à-dire A ∩ B = ∅). • L’événement contraire de A, noté A, est réalisé si A ne l’est pas (A est donc l’événement contenant toutes les éventualités de Ω n’appartenant pas à A).

Conséquences : • Si 2 événements sont contraires alors ils sont incompatibles. • A et B sont contraires ssi l’événement A et B est impossible et l’événement A ou B certain : A = B ⇐⇒ ...........................

1.2 Exercice On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. 1. Définir l’univers Ω. 2. Ecrire sous forme de partie de Ω les événements : – A : « obtenir un numéro inférieur ou égal à 2 » ; – B : « obtenir un numéro impair » ; – C : « obtenir un numéro strictement supérieur à 4 ». 3. Ecrire les événements B ∪ C, B ∩ C, A et A ∪ C. 4. Citer deux événements incompatibles qui ne sont pas contraires l’un de l’autre.

2 Loi de probabilité On suppose à partir de maintenant que l’univers Ω est un ensemble fini.

2.1 Modélisation par la loi des grands nombres On lance une dé à 6 faces et on relève le numéro obtenu sur sa face supérieure. On a Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} . Supposons que, lors d’un grand nombre de tirages, on obtient les résultats suivants : Numéro Fréquence

1 0, 0606

2 0, 1522

3 0, 1710

4 0, 1685

5 0, 1936

6 0, 2541

La somme des fréquences est bien-entendu égale à 1. Le dé paraît déséquilibré, les fréquences n’étant pas approximativement égales entre elles. On peut alors modéliser cette expérience aléatoire en associant à chaque événement élémentaire x i un nombre p i positif représentant au mieux leur chance de réalisation. On dira par exemple que la probabilité d’obtenir 1 est 0, 0606. On a défini une loi de probabilité sur Ω. Compte-tenu des variations de fréquences liées au tirage (fluctuation d’échantillonnage), on peut aussi arrondir ces fréquences et choisir comme loi de probabilité sur Ω : Numéro Probabilité

1 0, 06

2 0, 15

3 0, 17

4 0, 17

5 0, 19

6 0, 26

Il faut vérifier que la somme est encore égale à 1. Cette loi de probabilité peut-être considérée comme fiable si les fréquences f i se rapprochent de p i lorsque le nombre de tirages devient grand. C’est la validation du modèle par la loi des grands nombres.

2.2 Loi équirépartie Dans le cas où l’on définit une loi de probabilité où chaque événement élémentaire à la même probabilité, on parle de loi equirépartie.

Remarque : Les termes équilibré (pour un dé, une pièce,. . . ), indiscernables (pour une boule, un jeton,. . . ) et au hasard conduisent à des lois équiréparties.

2.3 Exercice Pour choisir la nouvelle couleur de la peinture de sa chambre, Line décide de s’en remettre au hasard. Elle lance deux dés tétraédriques équilibrés. Chaque dé à 3 faces de couleur bleue et une face de couleur jaune. La couleur choisie pour la peinture est celle obtenue en mélangeant les deux couleurs indiquées par les dés. 1. Quel est l’univers de cette expérience aléatoire ? 2. Déterminer la loi de probabilité de l’univers Ω.

3 Paramètres d’une loi de probabilité 3.1 Les paramètres Soit Ω un univers dont tous les événements élémentaires sont des réels, sur lequel on définit la loi de probabilité suivante : événement Probabilité

e1 p1

e2 p2

··· ···

en pn

Définition : Espérance L’espérance de cette loi est le réel E défini par E = ..................................... Remarques : L’espérance d’une loi de probabilité est la valeur moyenne des éventualités élémentaires e i pondérées par leur probabilité (la moyenne est un barycentre). E est un paramètre de position. Définition : Variance La variance de cette loi est le réel V défini par V = p 1 (e 1 − E)2 + p 2 (e 2 − E)2 + · · · + p n (e n − E)2 =

iX =n

p i (e i − E)2 .

i =1

Définition : Ecart-type L’écart-type de cette loi est le réel σ défini par σ = .............. Remarque : L’écart-type d’une loi de probabilité exprime l’écart moyen des issues par rapport à leur valeur moyenne. σ est un paramètre de dispersion.

3.2 Exercice Une expérience aléatoire consiste à lancer deux dés équilibrés à 6 faces, l’un rouge l’autre vert. On note la somme obtenue. 1. Déterminer la loi de probabilité de l’univers Ω. 2. Calculer E, V et σ.

4 Probabilité d’un événement 4.1 Cas général Soit Ω un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité. Pour tout événement A de Ω, la probabilité de l’événement A est le réel, noté p(A), tel que : • p(A) ∈ [0, 1] ; • si A = ∅ alors p(A) = p(∅) = 0 ; • si A 6= ∅ alors p(A) est la somme des probabilités des événements élémentaires de A, c’est-à-dire X p(A) = pi e i ∈A

4.2 Propriétés Propriétés : Soit A et B deux événements d’un univers Ω. 1. 0 6 p(A) 6 1. 2. si A ⊂ B alors p(A) 6 p(B) Théorème : Soit A et B deux événements d’un univers Ω. p(A ∪ B) = .............................. Théorème : Soit A un événement d’un univers Ω. p(A) = ..............

4.3 Cas d’équiprobabilité Soit Ω un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité equirépartie. Pour tout événement A de Ω, ....................... p(A) = .....................

5 Variable aléatoire 5.1 Un exemple Une expérience aléatoire consiste à lancer deux dés équilibrés à 6 faces, l’un rouge l’autre vert. On note X la somme obtenue. X est alors une fonction de Ω dans R. On dit alors que X est une variable aléatoire. L’événement " la somme est égale à 6" est notée (X = 6) et sa probabilité p(X = 6). La loi de probabilité de X sera alors : s p(X = s)

2

3

1 36

1 18

··· ···

11

12

1 18

1 36

L’espérance de X, notée E(X), la variance de X, notée V(X) et l’écart-type de X, notée σ(X), sont respectivement l’espérance, la variance et l’écart-type de la loi de probabilité de X.

5.2 Exercice On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On définit une variable aléatoire X en associant à chaque tirage le nombre : • (-10) si on tire le numéro 1 ; • 10 si on tire le numéro 6 ; • 0 sinon. 1. Définir l’ensemble des éventualités Ω et donner l’ensemble X(Ω). 2. On suppose que le dé est parfaitement équilibré. Donner la loi de probabilité de X. 3. On suppose que le dé est truqué et que les probabilités d’apparition des numéros 1, 2, 3, 4 et 5 sont toutes égales à 0, 12. Donner la loi de probabilité de X.

5.3 Espérance, variance et écart type d’une variable aléatoire Définition : Espérance, variance et écart type d’une variable aléatoire Soit Ω l’univers correspondant à une expérience aléatoire. Soit X une variable aléatoire définie sur Ω prenant m valeurs x 1 , x 2 , . . . , x m avec des des probabilités respectives p 1 , p 2 , . . . , pm . L’espérance mathématique de X est le nombre, noté E(X), défini par : E(X) =

m X

p i xi = p 1 x1 + p 2 x2 + . . . + p m xm

i =1

La variance de X est le nombre noté V(X), défini par : V(X) = E((X − E(X))2 ) =

m X

p i (x i − E(X))2 = p 1 (x 1 − E(X))2 + p 2 (x 2 − E(X))2 + . . . + p m (x m − E(X))2

i =1

L’écart type de X est le nombre, noté σ(X), défini par : σ(X) =

p

V(X)

Remarques : • L’espérance est la moyenne des valeurs x i pondérées par les probabilités p i . • La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. • La variance est une quantité positive, donc l’écart type est bien défini.

Exercice : On lance 3 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée et on s’intéresse au nombre X d’apparitions du pile. Une éventualité peut-être représentée par une suite de 3 lettres P ou F. 1. Définir l’ensemble des éventualités Ω et donner l’ensemble X(Ω). 2. Donner la loi de probabilité de X. 3. Calculer E(X), V(X) et σ(X).

Interprétation : Lorsque X représente le gain du joueur à un jeu de hasard, E(X) représente l’espoir de gain moyen par partie, lorsqu’on joue un grand nombre de fois. Si E(X) > 0 (resp. E(X) < 0) alors le jeu est avantageux (resp. désaventageux) pour le joueur. Si E(X) = 0 alors le jeu est dit équitable. L’écart type est une caractéristique de dispersion des valeurs de X.

Théorème : Linéarité de l’espérance Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur le même univers Ω et telles que X(Ω) et Y(Ω) soient des ensembles finis de même cardinal m. On a : E(X + Y) = .................... Et en particulier, pour tout réel b,

E(X + b) = ............. E(kx) = ................

pour tout réel k

Démonstration : m m m X X X p i (x i + y i ) = p i xi + p i y i = E(X) + E(Y) E(X + Y) = i =1

i =1

i =1

En prenant Y constante égale à b, on obtient : E(X + b) = E(X) + E(b) = E(X) + b. m m X X E(kx) = kp i x i = k p i x i = kE(X). i =1

i =1

Exercice : On lance 4 dés, et on note S la somme des résultats obtenus. On note X 1 , X 2 , X 3 et X 4 les résultats obtenus pour chaque dé. Calculer E(S).

Théorème : Calcul pratique de la variance La variance d’une variable aléatoire X peut se calculer avec la relation suivante : V(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 La variance est l’écart entre la moyenne des carrés et le carré de la moyenne Démonstration : On rappelle que l’espérance d’une variable aléatoire constante X = b est égale à b. D’après la linéarité de l’espérance : V(X) = E((X − E(X))2 ) = E(X 2 − 2XE(X) + E(X)2 ) = E(X 2 ) − 2E(X)E(X) + E(X)2 = E(X 2 ) − [E(X)]2 .

Pour le calcul de la variance, on préférera l’emploi de cette dernière formule. En effet, outre un intérêt indéniable pour mener le calcul, cette formule est surtout plus fiable lorsque l’espérance E(X) ne tombe pas juste. En effet, dans la formule plus haut, l’erreur due à l’arrondi de E(X) se propage tout au long du calcul alors qu’elle n’apparaît que dans le dernier terme dans cette dernière formule.

Exemple : Reprenons l’exemple de la pièce de monnaie lancée trois fois de suite. X désigne le nombre de pile obtenu. E(X 2 ) = ........................... V(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = ...........................