Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques

Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques I. Un guide pour l'année II. La loi uniforme : une introduction III. La loi exponentielle IV. De la loi binomiale à la loi normale V. Échantillonnage Ressources en ligne

Nouveaux programmes de terminale – Probabilités et statistiques

Octobre 2012

I. Un guide pour l'année Ω est l'univers d'une expérience aléatoire, muni d'une probabilité p. X est une variable aléatoire sur Ω, à valeurs dans un intervalle I. f est la fonction de densité associée : - f est continue et positive sur I ; - son intégrale sur I vaut 1. Alors : p({X ∈J }) est l'aire de {M (x ; y) ; x ∈J et 0≤ y≤ f ( x)}

Problème : comment introduire la fonction de densité ? Nouveaux programmes de terminale – Probabilités et statistiques

Octobre 2012

II. La loi uniforme : une introduction a) de la simulation à la fonction de densité

Un nombre est tiré au hasard dans un intervalle [a;b]. Pour [c;d] inclus dans [a;b], comment mesurer p( X ∈[c ; d ])? Simulation : n tirages au hasard dans [0;10], avec histogramme des fréquences.

L'aire cumulée des rectangles entre c et d donne la fréquence de l'événement X ∈[c ; d ]

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Octobre 2012

II. La loi uniforme : une introduction a) de la simulation à la fonction de densité

On augmente n et le nombre de classes

L'aire à calculer s'approche de celle d'un rectangle

La surface à considérer est délimitée par : - les droites d'équations x=c et x=d - l'axe des abscisses - une courbe d'équation y=f(x) : f est la fonction de densité de la variable aléatoire. Nouveaux programmes de terminale – Probabilités et statistiques

Octobre 2012

II. La loi uniforme : une introduction b) Bilan La loi uniforme sur [a;b] admet pour fonction de densité : f (x )=

1 b−a

Pour [c;d] inclus dans [a;b] : d

p( X ∈[c ; d ])=∫c

d−c f ( x)dx= b−a

L'espérance de la loi uniforme sur [a;b] :

∫a x f ( x)dx= a+b 2 b

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Commentaires Pas de prérequis : les considérations d'aires suffisent Introduction de l'intégrale possible

Approche possible par analogie avec une variable aléatoire discrète Prérequis (suivant l'approche) : suites arithmétiques ou intégration Octobre 2012

III. La loi exponentielle (séries S, STI2D, STL) a) Une simulation

Un atome radioactif a pour probabilité de désintégration a dans une unité de temps. On considère n atomes indépendants à l'instant 0. Une simulation mène à l'histogramme des fréquences de désintégration par unité de temps.

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Octobre 2012

III. La loi exponentielle b) Avec la fonction de densité

X suit une loi exponentielle de paramètre λ si sa densité est : −λ x

f (x)= λ e

, x∈[0 ;+∞[

Alors : d

p( X ∈[c ; d ])=∫c f (x)dx=e−λ c−e−λ d Propriété de durée de vie sans vieillissement : p X ≥t ( X≥t +h)= p( X ≥h)

Prérequis : fonction exponentielle, intégration, comportement asymptotique

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Octobre 2012

III. La loi exponentielle c) Espérance

x

−λ t

E ( X )=lim x →+∞ ∫0 t λ e

dt =

1 λ

La primitive : - est à donner directement - ou à rechercher sous la forme (at+b)e−λ t - ou à trouver en passant par le principe de l'intégration par parties (hors programme)

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IV. De la loi binomiale à la loi normale a) Centrer et réduire la loi binomiale

Variable aléatoire : Espérance : 0 Écart-type : 1

Z n=

X n −np

√ np(1− p)

E (Z n )=0 σ (Z n)=1

X −µ σ

Variable aléatoire: X Espérance : µ Écart-type : σ

Avantage espérance et écart-type de Z ne dépendent plus de X.

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Cas de la loi binomiale X n suit B(n ; p) E( X n )=n p σ ( X n )= √ np(1− p)

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IV. De la loi binomiale à la loi normale b) Le théorème de Moivre-Laplace

Z n=

X n −np

X n suit B (n ; p) n entier non nul p∈]0 ;1[

√ np(1− p)

Pour tout x réel, soit : f ( x )=

Théorème Pour tous réels a et b (a < b) :

lim n →+∞ p( Z n ∈[a ; b])=

1 e ∫ a √2 π b

−x 2 2

dx

1 e √2 π

−x 2 2

La variable aléatoire sur ℝ admettant f pour fonction de densité est la loi normale centrée réduite N(0;1).

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IV. De la loi binomiale à la loi normale c) Les lois normales

Définition 2 Une variable aléatoire X suit une loi normale N (µ ; σ ) d'espérance µ et d'écart-type σ lorsque X −µ suit la loi normale centrée réduite N(0;1). σ

Remarque 2 La fonction de densité associée à N (µ ; σ ) n'est pas un objectif du programme.

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IV. De la loi binomiale à la loi normale d) Lois normales et probabilités 1 f ( x )= e 2 π √

−x 2 2

Z suit N(0;1)

f est paire donc : p(Z ∈[−t ;t ]) = 2 p (Z ∈[ 0 ; t ])

Espérance et écart-type 0

t

E (Z ) = limt →−∞ ∫t x f ( x)dx + lim t →+∞ ∫0 x f ( x)dx E (Z ) = 0

σ ( Z ) = 1 (admis)

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IV. De la loi binomiale à la loi normale d) Lois normales et probabilités

Théorème (démonstration exigible en TS) Z suit la loi normale N(0;1). Soit α ∈]0 ; 1[ . Il existe un unique réel positif uα tel que : p(Z ∈[−u α ; u α ])=1−α

Démonstration 1 f ( x )= e √2 π

−x 2 2

∫0

Soit F définie sur [0 ;+∞[ par : F ( x)=

F est dérivable, donc continue

x

f (t) dt

Il existe un unique uα>0 tel que : F (u α )=

f > 0 donc F est strictement croissante

1− α 2

F prend ses valeurs dans [0;1/2] 0 < α < 1 donc 0<

1− α 1 < 2 2

p(Z ∈[−u α ; u α ])=2 F (u α )=1−α

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Octobre 2012

IV. De la loi binomiale à la loi normale e) Valeurs à connaître

Z suit N(0;1)

p(Z ∈[−1 ;1 ]) ≈ 0,68

X −µ Z= σ

2 X suit N (µ ; σ )

p( X ∈[ µ−σ ; µ+ σ ]) ≈ 0,68

p( Z ∈[−1,96 ;1,96 ]) ≈ 0,95

p( X ∈[ µ−2 σ ; µ+2 σ ]) ≈ 0,95

p(Z ∈[−2,58 ; 2,58]) ≈ 0,99

p( X ∈[ µ−3 σ ; µ+3 σ ]) ≈ 0,99

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V. Fluctuation et prise de décision a) La statistique inférentielle

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Octobre 2012

V. Fluctuation et prise de décision b) Intervalle de fluctuation asymptotique Soit Xn la variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n,p) : E 1-p

p

Soit : Z n =

S X n −np

√ np(1− p)

Soit α entre 0 et 1. Il existe un unique uα>0 tel que :

Par le théorème de Moivre-Laplace :

lim n →+∞

u 1 p (−u α ⩽Z n ⩽u α )= e ∫ −u √2 π α

−x 2

2

dx

α

Comment revenir alors à la loi binomiale ?

p(Z ∈[−u α ; u α ])=1−α

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V. Fluctuation et prise de décision b) Intervalle de fluctuation asymptotique

−uα ⩽ Z n ⩽ uα Z n=

X n −np

√ np(1− p) −u α √ np (1− p) ⩽ X n −np ⩽ u α √ np(1− p)

p−u α

[ √

I n= p−u α

√

p (1− p) p(1− p) ; p+u α n n

Avec α = 0,05 et uα =1,96 :

[

]

I n= p−1,96

√

lim n →+∞

√

√

Xn p(1− p) p(1− p) ⩽ ⩽ p+u α n n n

Xn p ∈ I n = 1−α n

(

)

p(1− p) ; p+1,96 n

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√

p(1− p) n

] Octobre 2012

V. Fluctuation et prise de décision

c) Intervalle de fluctuation asymptotique : utilisation pratique Avec α = 0,05 et uα =1,96

n=100

n⩾30 , np⩾5 , n(1− p)⩾5 Dans un échantillon de taille n, la fréquence des nombres de réussites de la loi binomiale appartient avec une probabilité 0,95 à l'intervalle :

[

√

p(1− p) I n= p−1,96 ; p+1,96 n

√

p(1− p) n

I 100≈ [ 0,3 ; 0,5 ]

] p=0,4

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V. Fluctuation et prise de décision d) Un exemple de prise de décision

Une machine fabrique des condensateurs. Probabilité qu'un condensateur soit défectueux : p=0,07. Sur un lot de 400 condensateurs, 41 sont défectueux. Cela est-il dû au seul hasard ? Traitement en seconde : n=400⩾25 mais p n'est pas dans [0,2;0,8]. Traitement en terminale : n⩾30, np=28⩾5, n(1− p)=372⩾5 p−1,96 Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% : p+1,96 Fréquence des condensateurs défectueux dans l'échantillon : f =

√ √

p (1− p) ≈ 0,045 n p (1− p) ≈ 0,095 n

41 ≈0,103 400

Conclusion : 0,103 n'est pas dans [0,045;0,095]. L'échantillon observé n'est donc pas « normal », au seuil 0,95. Nouveaux programmes de terminale – Probabilités et statistiques

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V. Fluctuation et prise de décision e) Fluctuation et confiance

Intervalle de fluctuation p connue

Intervalle de confiance p inconnue

Seconde

Seuil de 95% n⩾25 0,2⩽ p⩽0,8 1 1 p− ; p+ √n √n

Première

Avec la loi binomiale

-

Asymptotique au seuil de 1−α

Au niveau de confiance 95%

[

Sensibilisation

]

n⩾30 np⩾5 n(1− p)⩾5

Terminale

[ √

I n = p−u α

√

p (1− p) p(1− p) ; p+u α n n

[

] [

Remarque : pour α=0,05, In est inclus dans : p− Nouveaux programmes de terminale – Probabilités et statistiques

f−

1 1 ;f+ √n √n

1 1 ; p+ √n √n

]

] Octobre 2012

V. Fluctuation et prise de décision

f) Intervalle de confiance, estimation et niveau de confiance Contexte : on cherche la probabilité p d'occurrence d'un certain caractère dans une population. Pour un échantillon de taille n, la fréquence d'apparition f de ce caractère est connue.

[

]

1 1 contient p ;f+ √n √n avec un niveau de confiance de 95%. Alors

f−

Conditions d'application : n⩾30 , np⩾5 , n(1− p)⩾5 Exemple p=0,5 20 échantillons de taille 100 Une simulation sur 20 ne comprend pas p dans son intervalle de confiance : la probabilité porte sur f, pas sur p. Nouveaux programmes de terminale – Probabilités et statistiques

Octobre 2012

Ressources en ligne

1. Documents ressources sur Eduscol : lycée et collège 2. Documents ressources math-physique au lycée professionnel sur Eduscol 3. Les documents de la formation sur le Site académique de mathématiques

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