¨Ovningsskrivning i MME180 Mekanik V och TME065 Mekanik AT

¨ Ovningsskrivning i MME180 Mekanik V och TME065 Mekanik AT, 2007-05-16 kl 10.00–11.45 Till˚ atna hj¨ alpmedel: Formelsamling i mekanik av M.M. Japp, Matematiska handb¨ocker (t ex Beta), Typgodk¨and kalkylator. ¨ UPPSTALLDA EKVATIONER SKALL MOTIVERAS! Namn: Personnr:

1.

En partikel ¨ ar r¨orlig l¨ angs en r¨at linje (s-axeln). Dess acceleration beror p˚ a tiden t enligt sambandet a=

s0 , (t + t0 )2

d¨ar s0 och t0 ¨ ar positiva konstanter. Partikeln passerar punkten s = s0 med hastigheten v0 vid tiden t = 0. Best¨ am hastigheten som funktion av tiden under den fortsatta r¨orelsen.

2.

R

En partikel r¨or sig i en cirkelbana med radien R. Dess l¨age beskrivs av vinkeln ϕ enligt figuren. Denna beror p˚ a tiden t enligt sambandet ϕ = ϕ0 sin (Ωt).

ϕ

en es

H¨ar ¨ar ϕ0 och Ω konstanter. Best¨am accelerationens tangential- och normalkomponenter som funktioner av tiden.

3.

A

En person A (massa m) ˚ aker hiss, se figuren. P˚ a A:s f¨otter verkar en normalkraft N fr˚ an hissgolvet. Best¨am normalkraften N f¨or f¨oljande fem fall: a) Hissen st˚ ar stilla. b) Hissen ¨ar p˚ a v¨ag upp˚ at med konstant fart v0 . c) Hissen ¨ar p˚ a v¨ag ned˚ at med konstant fart v0 . d) Hissen accelererar upp˚ at med accelerationen a0 . e) Hissen ¨ar p˚ a v¨ag upp˚ at, d˚ a den bromsas in s˚ a att accelerationens belopp ¨ar a0 .

4.

v=0

A R K

B

v1

En liten kropp K med massan m kan glida utan friktion p˚ a en cirkul¨ar st˚ ang i ett vertikalplan. Kroppen sl¨apps fr˚ an vila i l¨aget A, d¨ar den ¨ar p˚ a samma niv˚ a som cirkelbanans medelpunkt. P˚ a grund av tyngdkraftens inverkan b¨orjar den glida ned˚ at och passerar en stund senare banans l¨agsta punkt B. a) Best¨am K:s fart v1 d˚ a den passerar B, t ex genom att g¨ora en energibetraktelse. b) Fril¨agg K i l¨aget B, samt st¨all upp Newtons andra lag i tangential- och normalriktningarna. c) Best¨am den kraft som st˚ angen p˚ averkar K med i l¨aget B. Ange belopp och riktning.

5.

AAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAA k

2m

m

b–L

v2

v1

AAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAA b

Tv˚ a kroppar, den ena med massan m, den andra med massan 2m, ligger p˚ a ett friktionsfritt bord. Kropparna ¨ar f¨orenade med en fj¨ader med fj¨aderkonstanten k och naturliga l¨angden b. Fj¨adern trycks ihop en str¨acka L, och kropparna sl¨apps fr˚ an detta l¨age utan begynnelsehastighet. a) Tv˚ a storheter bevaras f¨or systemet under den fortsatta r¨orelsen. Vilka? b) En stund senare ¨ar fj¨aderns l¨angd lika med den naturliga l¨angden b. Kropparnas hastigheter vid denna tidpunkt betecknas v1 och v2 , se figuren. St¨all upp tv˚ a ekvationer som kan anv¨andas f¨or att best¨amma v1 och v2 . Ekvationerna beh¨over inte l¨osas.