PACES-UE4-VA et loi de probabilites2013

03/10/2013

UE 4 Evaluation des méthodes d’analyse appliquées aux sciences de la vie et de la santé

Statistique

Variables aléatoires Frédéric Mauny - 27 septembre et 3 octobre 2013 © F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté

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Plan du cours 1. Variable aléatoire 1. Définition 2. Loi de probabilité et représentation 3. Fonction de répartition 4. Caractéristiques de position/dispersion 5. Opérations sur les variables aléatoires

2. Lois de probabilité usuelles

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VA : définition intuitive Un couple prévoit d’avoir 3 enfants X=nombre de filles « Avoir exactement une fille » (X=1) e

Pr(e)

(GGG)

0,14

(GGF)

0,13

(GFG)

0,13

(GFF)

0,12

(FGG)

0,13

(FGF)

0,12

(FFG)

0,12

(FFF)

0,11

X

Basé sur p(G)=0,52

x

P(x)

0

0,14

1

0,39

2

0,36

3

0,11

Pr(X = 1) ou p(1) 0,13 + 0,13 + 0,13 = 0,39

Une variable aléatoire discrète prend différentes valeurs xi avec des probabilités définies par sa loi de probabilité p(x)

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VA : définition formelle • Soit E un ensemble d’évènements pour lesquels on a défini une distribution de probabilité (E est un ensemble probabilisé) • Une variable aléatoire X est une fonction numérique définie sur cet espace E • A chaque evt. élémentaire de E, on fait correspondre un nombre x selon une règle bien définie (une application de l’ensemble E dans l’ensemble ) • A chaque sous-ensemble de nombre, on peut attribuer la probabilité du sous-ensemble de E qui lui correspond on définit ainsi la distribution de probabilité de la VA

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03/10/2013

Caratéristiques d’une VA • Convention d’écriture : la variable aléatoire X (majuscule), et la valeur observée x (minuscule) • Typologie : – variable aléatoire discontinue (ou discrète) – variable aléatoire continue : la variable X peut prendre toutes les valeurs sur un certain intervalle fini ou infini • Si X et Y sont des VA, alors – Z=X+Y, Z= X-Y sont des VA – Z=aX est une VA, a étant une constante réelle – Z=XY, Z=X/Y sont des VA – Z=Xn est une VA

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Loi de probabilité, VA discrète • A chaque valeur xi, on associe une probabilité pi telle que : pi = Pr(X = xi). • Ensemble des couples (xi,pi) constitue la loi de probabilité de la variable discontinue X • Ex : X : VA « Avoir exactement une fille » définissant une application de E dans {0,1,2,3} x

P(x)

0

0,14

1

0,39

2

0,36

3

0,11

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Tableau des probabilités 6

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Représentation graphique VA discrète

Diagramme des probabilités

– en abscisse : les différentes valeurs de la VA, classées par ordre de grandeur croissante – en ordonnée, la probabilité de chaque valeur

Ex X : VA « Avoir exactement une fille » Probabilité

x © F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté

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Représentation graphique VA continue • X peut prendre une infinité de valeurs à l'intérieur de l'intervalle de variation • Diagramme remplacé par une courbe représentant la fonction de densité de probabilité f(x), telle que f(x)dx= Pr(x