Petit Formulaire

UE 191 - Groupes 7 et 8- Petit Formulaire

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On dénote par ∅ l’événement impossible (P(∅) = 0), et Ω l’événement certain (P(Ω) = 1). Soit A et B deux événements. L’événement “A et B se réalise” est noté A ∩ B. L’événement “A ou B se réalise” est noté A ∪ B. L’événement “A ne se réalise pas” est noté A. On a alors : (A) = A,

A = A ∩ Ω,

A ∪ B = A ∩ B, ∅ = A ∩ ∅,

(1)

A ∩ B = A ∪ B. Attention : A ∩ B n’est pas A ∩ B ! Même si lorsque A ∩ B se réalise, A ∩ B ne se réalise pas, ce n’est pas suffisant pour en conclure que ces événements sont complémentaires. Quant on parle du complémentaire d’un événement E, on ne parle pas d’un événement qui peut avoir lieu lorsque E n’a pas lieu, mais de tous les événements qui peuvent avoir lieu lorsque E n’a pas lieu. Un piège classique : si on tire 5 fois à pile ou face, le contraire de “les 5 jets donnent face” est “un des jets donne pile”, mais n’est pas “tous les jets donnent pile”. En général, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

(2)

On dit que A et B sont incompatibles lorsque A ∩ B = ∅ ou P(A ∩ B) = 0 ou P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

(3)

Ces trois égalités sont équivalentes (voir (2)). Si F est un autre événement, on remarque que “A et B incompatibles”⇒ “F ∩ A et F ∩ B incompatibles”. Lorsqu’on fait une expérience aléatoire, il se peut que l’on obtienne une information partielle sur le résultat. Par exemple, on étudie un caractère génétique donné par une allèle récessive ou dominante. Si on croise deux individus hétérozygotes, on peut connaître aisément le phénotype du descendant, mais pas forcément son génotype. D’où l’intérêt de parler de la probabilité conditionelle. On notera la probabilité que A se réalise (e.g. le descendant est hétérozygote) sachant que B s’est réalisé (e.g. le descendant montre le phénotype dominant) par P(A|B). En toute généralité : P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A).

(4)

Attention : Il est très important de ne pas confondre P(A|B) et P(A ∩ B) ! Dans l’exemple ci-haut, P(A|B) est la probabilité que le descendant soit hétérozygote étant donné qu’il exprime le caractère dominant tandis que P(A ∩ B) serait la probabilité que le descendant soit hétérozygote et en même temps qu’il exprime le caractère dominant. Prenons un autre exemple : on examine 2 caractéristiques dans une population, la couleur des cheveux et des yeux. On prend un individu au hasard, et on note les événements K :“L’individu a les yeux bruns” et L :“L’individu a les cheveux bruns”. Dans ce cas, P(K ∩ L) est la probabilité que l’individu pris au hasard ait les yeux et les cheveux bruns. P(K|L) est la probabilité qu’un individu pris au hasard parmi ceux qui ont les cheveux bruns (mais pas parmi

2 la population entière !) ait les yeux bruns, autrement dit, la probabilité qu’un individu au cheveux bruns ait les yeux bruns. Remarque : À noter que pour exprimer le “sachant que L” on met l’information contenue par la réalisation de l’événement L en adjectif, ou dans une proposition à l’indicatif. Par contre, l’événement dont la probabilité est en discussion (ici K) est précédé d’un verbe au subjonctif (puisque sa réalisation est incertaien). Encore un autre exemple : on lance deux dés, un rouge et un vert, et on en prend la somme. On note les événements Q :“La somme est paire” et R :“Le dé vert a donné 5” . En français, on exprime P(Q ∩ R) par la probabilité que la somme soit paire et que le dé vert donne 5, autrement dit, la probabilité que, d’une part, le dé rouge ait donné 1, 3 ou 5 et, de l’autre, que le dé vert ait donné 5 (soit 1/12). En revanche P(Q|R), est la probabilité que la somme soit paire en sachant que le dé vert a donné 5, autrement dit il ne reste plus de hasard sur le dé vert ; c’est la probabilité que le dé rouge ait donné 1, 3 ou 5 (soit 1/2). P(R|Q) est quant à elle la probabilité que si on vous a dit que la somme était paire, le dé vert ait donné 5 (soit 1/6). Vous pouvez calculer que P(Q) = 1/2 et P(R) = 1/6 , et vérifier que les probabilités données plus haut sont compatibles avec (4). Supposons qu’on a plusieurs événements (qui ne sont pas impossibles) C1 ,C2 , · · · ,Cn qui sont incompatibles et que C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn = Ω. En langue courante, ces événements ne peuvent pas arriver en même temps, mais au moins l’un d’entre eux doit avoir lieu. On dit que les Ci forment une famille complète. Alors P(A) = P(A ∩ Ω) = P(A ∩ [C1 ∪C2 ∪ · · · ∪Cn ]) = P([A ∩C1 ] ∪ [A ∩C2 ] ∪ · · · [A ∩ ∪Cn ]) = P(A ∩C1 ) + P(A ∩C2 )+ · · · + P(A ∩Cn )

Les A ∩Ci sont incompatibles

(5)

= P(A|C1 )P(C1 ) + P(A|C2 )P(C2 )+ · · · + P(A|Cn )P(Cn )

On utilise (4) pour chaque terme.

Cette formule est particulièrement utile, lorsqu’on sait bien déterminé la probabilité de A dans divers scénarios (e.g. les différents génotypes possibles des parents). Voici un cas particulier de (5) : P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B)P(B)

(6)

Intuitivement l’idée d’indépendance se traduit par le fait que la réalisation d’un événement n’a pas d’influence sur l’autre, ou P(A|B) = P(A). Cependant, si B est un événement impossible, parler de A sachant que B est réalisé n’a pas de sens. Pour définir les choses en toute généralité, on dit plutôt que A et B sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A)P(B).

(7)

Si P(B) 6= 0, on retrouve P(A|B) = P(A) en utilisant (4). De même si P(A) 6= 0, on a P(B|A) = P(B). Lorsqu’on parle de plusieurs événements I1 , I2 , · · · In , on dit qu’ils sont indépendants 2 à 2 si n’importe quelle paire d’entre eux forme un couple d’événement indépendant : P(Ii ∩ I j ) = P(Ii )P(I j ). Ils sont mutuellement indépendants (ou tout simplement, indépendants) si la probabilité d’une intersection (de 2 ou plus d’événements) donne le produit des probabilités. Lorsqu’on demande de montrer l’indépendance, il faut calculer P(A ∩ B) (par exemple via P(A|B) ou P(B|A)) et voir si (7) est satisfaite. Faites attention de bien calculer ces valeurs de façon indépendante (c’àd. sans se servir de (7)) : les argumentations circulaires sont des erreurs très fréquentes !

UE 191 - Groupes 7 et 8- Petit Formulaire En bref :

3 (A) = A,

A = A ∩ Ω,

A ∪ B = A ∩ B, ∅ = A ∩ ∅, A ∩ B = A ∪ B. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

A et B incompatibles ⇔ P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A). Les Ci une famille complète ⇒ P(A) = P(A|C1 )P(C1 ) + P(A|C2 )P(C2 ) + · · · + P(A|Cn )P(Cn ) P(A|Ci )P(Ci ) P(Ci |A) = P(A|C1 )P(C1 ) + P(A|C2 )P(C2 ) + · · · + P(A|Cn )P(Cn ) P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B)P(B) P(A|B)P(B) P(B|A) = P(A|B)P(B) + P(A|B)P(B) A et B indépendants ⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B). A et B indépendants et P(B) 6= 0 ⇒ P(A|B) = P(A) A et B indépendants et P(A) 6= 0 ⇒ P(B|A) = P(B) P(A|B) = P(A) ⇒ A et B indépendants P(B|A) = P(B) ⇒ A et B indépendants Rappelez-vous qu’il peut y avoir d’autres façons de parvenir à la résolution d’un problème. Si vous avez un démarche alternative, ce sera un plaisir si vous veniez m’en parler ou me l’écriviez pour en vérifier la validité. N’oubliez pas non plus que les erreurs sont possibles (voire fréquentes) dans mes corrigés, faites-moi signe si vos réponses diffèrent Si vous avez des question (sur les TD, le devoir, le cours ou la vie), n’hésitez pas à passer me voir de 16h à 18h30 les mardis où il y aura un TD à mon bureau (Salle 227, bâtiment 440), à m’accrocher après un TD, ou à m’envoyer un courriel ([email protected]).