Probabilités : les notions essentielles

Vestiges d'une terminale S – Probabilités : les notions essentielles - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)

Probabilité conditionnelle Lorsque l'on sait qu'un événement B est réalisé, l'ensemble de référence change. Celui-ci n'est plus l'univers Ω mais B. L'événement A ne peut alors se réaliser que si et seulement si l'événement A ∩ B se réalise.

A

Ω

B

A∩ B

Probabilité de l'événement A sachant que B est réalisé

Par conséquent :

Définition de l'indépendance de deux événements Dire que deux événements A et B sont indépendants signifie que la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de réalisation de l'autre. Autrement dit : A et B sont indépendants ⇔ pB ( A ) = p ( A ) ⇔ pA ( B) = p ( B)

 A sachant B

⇔ p ( A ∩ B) = p ( A ) × p ( B)

Définition d'une probabilité conditionnelle Si la probabilité de l'événement B est non nulle alors on appelle probabilité conditionnelle de l'événement A sachant B, le nombre noté PB ( A ) et défini par :

pB ( A ) = p ( A | B)


=

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Indépendance de deux événements

p ( A ∩ B) p ( B)

p ( A ∩ B ) = p ( B ) × pB ( A )

Note : si une expérience aléatoire est représentée par un arbre pondéré alors les probabilités conditionnelles sont généralement inscrites sur ses branches. Par exemple, on décide de tirer au hasard et simultanément une main de deux cartes dans un jeu en comportant 32. On considère les deux événements : • A = "les deux cartes sont des cartes rouges". • B = "les deux cartes tirées sont deux têtes couronnées".  32  16  Il existe   = 496 mains de deux cartes possibles.   = 120 sont favorables à A, 2 2 12   6   = 66 à l'événement B et   = 15 à A ∩ B = "têtes couronnées rouges" . 2  2 Comme l'on peut supposer que l'on est en situation d'équiprobabilité (c'est-à-dire que toutes les cartes ont la même chance d'être tirées) alors : 66 33 15 p ( B) = = p ( A ∩ B) = 496 248 496 La probabilité de l'événement "A sachant que B est réalisé" est donc donnée par : p ( A ∩ B ) 15 / 496 15 5 pB ( A ) = = = = p ( B) 66 / 496 66 22

Nous aurions pu trouver cette probabilité avec un peu de bon sens. En effet, parmi les 66 mains faites de têtes couronnées, il en existe exactement 15 qui sont rouges.

B sachant A

En reprenant l'exemple précédent d'une main de deux cartes parmi 32, on établit que les événements A et B ne sont pas indépendants. En effet : 120 66 495 15 p ( A ) × p ( B) = × = ≠ = p ( A ∩ B) 496 496 15736 496 La réalisation de l'événement A influe sur celle de l'événement B. Formule des probabilités totales On dit qu'une famille d'événements (ou de sous-ensembles) B1 , B2 ,...., Bn forme une partition de l'univers Ω si et seulement si : 1. Ils sont deux à deux disjoints : pour tous i et j dans {1; 2;… ; n} , Bi ∩ B j = ∅ 2.

Leur union B1 ∪ B2 ∪ … ∪ Bn est égale à l'univers Ω.

Formule des probabilités totales Si les événements B1 , B2 ,...., Bn forment une partition de l'univers des probabilités Ω alors pour tout événement A : p ( A ) = p ( A ∩ B1 ) + p ( A ∩ B2 ) + … + p ( A ∩ Bn )

= p ( B1 ) × pB1 ( A ) + p ( B2 ) × pB2 ( A ) + … + p ( Bn ) × pBn ( A )
 Formule aves les probabilités conditionnelles

Ω

B1

B2

A

Bn

Note : la formule de probabilités totales fait partie de ces formules que l'on emploie naturellement. Cependant, il est nécessaire de la mentionner chaque fois qu'on l'utilise.

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Quelques rappels sur les variables aléatoires Lorsqu'une variable aléatoire X prend les n valeurs x1 ,...., x n auxquelles sont associées les probabilités respectives p1 ,… , p n alors :
L'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X est définie par : E ( X ) = p1.x1 + p 2 .x 2 + … + p n .x n
La variance V(X) de la variable aléatoire X est définie par :

V(X) = p1. ( x1 − E(X) ) + … + p n . ( x n − E(X) ) 2

2

= p1.x12 + … + pn .x n 2 − E(X)2
 Formule simplifiée de la variance

L'écart-type σ ( X ) est la racine carrée de la variance V(X).

Définition de l'indépendance de deux variables aléatoires Sur une même expérience aléatoire, on considère deux variables aléatoires X et Y prenant respectivement les valeurs x1 ,...., x n et y1 ,...., y m .

 n valeurs

m valeurs

Dire que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes signifie que pour tous entiers naturels i ∈ {1; 2;… ; n} et j ∈ {1; 2;… ; m} , on a :

(

(

))

(

)

p ( X = xi ) ∩ Y = y j = p ( X = xi ) × p Y = y j


Les événements X = x i et Y = y j sont indépendants. La réalisation de tout événement X = x i n'a aucune incidence sur celle d'un événement Y = y j. Et réciproquement !

Voyons cela avec l'expérience aléatoire "on tire au hasard une carte dans un jeu de 32". On considère les variables aléatoires suivantes :  X est la variable aléatoire qui vaut 0 si la carte tirée est un sept, un huit, un neuf ou un dix; 1 si c'est une tête couronnée et 2 si c'est un as. Sa loi de probabilité est : 0 1 2 Valeur de X Probabilité

1/2

3/8

1/8

 Y est la variable aléatoire qui vaut 1 si la carte tirée est un coeur et 0 sinon. Sa loi de probabilité est : 0 1 Valeur de Y Probabilité

3/4

Probabilité de

Y=0 La carte n'est pas un coeur

( X = xi ) ∩ ( Y = y j ) X=0 La carte est un sept, un huit, un neuf ou un dix.

12 3 = = 32 8

X =1 La carte est un valet, une dame ou un roi

9 = 32

1/4

1 2 

3 = 32

3 4 

×

Y =1 La carte est un coeur 4 1 = = 32 8

p( X = 0 )

p( Y = 0 )

3 8 

×

3 4 

3 = 32

1 8 

×

3 4 

1 = 32

p( X =1)

X=2 La carte est un as

Variables aléatoires indépendantes

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Déterminons si ces deux variables aléatoires sont indépendantes. Pour ce faire nous devons calculer et comparer les probabilités de toutes les intersections possibles.

p( X = 2 )

p( Y = 0 )

1 2 

p( X = 0 )

p( Y =1)

3 8 

×

1 4 

1 8 

×

p( X =1)

p( Y = 0 )

1 4 

×

p( X = 2 )

p( Y =1)

1 4 

p( Y =1)

Conclusion : d'après le tableau, dans tous les cas nous avons bien

(

(

p ( X = xi ) ∩ Y = y j

) ) = p ( X = xi ) × p ( Y = y j )

Donc les variables aléatoires X et Y sont indépendantes. Quand est-on en situation d'équiprobabilité ? On décide de répéter un très grand nombre n ≥ 100 de fois une expérience aléatoire qui a exactement k issues possibles ω1 , ω2 ,… , ωk . Par exemple, le tirage au sort d'une boule dans une urne en contenant k distinctes que l'on répète n fois (la boule tirée est remise). A la fin des n expériences, on calcule la fréquence fi d'apparition de chaque boule ωi . Si l'on suppose que nous sommes en situation d'équiprobabilité, c'est-à-dire s'il s'agit d'un véritable tirage au sort, alors la fréquence fi d'apparition de chaque boule ωi doit être

1 , c'est-à-dire de la probabilité que cette boule ωi soit tirée. k Mais ce terme de "proche de..." est très relatif. A partir de quand peut-on considérer que l'on est en situation d'équiprobabilité ? Pour le déterminer, on définit l'indicateur :

proche de

2

2

2

1  1 1   d 2 =  f1 −  +  f 2 −  + … +  f k −  k  k k  
  On calcule le carré des écarts entre ce qu'on a comptabilisé et ce qui est prévu en cas d'équiprobabilité

2 alors l'hypothèse d'équiprobabilité est plausible. Dans le cas n contraire, l'hypothèse d'équiprobabilité est considérée comme exclue. On considère que si d 2 ≤