Probabilités, variables aléatoires discrètes

ECS2, Exercices chapitre 11

Décembre 2010

Probabilités, variables aléatoires discrètes 1 Exercice Quelques exemples parmi les grands classiques 1. On tire une main de 5 cartes d’un jeu “normal” de 32 cartes.(il y a 8 niveaux : A, R, D, V, 10 ,9, 8, 7 et 4 couleurs). Quelles sont les probabilités des événements : a il y a un full” (3 cartes de même niveau et 2 cartes de même niveau, b. “il y a une paire” (2 cartes de même niveau et 3 autres cartes de niveaux différents). c. “il y a deux paires” (donc 2 fois 2 cartes d’un même niveau et une 5i`eme carte d’un 3i`eme niveau) . d. Est-il normal qu’au poker une quinte (5 cartes qui se suivent, de couleurs quelconques) soit moins forte qu’une couleur (5 cartes de la même couleur) ? 2. On tire successivement n boules d’une urne, en les remettant après chaque tirage. L’urne contient 20% de boules rouges, 30% de boules vertes et 50% de bleues. Si a, b et c sont trois entiers tels que a + b + c = n, on note E(a, b, c) l’événement: “au cours des n tirages, on a obtenu a boules rouges, b boules vertes et c boules bleues”.Calculer les probabilités des événements : E(0, 4, 6) ; E(2, 3, 5) ; E(a, b, c). 3. On dispose de dés cubiques normaux, et on effectue des lancers successifs. a. On effectue une suite de n lancers d’un dé, on note pn la probablité d’obtenir au moins une fois un “as”. b. On effectue une suite de n lancers de 2 dés, on note p′n la probabilité d’obtenir au moins une fois “2 as”. ′′ c. On effectue une suite de 2n lancers d’un dé, on note pn la probabilité d’obtenir au moins 2 fois un “as”. Calculer pn , p′n et p′′n . Le problème du chevalier de Méré est le suivant : est-ce que p′n = p′′n ? 4. L’urne U contient n boules blanches et 4n boules noires. a. Si k ∈ {0, ..., 4n}, on tire en une seule fois une poignée de k boules ; calculer la probabilité Pj de l’événement : “il y a j boules blanches parmi les k boules tirées”. n      
n 4n b. On choisit k = n : à l’aide de l’expression de Pj en fonction de j et n, démontrer que : = 5n j ∗ j n . j=0

5. On range n livres au hasard sur 3 étagères. Si n ≥ 3 , on note En l’événement “il y a au moins un livre sur chacune des 3 étagères ”. a. Quelle est la probabilité de l’événement E3 ? celle de En ? b. A partir de quelle valeur de n, cette probabilité est-elle supérieure à 0,9 ? 6. Six couples arrivent à une soirée pour danser Pour une danse donnée, le choix des partenaires se fait au hasard : quelle est la probabilité pour que les 6 couples de départ se retrouvent ? Qu’il y en ait 5 qui se retrouvent ? Qu’il y en ait 4 qui se retrouvent ? Qu’il y en ait 0 qui se retrouve ? Indication : on suppose qu’il y a n couples en tout. On peut noter Ai l’événement le couple n◦ i se retrouve, calculer les probabilités P (Ai ), P (Ai1 ∩ Ai2 ), P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik ), pour i, i1 ...ik appartenant à {1, ..., n}, i1 < ... < ik : la probabilité pour que 0 couple se rencontre est : 1 − P (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ), et il faut cribler...       47 3 32 842 32  32  8  32  5 Rép. 1. 8 43 7 42 / 32 5 ; 8 2 3 4 / 5 ; 2 2 6*4/ 5 ; d. 5 ∗ 4 -16 / 5 > 4 5 -16 / 5    3 4  5 6 108  2 2  3 3  5 6 nn−a  2 a  3 b  5 c 2. 10 ; a 4 10 10 ; 2 3 10 b 10 10 10  5 2n10 1 10  5 2n−1 5 n 35 n 3. 1 − 6 ; 1 − 36 ; 1 − 6 − n6 6 . n   4n  5n   4n  5n  n 4n 5n
   5n 4. a. Pj = kj k−j / k ; b- Pj = nj n−j / n = n−j j / n et Pj = nj 4n j / n = 1... j=0

n

5. P (E3 ) = 33!3 , P (En ) = 1 + 33n − 3∗2 > 0.9 ⇔ n ≥ 9.    3n 1 6. p6 = 6! ; p5 =0 ; p4 = 62 /6! ; p3 =2* 63 /6! (ça devient plus délicat après) ; P (Ai ) =  6 4! 6 3! 6 2! 6 1! 1 53 p0 = 1 − 61 5! 6! + 2 6! − 3 6! + 4 6! − 5 6! + 6! = 144

5! 6! ,

P (Ai ∩ Aj ) =

4! 6! ,

...,

2 Exercice Probabilités conditionnelles, probabilités composées 1. On pioche successivement (sans remise) des cartes parmi les 52 cartes jusqu’à épuisement du paquet. Déterminer les probabilités des événements qui suivent : a. “ la ki`eme carte tirée est le roi de coeur ” (k étant compris entre 1 et 52). b. “ la ki`eme carte tirée est le Roi de coeur, Dame et Valet de Coeur ayant été tirés auparavant” (k ∈ {3, ..., 52}). (Dans les premier cas la somme des probabilités trouvées pk est égale à 1, dans le deuxième, c’est 13 ! Interpréter). 2. On effectue des tirages successifs sans remise dans une urne U. L’urne U contient une boule blanche, trois boules noires et r boules rouges. Si on a tiré la boule blanche, on a gagné. Si on a tiré une boule noire, on a perdu. Et si on a tiré une boule rouge, on retire Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence

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une autre boule. (La partie se termine en moins de r + 4 coups). a. Si pr désigne la probabilité de gagner lorsque l’urne contient r boules rouges, calculer p0 et p1 . 1 r b. Démontrer l’égalité : ∀r ∈ N∗ , pr = r+4 + r+4 pr−1 . En déduire la valeur de pr en fonction de r. 3. Monsieur X a deux enfants, madame Y le sait, mais ne sait pas si ce sont des filles ou des garçons. On suppose que les probabilités pour chaque enfant d’être une fille est égale à 0,5 (de façon indépendante). a. Quelle est la probabilité pour Monsieur X ait deux filles sachant que c’est une fille qui a ouvert la porte à Madame Y lorsque celle-ci a sonné au domicile de Monsieur X ? b. Quelle est la probabilité pour Monsieur X ait deux filles sachant que Monsieur X a au moins une fille ? 4. On veut mettre au point un test pour repérer les conducteurs de voiture en état d’ébriété. On a constaté : * Si un individu est en état d’ébriété (>0.5 g/l d’alcool dans le sang) le test est positif dans 99% des cas. * Dans le cas où un individu n’est pas en état d’ébriété, le test est négatif dans 96% des cas. On estime que le pourcentage des conducteurs qui roulent en état d’ébriété est environ de 8% (cela a été mesuré grâce à des tests plus précis, dans une région très précise, à certains horaires particuliers...). Un conducteur est contrôlé positif : quelle est la probabilité qu’il soit réellement en état d’ébriété ? 5. Dans une famille de n enfants, on suppose que l’arrivée des garçons et des filles est équiprobables. Comment faut-il choisir n (n ≥ 2) pour que les événements A =“avoir au moins deux filles” et B =“n’avoir que des enfants du même sexe” soient indépendants ? 52 k−1 2∗1∗49∗48...(53−k)∗1
(k−1)(k−2) (k−1)(k−2) 1 50 53−k 1 1 Rép. 1. 51 52 ∗ 51 ∗ ... ∗ 54−k ∗ 53−k = 52 ; 2 52∗51∗...∗(54−k)(53−k) = 52∗51∗50 et 52∗51∗50 = 3 k=2

2. p0 = 14 , p1 = 15 + 15 14 , on tire la blanche ou une rouge et on recommence avec r − 1 rouges, pr = 14 . F ∩F O) 3. P (F O) = P (F F ) + P (F G ∩ F O) + P (GF ∩ F O) = 14 + 12 14 + 12 14 = 12 ⇒ PF O (F F ) = P (F = P (F O) P (au moins 1 F) = P (F F ) + P (F G) + P (GF ) = 34 , P (F F/au moins 1 F) =

1/4 3/4

1/4 1/2

= 12 .

= 13 .

On sait PE (+)= P P(+∩E) (E) =0.99 P (+∩ E)=0.0792 P P (E)=0.08 P (−∩E )   (− ∩ E)=0.0008  PE (−) = P E = 0.96, P + ∩ E =... P − ∩ E =0.96 ∗ 0.92 P E =0.92 ( ) P (+)=.... P (−)=0. 884 1 P (E) = 0.08 2n −1−n 2 2n −1−n 2 1 5. P (A) = 2n ; P (B) = 2n ; P (A ∩ B) = 2n ∗ 2n = 2n , indépendants ⇔ n = 3

4.

P (−) = 0. 884, P (+) = 0. 116, P+ (E)= 0.0792 0.116 ≃ 0. 68

3 Exercice Des espaces probabilisés non finis On effectue des lancers successifs d’un dé cubique, dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note Ek l’événement “le premier as est sorti au ki`eme essai”, et Fh l’événement “le numéro pair est sorti au hi`eme essai”. 1. Quelles sont les probabilités des événements E1 ? F1 ? Ek ? Fh ? 2. Comment s’énonce les événements ∪ ∗ Ek ? ∪ ∗ Fh ? et quelles sont leurs probabilités respectives ? k∈N

h∈N

3. Mêmes questions avec ∪ Ek ? ∪ Ek ? k≥2

k≤n

∪

k≥n+1

Ek ?

∪ E2k ?

k∈N∗

4. Si h ≤ k, quelle est la probabilité de l’événement Fh ∩ Ek ?  Énoncer et calculer les probabilités des événements A = Fh ∩ ∪ Ek ; A′ = ∪ ∗ (Fh ∩ Eh+2 ) ; A′′ = ∪ (Fh ∩ Ek ) . k>h h∈N 0 b. 2. Calculer l’espérance de X. Comment choisir b pour que cette espérance soit maximale ? n2 +n+bn−b2 , maximum b = n2 , E (X)= 5n+4 1. Rép. nb2 ou n+b n2 suivant qu’on rejoue ou non 2. E (X) = 2n 8 15 Exercice Épuisement des boules blanches    n  2n−1 2n 1. Démontrer que : n−1 n−1 + n−1 + ... + n−1 = n .

(Indication : étudier le coefficient du terme de degré n − 1 du polynôme

2n−1


(1 + X)k ).

k=0

2. Une urne contient n boules blanches et n noires. On tire les boules une à une sans remise. On note X le rang de sortie de la dernière boule blanche. de. X ? k−1 Quelle  est la loi et l’espérance 1 Rép. P (X=k) = n−1 / 2n n , E (X) = 2n − 1 + n+1 .

16 Exercice Formule et loi d’une variable aléatoire X, à valeurs dans N Existe-t-il un réel a tel que l’on puisse avoir : ∀k ∈ N, P (X = k) = (ak + 1)e−k ? +∞
ae e 1 Rép. (ak + 1)e−k = (e−1) 2 + e−1 = 1 ⇔ a = e − 1 < 0, ça ne colle pas. k=0

17 Exercice Loi du maximum, du minimum, cas d’un dé. On lance n dés normaux et on note X le plus grand et Y le plus petit des n numéros tirés. (On peut choisir n = 5 si on veut) 1. Si FX est la fonction de répartition de la v.a.r. X : calculer la probabilité FX (k) pour k ∈ {1, ..., 6}. 2. En déduire la loi de X. De façon symétrique, déterminer la loi de Y .  n  n  n−1  n  6−k n Rép. FX (k) = k6 et P (X = k) = k6 − k6 ;. P (Y = k) = 7−k - 6 6

18 Exercice 3 joueurs A, B, C, lancent chacun à son tour une pièce équilibrée.

Au départ la mise est de 50 Euros chacun, le premier qui obtient Pile gagne un gros lot de 100 Euros, le 2e`me gagne 50 Euros, et le 3e`me ne gagne rien, on peut cumuler les gains. Quelle est la loi du gain X du premier joueur A, la loi Y du gain du deuxième joueur B, et la loi du gain Z du troisième joueur C ? Quelles sont les espérances ? +∞
 1 3k+1 +∞
 1 3k+3 4 22 14 Rép. P (X = 100) = = 47 17 = 49 , P (X = 50) = 47 67 = 24 2 2 49 , P (X = 0) = 7 7 + 7 7 = 8 49 , P

(X = −50) =

25 77

k=0 13 77

+

=

13 49 ,

k=0

E (X) =

950 49 ,

900 de même E (Y ) = − 50 49 , E (Z) = − 49 .

19 Exercice Score final. Un joueur de tennis gagne le point contre un adversaire précis dans 60% des cas. Quelle est la loi de l’écart X entre les nombres de balles gagnées entre les deux joueurs à l’issue d’un jeu. (Les scores s’écrivent 15,30,40, puis “jeu” ou “avantage” ou “égalité” suivant qu’il y a 2 balles gagnées de plus, ou 1 ou 0)

  Rép. P (X = 4)=0.64 +0.44 =0.1552, P (X=3)=0.96 0.43 +0.63 = 0.2688, P (X=2)=10 × 0.42 × 0.62 =0.576  La partie finit presque sûrement : lim P (X > 2n) = P (“égalité après 2n coups”) = lim 52 0.42 0.62 × 0.48n−2 = 0 n→∞

n→∞

20 Exercice Suite de variable aléatoire avec probabilités conditionnelles. On dispose de 10 boules, 8 blanches et 2 noires. On met dans chacune des urnes U1 et U2 4 boules blanches et une boule noire. Puis on effectue une suite de “n échanges” qui consistent à prendre au hasard une boule dans U1 et une boule dans U2 et à placer la première dans U2 et la deuxième dans U1 . Xn est la v.a.r. qui indique le nombre de boules noires dans l’urne U1 , à l’issue des n échanges . On pose P (Xn = 0) = un , P (Xn = 1) = vn , P (Xn = 2) = wn . Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence

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1. Quelles sont les lois des v.a.r. X0 , X1 et X2 ? Etablir des relations entre (un , vn , wn ) et (un+1 , vn+1 , wn+1 ). 2. Démontrer que : ∀n ∈ N∗ , un = wn et vn+1 = 0, 4 + 0, 28vn . Calculer vn , wn et un en fonction de n . Quelle de X ? Quelle  et l’espérance  est son espérance ?  est la loi n 4  n 0 25 0 un+1 un vn = 59 + 4(−0.28) 2 17 2      9 vn+1 vn = , , E (Xn ) = 1. Rép. 5 25 5 n un = wn = 1−v 4 2 wn+ 0 25 0 wn 21 Exercice Étude d’une rampe lumineuse constituée de 4 spots nommés de haut en bas S1 , S2 , S3 et S4 * *

A l’instant t = 0, le spot S1 est allumé. Si à l’instant t = n (n entier, n ≥ 0) le spot S1 est allumé, alors à l’instant t = (n + 1) l’un des 4 spots S1 , S2 , S3 ou S4 et un seul s’allume, et cela de manière équiprobable. * Si à l’instant t = n, le spot Sk (2 ≤ k ≤ 4) est allumé, alors le spot Sk−1 (et lui seul) s’allume à l’instant t = n + 1. X est la variable aléatoire représentant le premier instant, s’il existe, où le spot S2 s’allume. 1. Calculer la probabilité pour que le spot S1 reste constamment allumé jusqu’à l’instant n (n ∈ N, n donné) . En déduire que X est bien une variable aléatoire. 2. Calculer les probabilités des événements [X = 1], [X = 2], puis [X = n] pour n ≥ 3. Quelle est l’espérance de X ? +∞
21 5 5 Rép. 1.P (X > n) = 41n . 2. P (X = 1) 14 , P (X = 2) = 16 , P (X = n) = 421n . (vérification : 14 + 16 + 4k = 1) k=3

22 Exercice Attente d’un résultat et somme de séries dérivées d’une série géométrique On désigne par m, n, k des entiers naturels et opar x un réel apparetenant à ]0, 1[ . Une urne contient des boules rouges et des boules vertes, la probabilité de tirer une rouge est égale à x, celle de tirer une verte est égale à (1 − x) . On effectue une suite de tirages avec remise. On définit les événement suivants : * Rk est réalisé si et seulemsnt si on tire la (m + 1)e`me boule rouge lors du (m + k + 1)e`me tirage (donc les (m + k) premiers tirages ont donné m boules rouges et k vertes et le (m + k + 1)e`me une rouge. * Vk est réalisé si et seulemsnt si on tire la (n + 1)e`me boule verte lors du (n + k + 1)e`me tirage (donc les (n + k) premiers tirages ont donné n boules vertes et k rouges et le (n + k + 1)e`me une rouge. 1. a. Calculer les probabilités P (Rk ) et P (Vk ) . en fonction de x, m, n, k. b. On effectue une suite de tirages avec remise jusqu’à l’obtention de l’un des deux résultats : obtenir un nombre égal à m + 1 boules rouges ou obtenir un résultat égal à n + 1 boules vertes. Démontrer que (R0 , R1 , ..., Rn , V0 , V1 , ..., Vm ) constitue un système complet dévénements. m m
m+k
n+k k k n+1 c. En déduire l’égalité : xm+1 (1 − x) + (1 − x) x = 1. m n k=0

k=0

2. a. Si n ∈ N, et x ∈ ]0, 1[ , étudier le sens de variation de la suite (sm,n (x))m∈N définie par sm,n (x) =

m  
n+k k n x .

k=0

b. Démontrer que cette suite est majorée (le majorant dépendant de n et de x).     k c. En utilisant l’équivalent (a redémontrer) m+k ∼ mk! , déterminer lim xm+1 m+k (1 − x)k. . k k m→+∞

d. En déduire que (sm,n (x))m∈N converge vers

1 (1−x)n+1

m→+∞

=

+∞


m=0

n+k k n x .

23 Exercice Pile ou face On réalise une suite de lancers indépendants d’une pièce équilibrée donnant “Pile” ou “Face” avec la probabilité 0.5. On note Pk (resp. Fk ) l’événement : “on obtient Pile (resp. Face) au ke`me lancer”. Pour ne pas surcharger l’écriture on écrira, par exemple, P1 F2 à la place de P1 ∩ F2 . On note X la variable aléatoire qui prend la valeur k si l’on obtient, pour la première fois, “Pile” puis “Face” dans cet ordre aux lancers k − 1 et k (k ∈ N, k ≥ 2), X prenant la valeur 0 si cela n’arrive jamais. On note Y la variable aléatoire qui prend la valeur k si l’on obtient, pour la première fois, “Pile” suivi de “Pile” aux lancers k − 1 et k (k désignant un entier supérieur ou égal à 2), Y prenant la valeur 0 si cela n’arrive jamais. L’objet de l’exercice est de calculer les espérances de X et Y et de vérifier que, “contre toute attente”, E(Y ) > E(X). 1. a. Calculer P (X = 2). Soit k ∈ N, k ≥ 3.: montrer que si le premier lancer est un “Pile”, alors il faut et il suffit que P2 P3 . . . Pk−1 Fk se réalise pour que (X = k) se réalise. En déduire que : ∀k
3 P (X = k) = 12 P (X = k − 1) + 21k b. On pose, pour tout entier k ≥ 2, uk = 2k P (X = k). Déterminer uk , puis donner la loi de X.

Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence.

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c. 2. a. b. c.

Montrer que X a une espérance, notée E(X), et la calculer. Montrer que (F1 , P1 P2 , P1 F2 ) est un système complet d’événements. En déduire que, pour tout entier k ≥ 4 : P (Y = k) = 12 P (Y = k − 1) + 14 P (Y = k − 2) On pose, pour k ≥ 2, vk = P (Y = k). Déterminer v2 et v3 , puis montrer qu’en posant v0 = 1 et v1 = 0, on a, ∀k ≥ 2, vk = 12 vk−1 + 14 vk−2 . En déduire la valeur de vk en fonction k puis donner la loi de Y . d. Montrer que Y a une espérance, notée E(Y ), et la calculer.  √ k √  √ k √ 1+ 5 5+1 1− 5 √ √ Rép. P (X = k) = k−1 , E (X) = 4, P (Y = k) = vk = 25−1 + , E (Y ) = 6 4 4 2k 5 2 5

24 Exercice Une entreprise de location de camions propose deux véhicules à louer. Chacun des camions est disponible en moyenne 4 jours sur 5, et le nombre de clients qui se présente pour louer un véhicule est une variable aléatoire X, qui vérifie : P (X = 0) = 0, 2 ; P (X = 1) = 0, 3 ; P (X ≥ 2) = 0, 5. Chaque location rapporte 200 Euros de bénéfice net par jour. Quelle est la loi du nombre Z de clients satisfaits par jour ? Quel est le bénéfice journalier moyen ?  2  2  1 8 Rép. P (Z=0)=0.2+0.8 15 =0. 232, P (Z=2)=0.5 45 =0.32, P (Z=1)=0.3 1- 25 +0.5 25 =0.448, E (B)=217.6 25 Exercice Loi du plus grand numéro tiré 1. X est une variable aléatoire qui prend des valeurs dans N. n n−1

kP (X = k) = P (X > k) − nP (X > n) . a. Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , k=0

En déduire que, si X admet une espérance, alors E (X) =

k=0 +∞


P (X > k) .

k=0

b.

  +∞
Montrer de même que si X admet une variance, E X 2 = (2k + 1) P (X > k) . k=0

2. Une urne contient N boules numérotées de 1 à N. On effectue dans cette urne n tirages successifs, avec remise, et on note X le plus grand des n numéros tirés.  k n  k−1 n a Préciser la loi de X et l’espérance de X. (Rép. P (X = k) = N − N ). n b n étant fixé, montrer que E (X) ∼ n+1 N (Indication : utiliser une intégrale). c.

N→∞

Dans les mêmes conditions démontrer que V (X)

n ∼ N 2. 2 N→∞ (n+1) (n+2)

26 Exercice Ascenseur Un ascenseur dessert n étages d’un immeuble. A chaque voyage le nombre de personnes qui montent dans cet ascenseur au rez de chaussée est un variable aléatoire X suivant une loi de Poisson de paramètre λ. On suppose que : • Aucun arrêt n’est dû à des personnes désirant monter dans l’ascenseur à un autre niveau que le rez de chaussée.

• Chaque personne choisit son étage d’arrivée au hasard et indépendamment des autres passagers. (Ces choix se font dans l’ordre d’entrée des passagers dans l’ascenseur). Enfin, pour k ∈ N, on appelle Sk la variable aléatoire égale au nombre d’arrêts de l’ascenseur lorsque celui-ci contient k passagers au départ. 1. Montrer que pour j ∈ {1, ..., n} et pour k ∈ N, P (Sk+1 = j) = nj P (Sk = j) + n−j+1 P (Sk = j − 1) n 1 2. En déduire que E(Sk+1 ) = 1 + (1 − n )E(Sk ). 3. Après avoir justifié que E(S0 ) = 0, déterminer E(Sk ) pour tout entier naturel k. ) 4. Montrer que si S indique nombre d’arrêts de l’ascenseur à un voyage donné alors : E(S) = n(1 − e   k  Rép. 1. proba totales 2.E (Sk ) = n 1 − n−1 n

−λ n

)

27 Exercice On tire un sous-ensemble au hasard. En désigne l’ensemble {1, 2, . . . , n}. On tire au hasard une partie C dans P(En ) puis on tire au hasard une partie D dans P(C), en supposant qu’à chaque étapes, les tirages de chacune des parties sont équiprobables. Z est égal au cardinal de D. Déterminer la loi de Z et son espérance. n    
n! Rép. P (|C| =h)= nh 21n , P[|C|=h] P (|D| =k)= hk 21h , P (Z=k)= 41n k!(n−k)!

h=k

Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence

(n−k)!2n−h n 3n−k (h−k)!(n−h)! = k 4n ,

E (Z)= n4

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Probabilités, variables aléatoires discrètes

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28 Exercice Étude pas à pas du temps d’attente On effectue une suite illimitée de lancers de dés : on note X1 le numéro du lancer ayant amené le premier as, X2 le numéro du lancer ayant amené le deuxième as, X3 le numéro du lancer ayant amené le troisième as. Dans cet exercice, i, j, h, k désignent des entiers naturels non nuls. 1. Quelle est la probabilité de l’événement : [X1 = i] ?  i+j−2  1 2 2. a. Démontrer que la probabilité de l’événement [X1 = i] ∩ [X2 = i + j] est égale à 56 6 . b. On pose h = i + j. Quelle est la probabilité de l’événement [X2 = h] ? Celle de [X2 = i + j] / [X1 = i] ? c. En distinguant les cas i < h, et i ≥ h, déterminer la probabilité [X1 = i] / [X2 = h]. Interpréter... d. Calculer l’espérance de X2 . 3. a. Calculer les probabilités des événements [X3 = k] et [X1 = i] ∩ [X2 = h] ∩ [X3 = k] lorsque i < h < k. b. En déduire la probabilité de l’événement [X1 = i] ∩ [X3 = k]. c. Quelle est la probabilité P[X1 =i] (X3 = k) et quelle est la loi conditionnelle de la v.a.r. X3 [X1 =i] ? d. Quelle est la probabilité P[X3 =k] (X1 = i), quelle est la loi conditionnelle de la v.a.r. X1 [X3 =k] ? i−1

h−2

Rép. 1. P (X1 = i)= 56i 2. P (X2 = h)= (h−1)5 , X1 / [X2 = h] suit U{1,...,h−1} , E (X2 ) = 12 6h   5k−3 2(k−i+1) 5k−3 (¨X3 =k)= k−1 , P ([X =i] ∩ [X =h] ∩ [X =k])= , P[X3 =k] (X1 =i) = (k−1)(k−2) , P[X1 =i] (X3 =k)=P (X2 =k-i) . 1 2 3 2 6k 6k 29 Exercice Urnes de Polya Une urne contient au départ a boules noires et b boules blanches. On effectue une suite de tirages qui consiste à tire une boule de l’urne, de regarder sa couleur, et la remettre dans l’urne en ajoutant une boule de la même couleur avant le tirage suivant. On cherche à déterminer l’évolution de la proportion de boules noires dans l’urne. On note Xn le nombre de boules noires à l’issue du nii`eme tirage. On a en particulier X0 = a. 1. On suppose a = b = 1. a. Quelle est la loi de X1 ? Démontrer que X2 et X3 suivent des lois uniformes sur {1, 2, 3} et {1, 2, 3, 4} . b. Démontrer par récurrence que Xn suit une loi uniforme sur {1, 2, ..., n + 1} . c. On note An l’événement tirer une boule noire lors du ni`eme tirage : à l’aide de la loi de Xn , déterminer la probabilité de l’événement An+1 . Quelles sont vos remarques ? 2. On note Bn l’événement ”tirer une boule blanche lors du ni`eme tirage. On suppose a et b quelconques. a a+k−1 b b+n−k−1 a. Démonter que P (A1 ∩ ... ∩ Ak ∩ Bk+1 ∩ ... ∩ Bn ) = a+b ... a+b+k−1 a+b+k ... a+b+n−1 . b. En déduire n a+b  n a... (a + k − 1) b... (b + n − k − 1) ab k a P (Xn = a + k) = =   k (a + b) ... (a + b + n − 1) a + b a + k a+b+n−1 a+k

c. A l’aide de la formule des probabilités totales, on démontrerait que P (Bn+1 ) =

Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence.

a a+b .

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Probabilités, variables aléatoires discrètes

9

Annexe : des exercices de dénombrement Rappels sur les opérations : additions, multiplications, permutations, combinaisons... Il y a des opérations sur les ensembles : réunions, intersections, complémentaires, produits d’ensembles, et on construit l’ensembles des parties d’un ensemble, l’ensemble des applications d’un ensemble vers un autre... Au niveau dénombrement, ces opérations ou constructions correspondent à des additions, multiplications, puissances, permutations, combinaisons : • L’addition des cardinaux correspond au cardinal d’une réunion d’ensembles disjoints : on ajoute quand il y a des situations (deux à deux) “incompatibles” ou “alternatives” ou encore “disjointes”. • La multiplication des cardinaux correspond au cardinal de “produits d’ensembles” : en pratique, il faut multiplier chaque fois qu’un choix se décompose en une suites de choix : on multiplie à chaque étape le nombre de possibilités de choix On peut représenter les diverses suites de choix à l’aide d’un arbre. Cas particuliers : A et B étant deux ensembles finis possédant |A| = n et |B| = p éléments – définir une application de A vers B revient à faire une suite de choix d’images (p possibilités pour chacun des n éléments de A) : |B||A| = pn possibilités. – il y a n! façons d’ ordonner les éléments de A i.e. de leur choisir n places ou de les numéroter.

• Chaque fois que l’on doit prendre ou choisir k éléments parmi n d’un seul coup -c’est  un “tirage simultané”- ou encore qu’on choisit un sous-ensemble de k éléments d’un ensemble de n éléments, il y a nk choix.

30 Exercice Utilisation de codages ou d’applications

1. Les bijections peuvent permettre d’établir des correspondances entre un ensemble E à dénombrer et un ensemble de “référence” F - qui a été déjà “analysé” et “dénombré”-. Parmi les bijections, il y a les “codages” et parmi les codages, les “fonctions caractéristiques”. Par exemple on code naturellement les sous-ensembles {a, b, d} , {c} , ou ∅ de {a, b, c, d, e} : 11010 , 00100 , 00000 , en choisissant les codes 0 ou 1 pour indiquer (dans l’ordre alphabétique) le fait que telle lettre ait été retenue ou pas dans le sous-ensemble. On retrouve la bijection naturelle entre l’ensemble P (E) des parties de E et l’ensemble des applications de E vers {0, 1}, qui à la partie A fait correspondre l’application “caractéristique” 

x → 1 si x ∈ A x → 0 si x ∈ /A a. Si (A, B) ∈ P (E)2 , démontrer que : fA∩B = fA × fB ; fA∪B = fA + fB − fA fB ; fc A = 1 − fA .
fA (x) . Que donne cette formule pour |A ∪ B| ? |c A| ? b. Si A est fini, montrer que Card (A) = |A| = fA :

x∈A

2. Codes formés de chiffres

a. Combien de codes possibles composés de 6 éléments choisis parmi {0, 1} ? parmi {0, 1, 2, ..., 9} ? b. Combien de nombres de 7 chiffres en base deux ? Parmi ceux-ci combien dont la somme des chiffres vaut 4 ? c. Combien y a-t-il de nombres de 7 chiffres en base dix ? 3.

a.

A l’aide d’un système de codage, compter le nombre de chemins D parmi les plus courts, pour aller i- de A(0, 0) vers B(4, 3) ; de C (8, 5) vers D (12, 10) . ii- de A(0, 0) à C(8, 5) en passant par B(4, 3). C iii- de A (0, 0) à D(12, 10) , passant par C (8, 5) mais pas par B (4, 3). b. Un ivrogne part du point B vers la droite, et à chaque carrefour B continue tantôt en face, tantôt à droite, tantôt à gauche. A Combien de chemins de longueur 4 le ramènent en B ? Combien de chemins de longueur 6 le ramènent en B ? 4. On considère les ensembles A = {1, ..., 6} et B = {0, ..., 9}   a. Démontrer qu’il y a 10 6 applications strictement croissantes de A vers B ?   b. (Plus difficile) Démontrer qu’il y a 15 6 applications croissantes de A vers B ? [ Il faut définir un codage (suite de 0 ou de 1) d’une telle application croissante f : on peut placer à la suite autant de codes “1” que le nombre de fois où “le même élément y est image”, des “0” pour séparer les valeurs de y qui vont de 0 à 9. Par exemple : l’application dont le graphe est (1, 0) , (2, 4) , (3, 4) , (4, 7) , (5, 7) , (6, 8) se code 1000110011010]. 5. On veut placer 8 jetons indiscernables sur un damier carré de 8 lignes et 8 colonnes Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence

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10

a. De combien de façon peut-on disposer ces 8 jetons en tout ? b. Combien y a-t-il de dispositions telles qu’il n’y ait pas deux jetons sur une même ligne ? c. Combien y a-t-il de dispositions telles qu’il y en ait un seul par ligne et un seul par colonne ? 6. Un marchand propose n objets tous différents à la vente, et deux clients se présentent successivement. a. Combien y a-t-il de choix pour le premier (qui peut acheter ou ne pas acheter chacun des n objets) ? b. Le premier clients achète p objets. Combien y a-t-il de possibités d’achats d’objets pour le deuxième client ? Combien y a-t-il de façons de servir les deux clients au total ? c. Les deux clients passent leurs commandes sans se concerter (un même objet peut être commandé par les deux en même temps). Combien y a-t-il de possibilités pour établir ces commandes ? Dans combien de cas les deux commandes recouvrent-elles la totalité des objets qui sont en vente ? 7. Suites croissantes a. On veut dénombrer l’ensemble des couples d’entiers (x, y) de {0, ..., n} × {0, ..., n} tels que x < y. Si y est déjà choisi (y = p, par exemple), combien y a-t-il de choix pour x ? Combien de choix en tout ? En pensant à n  
d’autres méthodes de dénombrement, démontrer que : p = n+1 2 . p=0

b. On veut dénombrer l’ensemble des triplets (x, y, z) de {0, ..., n}3 tels que x < y < z.

– Si y est déjà choisi, (y = p par exemple), combien y a-t-il de choix pour x et z ? combien cela fait-il au total ? – Si z est déjà choisi (z = p par exemple), combien y a-t-il de choix pour x et y ? combien cela fait-il au total ? n  
– En confrontant différentes méthodes de dénombrement, démontrer que p(n − p) = n+1 3 . 6

7

6

7

p=0

         76 9 Rép. 2. 2 ; 10 ; 2 -2 ; 4 ; 10 -10 . 3a. 73 ; 94 ; 73 62 ; 13 5 - 3 2 4 , b. 2, 4. 64 8  n p 
n n n 5. 8 , 8 , 8! 6. a. 2n b. 2p donc np 2p et = 3 c. 4 et 3 2 p n n n   n+1   p
n+1

p 7. a. p, p = 2 b. p (n − p) , p (n − p) = n+1 ou , 3 2 2 = 3 . 6

p=0

7

6

p=0

p=0

31 Exercice Le principe des bergers “ Pour compter les moutons, on peut compter les pattes, puis diviser le nombre de pattes par 4 ”. 1. Combien de permutations possibles sur les 9 lettres du mot ”é v é n e m e n t” ? Sur celles du mot “E V E N E M E N T”? 2. a. Combien y a-t-il de façons de nommer un même polygone “ABCD” à quatre côtés? un polygone à n côtés ? b. Combien y a-t-il de polygones différents (convexes ou non, ou croisés) à 4 côtés construits à partir de 4 points A, B, C, D ? Combien y a-t-il de polygones à n côtés construits à partir de n points donnés ? 3. On considère les ensembles A = {1, ..., 6} et B = {0, ..., 9}. a. Combien y a-t-il d’applications f injectives de A vers B ? b. Combien y -a-t-il de façon de choisir un sous-ensemble de 6 éléments f (A) inclus dans l’ensemble B ? c. Combien y a-t-il d’injections f de A vers B telles que f (A) = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ? Quels liens entre a., b., c. ?              9! Rép. 1. 92 71 62 42 21 11 = (2!)9!3 13 ; 94 51 42 21 11 = 4!2!1 3     10 10 n! 6 2. a. 8, 2n b. 3, 2n 3. A610 = 10! , , 6!, 6! = A . 10 4! 6 6

32 Exercice Tirages sans remise dans l’ensemble E muni d’une partition (E1 , E2 , ..., Eh ) (E1 , E2 , ..., Eh ) est une partition de E en h parties. Pour tirer k objets parmi les n objets de l’ensemble E, on tire successivement k1 objets parmi les n1 de E1 , k2 objets parmi les n2 de E2 , ... et kh objets parmi les nh de Eh . Au niveau des sommes,   on a : k1 + k2 +  ... + kh = k et n1 + n2 + ... + nh = n. Il y a en tout N = nk11 × nk22 × ... × nkhh façons de s’y prendre. 1. Mains de 8 cartes tirées d’un jeu normal de 32 cartes. Quel est le nombre de mains de 8 cartes ayant a. 3 Piques, 3 Coeurs et 2 Trèfles ? 3 figures et un roi ? b. 2 figures et 6 carreaux exactement ? Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence.

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11

2. Un camelot présente en vrac un lot de 25 paires de chaussures. Elles sont du même modèle, mais se différencient par le fait qu’elles sont soit du pied droit, soit du pied gauche, et par leur pointure : il y a 5 paires de 40, 8 de 41, 10 de 42 et 2 de 43. Un client choisit au hasard 2 chaussures. a. Dans combien de cas les chaussures ont la même pointure ? des pointures différentes ? b. Dans combien de cas les chaussures correspondent à des pieds différents ? au même pied ? c. Combien y a-t-il de cas où les chaussures forment une paire correcte ? m    a+b
a b 3. Démontrer la formule de Vandermonde : k m−k = m k=0

a+b Méthode 1 : étudier le coefficient du terme de degré m du polynôme (X + 1)a (X + 1)b = (X 1) .  +  a b Méthode 2 : traduire la formule en termes de dénombrement avec les “définitions” de k et m−k .       120 11120 39515 39515 + 1 1 6 b. 2 0 4 2 + 1 1 5 1 Rép. 1. a. 83 83 82 80 , 11 10 16 20 4 3 0 5 25     25 2 50 2. a. 2 + 2 + 2 + 2 = 361, 10*40+16*24+20*4=864= 50 2 -361 b. 2 2 , 25 = 2 -2 2 c. 52 +82 +102 +22 = 193.

33 Exercice Suites de choix en vue d’une répartition ou d’un partage Si E = E1 possède n = n1 éléments, on choisit k1 objets parmi les n1 de E 1 , pour former un premier sous-ensemble F1 de k1 éléments. Puis on choisit k2 objets parmi les n2 = n1 − k1 de E2 = E1 − F1 pour former un deuxième sous-ensemble F2 de k2 éléments. etc.... Enfin on choisit kh objets parmi les nh = n − k1 − ... − kh−1 de Eh = Eh−1 − Fh−1 pour former un hi`eme sous-ensemble Fh de kh éléments : il y a    n−k1 −...−kh−1  n1 n2  nh  (n−k1 −...−kh−1 )! (n−k1 )! 1 N = kn1 n−k ... (n−k = k1 ! k2n!!...kk ! façons. = k1 k2 ... kh = (n−kn!1 )!k1 ! (n−k n2 ... kh 1 −k2 )!k2 ! 1 −...−kh ) ! kh ! 1. Une assemblée de 40 personnes se dote d’un bureau de 7 personnes. Celui-ci élit en son sein un secrétariat de trois personnes : le président, le secrétaire et le trésorier. Combien y a-t-il de possibilités à chaque étape? 2. On utilise un jeu de 32 cartes : quel est le nombre de distributions de 4 jeux de 8 cartes? Quel est le nombre de distributions de 4 jeux de 5 cartes ? 3. a. De combien de façons peut-on répartir 27 étudiants en 9 groupes de colles de 3 individus ? b. De combien de façons peut-on répartir 25 étudiants en 9 groupes de colles de 2 ou 3 individus ?  n  p1 p2 pk
4. Démontrer la formule du multinôme : (x1 + x2 + ... + xk )n = p1 ,...,pk x1 x2 ...xk , p1 +p2 +...+pk =n  n   n n−p1  n−p1 −...−pk−1  (n−p1 −...−pk−1 ) (n−p1 )! avec p1 ,...,pk = p1 n2 ... = (n−pn!1 )!p1 ! (n−p ... (n−p = p1 ! p2n!!...pk ! . pk 1 −p2 )!p2 ! 1 −...−pk ) ! pk ! Application numérique : calculer (a + b + c)4 .

p

p

p

(Indication : en développant, on a une expression de degré homogène égal à n en x1 , x2 , ...., xk . Le coefficient du terme x11 x22 ...xkk est égal au nombre de choix de p1 valeurs x1 , ..., pk valeurs xk , dans les n facteurs égaux à (x1 +...+xk ).)

  322416 32272217 32! 32! Rép. 1. 40 7 7*6*5 2. 8 8 8 = (8!)4 ; 5 5 5 5 = (5!)4 12! 2724 6         9 25 23 21 18 6 27! 25! 3. 3 3 *.* 3 = (3!) 9 ; 2 2 2 3 3 *.* 3 = 36* (2!)2 (3!)7

34 Exercice Récurrences  n  n n+1 Outre le cas classique des combinaisons, avec la relation : p−1 + p = p , pour p > 0 et n ≥ 0 (à savoir justifier en termes de dénombrement), on a d’autres situations avec des relations de récurrence et la possibilité de construire des triangles analogues au triangle de Pascal. La technique est la suivante : on regarde les valeurs extrêmes (cas où n, p ∈ {0, 1}2 ) ; puis, si on suppose connus les résultats concernant un ensemble E de k éléments, on dénombre les situations au rang k + 1, en ajoutant à E un (k + 1)i`eme élément et en séparant les objets à dénombrer en fonction du (k + 1)i`eme élément. 1. On note spn le nombre de partitions en p parties d’un ensemble de n éléments. a. Déterminer les valeurs de s1n , de snn , les valeurs de n et p telles que spn = 0. b. On note E un ensemble de k éléments : si α ∈ / E, E ′ = E ∪ {α} possède (k + 1) éléments. p Écrire à l’aide de la notation sn le nombre de partitions de E ′ en (p + 1) parties qui laissent l’élément α tout seul, puis le nombre de partitions en (p + 1) parties qui ne laissent pas l’élément α isolé. p p+1 . En déduire que : sp+1 k+1 = sk + (p + 1)sk c. Combien y a-t-il de façons de partager un ensemble de 8 objets en 4 sous-ensembles (non vides) ? 2. On note Snp le nombre de surjections d’un ensemble de n éléments vers un ensemble à p éléments. Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence

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12

a. Déterminer les valeurs de Sn1 , de Snn , les valeurs de n et p telles que Snp = 0 . b. On note E un ensemble de k éléments : si α ∈ / E, E ′ = E ∪ {α} possède (k + 1) éléments.

i. Écrire, à l’aide de la notation Snp , le nombre de surjections de E ′ sur l’ensemble F = {1, ..., p + 1} telles que l’élément α ait une image différente de toutes les images des éléments de E. ii. Puis écrire le nombre de surjections de E ′ sur l’ensemble F = {1, 2, ..., p + 1} telles que l’élément α ait une image commune avec au moins un autre élément de E.   p+1 p+1 . iii. Démontrer en conclusion que pour tout couple (k, p), on a : Sk+1 = (p + 1) Skp + Sk+1 p p (On peut démontrer aussi que : Sn = p! sn , en faisant un lien entre partitions et surjections. ) c. i. En construisant un triangle analogue au triangle de Pascal, déterminer combien y a-t-il de façons de ranger 7 livres sur 4 étagères, en mettant au moins un livre par étagère. ◦ ii. Avec la formule du crible, en notant Ek l’événement “l’étagère 4 7 n k4est7 vide” et en cherchant le cardinal de l’événement 4 7 7 E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4 , montrer que S7 = 4 − 4 × 3 + 2 2 − 3 1 . 3. Nombre d’applications f involutives de {1, ..., n} vers {1, ..., n}, i.e. telles que f ◦ f = Id ⇔ f −1 = f.

a. On note In le nombre d’applications f involutives de {1, ..., n} vers {1, ..., n} . Calculer I1 , I2 , et I3 . b. i. Déterminer en fonction de Ik , k étant un entier compris entre 1 et n, le nombre d’involutions f de {1, ..., n} telles que f (n) = n. ii. Soit i un entier fixé compris entre 1 et n − 1. Déterminer en fonction de Ik , k ∈ {1, ..., n}, le nombre d’involutions f de {1, ..., n} telles que f (n) = i. iii. En déduire, que pour n ≥ 3, In = In−1 + (n − 1) In−2 . 4. L’ensemble S (n, p) des p-uplés (x1 , x2 , ..., xn ) d’entiers non nuls tels que x1 + x2 + ... + xp = n. On se donne n et p, deux entiers strictement positifs. On note H (n, p) le nombre d’éléments de S (n, p) . a. Écrire de façon ordonnée les éléments de S (6, 3) . b. Que valent H (n, 1) ? H (n, n) ? H (n, 2) ? c. Établir la relation de récurrence : ∀ (n,p) ∈N2 , n ≥ 2, p ≥ 2, H (n, p) = H (n − 1, p − 1) + H (n − 1, p) . En déduire ∀ (n, p) ∈ N∗ , H (n, p) = n−1 p−1 . 5. On note un le nombre de façons de choisir une bouteille pour remplir un tonneau de n litres.

a. On utilise deux bouteilles de 1 litre ou de 2 litres. (Exemple, si n = 4, les suites : 1-1-1-1, 1-1-2, 1-2-1, 2-1-1, ou 2-2 , indiquent l’ordre d’utilisations des bouteilles, donc u4 = 5 ). i. Calculer u1 , u2 , u3 . On pose u0 = 1. ii. Démontrer que pour tout entier n, un+2 = un+1 + un . En déduire les 10 valeurs suivantes de un . b. On utilise des bouteilles de 1, 2 ou 3 litres. : comment redéfinir la suite (un ) ? 6. On note vn le nombre de “mots possibles de n lettres choisies dans un alphabet de 5 lettres”. a. Sachant qu’un mot est une suite de lettres telle que l’on n’ait jamais plus de deux fois de suite la même lettre, calculer v1 , v2 , v3 puis démontrer que pour tout entier n , vn+2 = 4vn + 4vn+1 . b. On suppose qu’en plus la première des 5 lettres ne peut pas être répétée. Calculer v1 , v2 , v3 puis démontrer que pour tout entier n non nul, vn+2 = 3vn−1 + 6vn + 3vn+1 . (Indication : on note α la lettre à ne pas répéter. On distingue les mots qui finissent par la lettre x seule (x = α) , ceux qui finissent par le doublé xx, ceux qui finissent par xα, ceux qui finissent par xxα).

Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence.

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13

Annexe : calculs exercice 23 Remarque péalable : L’événement [Y = 0] , qui  signifie qu’il n’y a jamais deux fois de suite “Pile” a pour probabilité : √ +∞ +∞

 1+√5 k √5+1 +∞
 1−√5 k 5−1 P (Y = k) = 1 − 2√5 + 2√5 1− 4 4 k=1

Or

k=1

√ +∞
 1+√5 k 5−1 √ 4 2 5 k=1

En remplaçant

=

√ 5−1 √ 2 5





k=1

1

√  1− 1+4 5

√ √ 5 par − 5, on trouve

−1



=



√ 5−1 √ 2 5

√ +∞
 1−√5 k 5+1 √ 4 2 5 k=1

4√ 3− 5 √

 −1 =

√ 5−1 √ 2 5



√  1+√5 3− 5

=

√ 4 3+ 5 √ 2 5 4

=

√ 3 5 10

1

+

1 2

= − 3105 + 12 , par suite P (Y = 0) = 1 −

2



+ 12 ,

= 0.

C’est un calcul un peu casse-pied, qu’on peut abréger ainsi : on considère la variable Z qui prend la valeur 2h si on obtient deux fois pile à la suite pour la première fois, le deuxième pile arrivant au rang pair 2h, et 0 si ça n’arrive jamais. Si [Z = 0] , la variable aléatoire Y prend :

• soit la valeur k = 2h si le premier doublé arrive à un rang pair,

• soit une valeur strictement unférieur si le premier doublé se produit à un rang impair.

On en déduit que Y ≤ Z c’est à dire quelque soit l’éventualité ω (suite de lancers),si [Z (ω) = 0] , Y (ω) ≤ Z (ω)   Or 12 Z suit une loi géométrique G 14 , P (Z = 0) = 0 et comme [Y = 0] ⇒ [Z = 0], P (Y = 0) = 0. On démontrerait aussi que E (Y ) ≤ E (Z) = 2 11 = 8 4 Ceci dit, cet évément est [Y = 0] ne jouera aucun rôle dans les calculs d’espérance. On peut calculer E (Y ) à l’aide de P (X = k) √ +∞ +∞

 1+√5 k √5+1 +∞
 1−√5 k √ √ E (Y ) = kP (Y = k) = 25−1 k + k 4 4 5 2 5 k=1 k=1 k=1 √ √ √ √    k−1 √ √ √ k−1 √ k−1 +∞ +∞ +∞  +∞  k−1 5+1)
( 5−1)( ( 5+1)(√− 5+1)
1+ 5 1− 5 1
1+ 5 1
1− 5 √ √ √ = k + k = k − k 4 4 4 4 8 5 8 5 2 5 2 5 k=1

k=1

k=1

k=1

Il n’y a aucun problème de convergence, ce sont des sommes de séries dérivées de séries géométriques convergentes (les raisons sont inférieures à 1 en valeur absolue). +∞


k



√ k−1 1+ 5 1 √ 2 =  1+ 4 5 1−

√ 2 16(3+ 5)  16 √ 2= = 3 (9−5)2 (−3+ 5)

=

+

√ 2 5 ,

1 √ 2 5

+∞


k



√ √ k−1 (3+√ 5)2 1+ 5 = 4 2 5

k=1 k=1 4 √ √ La deuxième somme se calcule en remplaçant 5 par − 5   √ √  √  +∞
 1−√5 k−1 1 − 2√ k = 3 − 7 55 , donc E (Y ) = 3 + 7 55 + 3 − 7 55 = 6 4 5 k=1 √ +∞
 1+√5 k √ k + Autre méthode : on sait que E (Y ) existe car les sommes E (Y ) = 25−1 4 5 k=1

absolument.

=

√ √ 14+6 √ 5 =3 + 7 5 , 5 2 5

√ +∞
 1−√5 k 5+1 √ k 4 2 5 k=1

La relation de récurrence s’écrit pour k ≥ 1 : P (Y = k + 2) = 12 P (Y = k + 1) + 14 P (Y = k) , car P (Y = 1) = 0, P (Y = 2) = 14 , P (Y = 3) =

1 8

donc pour k ≥ 0 : kP (Y = k + 2) = k2 P (Y = k + 1) + k4 P (Y = k) on peut sommer pour k allant de 0 à +∞,:

+∞


kP (Y = k+2) =

k=0

+∞


k=0

(k+2-2) P (Y = k + 2) = E (Y ) − 2

car Y prend des valeurs dans {2, 3, ...} , comme k + 2 . +∞ +∞ +∞ +∞



donc (k + 2) P (Y = k+2) = iP (Y = i) = E (Y ) et (−2) P (Y = k+2) = (−2) P (Y = i) = −2. 1=2

k=0

1=2

k=0

De même, sachant que P (Y = 1) = 0, +∞ +∞

kP (Y = k+1) = (k+1-1) P (Y = k + 1) = E (Y ) − 1,

k=0 +∞
k=0

kP (Y = k) =

k=0 +∞


kP (Y = k) =

k=1

donc E (Y ) vérifie E (Y ) − 2 = Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence

+∞


kP (Y = k) = E (Y )

k=2 1 2

(E (Y ) − 1) + 14 E (Y ) ⇔ 14 E (Y ) = 2 −

1 2

⇔ E (Y ) = 4 ×

3 2

=6

converge