Puissance d`un nombre Prérequis : Ajouter, soustraire, multiplier des

Puissance d’un nombre Prérequis : Ajouter, soustraire, multiplier des nombres relatifs. I – Puissance entière d’un nombre relatif

Définitions : Pour tout nombre entier positif 𝒏 et tout nombre relatif 𝒂 on note : 

si 𝒏 ≠ 𝟎 𝒂𝒏



𝟎

𝒂

𝒂

…

𝒂

𝑛 facteurs si 𝒏

𝟎𝒂

𝟏

Exemples :    Attention aux signes :  

(

Remarque :

)

(

)

(

)

(

)

( ) ( ) ( ) qui est un nombre positif qui est un nombre négatif

n’existe pas

Définition : Pour tout nombre entier positif 𝒏 > 𝟎 et tout nombre relatif 𝒂 on note : 𝒂

𝒏

𝟏 𝒂𝒏

𝟏 𝒂

𝒂

…

𝒂

Remarque : on justifiera cette définition plus tard. Cas particuliers :

et

Exercice : Donne l'écriture décimale des nombres

et

  II – Calcul sur les puissances a) Les règles (à savoir par cœur) Pour tout nombre relatif

et tous nombres entiers relatifs 𝒂𝒏

𝒂𝒑 𝒂𝒏 𝒂𝒑

(𝒂𝒏 )𝒑

𝒂𝒏+𝒑 𝒂𝒏

𝒑

𝒂𝒏𝒑

et , on a les formules suivantes :

Exemples :  

+(

)

 (



)

Méthode pour le brevet : Écris le nombre 

On remplace

par

et

sous la forme d'une puissance de 2.

par (



( ) On applique les règles sur les puissances au numérateur et au dénominateur

+(



)

)

On applique les règles sur les puissances au quotient

Pour tous nombres relatifs et

et tout nombre entier relatif , on a les formules suivantes : 𝒂𝒏

𝒃𝒏 𝒂𝒏 𝒃𝒏

(𝒂𝒃)𝒏 𝒂 𝒏 ( ) 𝒃

Exemples : 

(



(

)

)

Théorème : La puissance est prioritaire sur la multiplication et la division.

Exemples :  

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

b) Exemple de preuve +

On va démontrer les égalités

et

. Les démonstrations des autres règles se feront de la

même manière. …

+

…

𝑛 facteurs

𝑝 facteurs

𝑛 + 𝑝 facteurs On suppose maintenant que

> 𝑛 facteurs … …

…

…

…

𝑝 facteurs

𝑝 facteurs simplifiés

Reste 𝑛

𝑝 facteurs

c) Pourquoi L’équation suivante ne doit avoir qu’une seule solution. Si on en trouve plusieurs, elles seront donc égales. Rappels : fractions peut aussi s’écrire 

Réécrivons ceci avec

. et

.

Donc



La règle sur le produit de puissances affirme aussi que +(

Donc Conclusion :

)

III – Puissance de 10 a) Ecriture décimale Définition : Pour 𝒏 > 𝟎   

𝟏𝟎𝒏 𝟏 𝟎 … 𝟎 𝟏𝟎 𝒏 𝟎 𝟎 … 𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏

b) Ecriture scientifiques Définition : Un nombre est écrit avec son écriture scientifique quand il est écrit sous la forme : ( )𝒂

𝟏𝟎𝒏

où 𝟏 ≤ 𝒂 < 𝟏𝟎 et 𝒏 est un nombre entier relatif. 𝒂 est appelé la mantisse Exemples :  

est une écriture scientifique n’en est pas une

Méthode pour le brevet : Comme écrire un nombre avec son écriture scientifique ?

Donnez l’écriture scientifique de . Remarque : ne fonctionne que quand le numérateur et le dénominateur sont factorisés.  On sépare la fraction



On calcule chaque partie (

)



On formate : on écrit d’abord la mantisse sous sa forme scientifique



Puis on termine