PUISSANCES ET RADICAUX
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Chapitre 2
PUISSANCES ET RADICAUX 2.1
Puissances ` a exposants naturels (rappels)
D´ efinitions 1. Si a est un nombre r´eel et n un nombre naturel diff´erent de 0 et 1 , alors an est le produit de n facteurs ´egaux `a a. Si a ∈ IR et si n ∈ IN0 \ {1} , alors
an = a.a. · · · .a} | {z n facteurs
2. Si a est un nombre r´eel non nul et n un nombre naturel, alors a−n est l’inverse de an . Si a ∈ IR0 et n ∈ IN, alors a−n =
1 . an
Remarques • ∀ a ∈ IR : a1 = a
• ∀ n ∈ IN0 : 0n = 0
• ∀ a ∈ IR0 : a0 = 1
• ∀ n ∈ IN : 1n = 1 ½
• ∀ a ∈ IR0 , ∀ n ∈ IN : an
a le signe de a si n est impair, est strictement positif si n est pair.
• Et 00 ? D’un cˆot´e, n’importe quel nombre positif exposant 0 donne 1, donc par extension, on serait tent´e de poser que 00 = 1 Mais d’un autre cˆot´e, 0 `a n’importe quelle puissance positive, c’est 0, donc par extension, il faudrait poser que 00 = 0 A cause de ces deux comportements contradictoires, 00 demeure ind´etermin´e!
Propri´ et´ es ∀ a ∈ IR, ∀ m, n ∈ IN : ∀ a, b ∈ IR, ∀ m ∈ IN : ∀ a ∈ IR, ∀ m, n ∈ IN : ∀ a ∈ IR, ∀ b ∈ IR0 , ∀ m ∈ IN :
an .am = an+m (a.b)m = am .bm (an )m = an.m m ( ab )m = abm 16
Exemple Exemple Exemple Exemple
: : : :
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
17
Exercices Applique les propri´et´es des puissances pour r´eduire les expressions suivantes. 1. a3 .a2 =
27. (−b5 )2 =
2. (a4 )2 =
28. −(b5 )2 =
3. (a.b)5 =
29. (−b2 )5 =
4. (2a)3 =
30. −(b2 )5 =
5. a.a2 =
31. (−2a3 )2 .(−3a2 )3 =
6. (x3 )2 =
32. (−2a2 b)3 .(5a6 b)2 =
7. 5x.2x =
33. 6xy 2 .(3x2 y)2 =
8. 4a2 .(−a5 ) = 9. (5ac)2 = 10. (−b5 )3 = 11. (a3 b2 )5 = 12. −2a5 .2a = 13. (−3a)2 14. 5a3 .(2a4 ) = 15. (−2b)3 = 16. (−b4 )3 =
34. (x4 )2 .(−x5 )2 = 35. (−x3 )2 .(−x)3 .(−x) = 36. ( ab )2 = 3 37. ( 2a b ) = 3 38. (− 5a c ) = 2 39. ( 2a 3b ) = 3 40. ( −4x 5y ) = 2 41. (− 4a 3 ) = 5
17. 3x3 y.2xy 2 =
42. ( a3 )2 =
18. (3a2 b)4 =
43. ( xy3 )3 =
19. (−a3 )2 = 20. (−2a2 b)5 = 21. (a2 )3 .(b2 )4 = 3 3
2 2
22. (x ) .(y ) =
2
3
2 44. ( 2x 3y ) = 4
3 45. ( −3a b3 ) =
46.
(5a)2 3
=
23. (a5 )2 .(−b2 )3 =
2 47. ( 5a 3 ) =
24. (3a)2 .(2a3 )3 =
48.
25. −7x4 .(−3x3 )2 =
2 49. (− 5a 3 ) =
26. (b5 )2 =
2 50. −( 5a 3 ) =
(−5a)2 3
=
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
2.2
18
Puissances ` a exposants entiers
Propri´ et´ e 2.1 (Produit de puissances de mˆ eme base) Pour multiplier des puissances de mˆeme base, on conserve la base et on additionne les exposants. ∀ a ∈ IR0 , ∀ m, n ∈ ZZ : am .an = am+n . Exemples : • a2 .a3 =
• a2 .a−5 =
• a−2 .a−3 =
´monstration. Cette propri´et´e est d´ej`a connue pour des exposants naturels. D´emontrons celleDe ci lorsque les deux exposants sont n´egatifs. Pour montrer que m et n sont n´egatifs, nous ´ecrirons que m = −p et n = −q avec p et q positifs. am .an
= a−p .a−q
Convention d’´ecriture
=
1 1 ap . aq
D´efinition d’une puissance `a exposant n´egatif
=
1 ap .aq
Produit de deux fractions
=
1 ap+q
Propri´et´e des puissances `a exposants naturels
= a−(p+q)
D´efinition d’une puissance `a exposant n´egatif
= a(−p)+(−q)
Suppression des parenth`eses
= am+n
Convention d’´ecriture
Propri´ et´ e 2.2 (Puissance d’une puissance) Pour ´elever une puissance ` a une autre puissance, on conserve la base et on multiplie les exposants. ∀ a ∈ IR0 , ∀ m, n ∈ ZZ : (am )n = am.n . Exemples : • (a2 )3 =
• (a2 )−5 =
• (a−2 )−3 =
´monstration. Cette propri´et´e est d´ej`a connue pour des exposants naturels. D´emontrons celleDe ci lorsque les deux exposants sont n´egatifs. Pour montrer que m et n sont n´egatifs, nous ´ecrirons que m = −p et n = −q avec p et q positifs. (am )n
= (a−p )−q = = =
Convention d’´ecriture
1 (a−p )q
D´efinition d’une puissance `a exposant n´egatif
1
D´efinition d’une puissance `a exposant n´egatif
q
( a1p ) 1
1 ap.q
Propri´et´e des puissances `a exposants naturels
= ap.q
Quotient d’un nombre par une fraction
= a(−m).(−n)
Convention d’´ecriture
= am.n
R`egle des signes d’un produit de facteurs
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
19
Propri´ et´ e 2.3 (Puissance d’un produit) Pour ´elever un produit de facteurs ` a une puissance, on ´el`eve chaque facteur ` a cette puissance. ∀ a ∈ IR0 , ∀ m ∈ ZZ : (a.b)m = am .bm Exemples : • (a.b)3 =
• (a.b)−2 =
´monstration. Cette propri´et´e est d´ej`a connue pour des exposants naturels. D´emontrons celleDe ci lorsque l’exposant est n´egatif. Pour montrer que m est n´egatif, nous ´ecrirons que m = −p avec p positif. (a.b)m
= (a.b)−p
Convention d’´ecriture
=
1 (a.b)p
D´efinition d’une puissance `a exposant n´egatif
=
1 ap .bp
Propri´et´e des puissances `a exposants naturels
=
1 1 ap . bp
Produit de deux fractions
= a−p .b−p
D´efinition d’une puissance `a exposant n´egatif
= am.n
Convention d’´ecriture
Remarque Nous savions d´ej`a que si a ∈ IR0 et n ∈ IN, alors a−n = Nous remarquons ´egalement que an = a−(−n) =
1 an
.
1 a−n
Ce qui nous permet d’introduire sans difficult´e la d´efinition suivante. D´ efinition 2.4 (G´ en´ eralisation de l’inverse d’une puissance) ∀ a ∈ IR0 , ∀ n ∈ ZZ : a−n
−n a = a1n 1 = n ⇐⇒ ∀ a ∈ IR0 , ∀ n ∈ IN : n a 1 a = a−n
Exemples : • a2 =
1 a−2
• a−3 =
1 a3
Propri´ et´ e 2.5 (Puissance d’un quotient) Pour ´elever un quotient ` a une puissance, on ´el`eve num´erateur et d´enominateur ` a cette puissance. µ ¶m a am ∀ a, b ∈ IR0 , ∀ m ∈ ZZ : = m b b Exemples : • ( ab )3 =
• ( ab )−2 =
´monstration. Cette propri´et´e est d´ej`a connue pour des exposants naturels. D´emontrons celleDe ci lorsque l’exposant est n´egatif.
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
20
Pour montrer que m est n´egatif, nous ´ecrirons que m = −p avec p positif. ( ab )m
= ( ab )−p
Convention d’´ecriture
= ( ab )p
D´efinition d’une puissance `a exposant n´egatif
=
bp ap
Propri´et´e des puissances `a exposants naturels
=
a−p b−p
D´efinition g´en´erale de l’inverse d’une puissance
=
am bm
Convention d’´ecriture
Remarque Cette propri´et´e aurait pu ˆetre d´emontr´ee `a l’aide de la propri´et´e concernant la puissance d’un produit. En effet, ab = a.b−1 . Ce qui nous rappelle qu’un quotient n’est qu’une multiplication particuli`ere, le d´enominateur doit juste ˆetre non nul. Propri´ et´ e 2.6 (Quotient de puissances de mˆ eme base) ∀ a ∈ IR0 , ∀ m, n ∈ ZZ :
am = am−n . an
Exemples : • •
a2 a5 5
a a2
=
•
=
•
a4 a−3 −4
a a−3
=
•
a−4 a3
=
´monstration. ∀ a ∈ IR0 , ∀ m, n ∈ ZZ : De am an
= am . a1n
Quotient de deux nombres
= am .a−n
D´efinition de l’inverse d’une puissance
= am−n
propri´et´e 2.1 page 18
Exercices 2.7 1. Ecrire plus simplement : • a2 .a.b−3 .b.(−2).a5 = · · · • (a3 )2 = · · · • (7a2 )0 = · · · ³ • ³ •
2ax 5by
x3 x2
´2 ³ ´3 . −5by = ··· ax
´2
= ···
=
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
21
2. Ecrire sous forme d’une puissance : •
105 103
= ···
• −8a6 = · · · • 27a6 b3 = · · · • 0, 25 = · · · •
1 100
= ···
3. Si a et b d´esignent des r´eels non nuls, exprimer sous forme d’un produit de puissances de a et b les expressions suivantes : •
a2 b5 a3 b7
•
a−2 b3 a−3 b−2
•
a−1 b5 a3 b7
•
a4 b−2 a−3 a−1 b2
•
(ab)−2 a3 (ab)−3 b2
= ··· = ···
= ··· = ··· = ···
4. Transforme les nombres suivants en un produit d’un nombre entier le plus petit possible par une puissance de 10. (a) 0, 05 =
(i) 0, 000007235 =
(b) 3, 124 =
(j) 0, 000009 =
(c) 0, 01 =
(k) 0, 00042 =
(d) 400 =
(l) 7235000000 =
(e) 560000 =
(m) 0, 28 =
(f) 7, 235 = (g) 0, 0007 =
(n) 12000000 =
(h) 0, 62 =
(o) 0, 000001 =
5. Compl`ete la s´erie suivante dans les deux sens et remplace chaque nombre par une puissance de mˆeme base. ···
,
···
,
···
,
···
,
···
, 100 , 10 , 1 ,
1 ,··· 10
,
···
,
···
,
···
,
Fais de mˆeme avec la s´erie suivante. ···
,
···
,
···
,
···
,
···
, 32 , 16 , 8 , 4 , · · ·
,
···
,
···
,
···
,
···
···
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
22
6. (a) La vitesse de la lumi`ere dans le vide est de 299 792, 458 km/sec. La distance de la terre au soleil est d’environ 15 . 107 km. Evalue mentalement le temps mis par la lumi`ere du soleil pour nous parvenir. V´erifie ton r´esultat `a la calculatrice. (b) L’ann´ee-lumi`ere est la distance parcourue par la lumi`ere en une ann´ee. V´erifie qu’un ordre de grandeur d’une ann´ee-lumi`ere est 1013 km. (c) Pour chaque calcul, choisis la valeur la plus proche du r´esultat parmi celles propos´ees. 3 972 356 . 198 531 20 704 . 315 704 70 245 . 2 957 856 2 125 376 . 0, 039 57 0, 000 375 . 0.000 007 86
2.3 2.3.1
4 . 1011 6 . 109 2 . 109 8 . 104 3 . 10−10
8 . 1011 6 . 1010 2 . 1010 8 . 103 3 . 10−9
3 . 1011 6 . 108 2 . 1011 6 . 104 2 . 10−9
Puissances de 10 Puissances enti` eres de 10
Exemples • 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 L’exposant indique le nombre de z´eros `a droite de 1 . 1 = 0, 001 • 10−3 = 1013 = 1000 L’exposant indique le nombre de rangs `a droite de la virgule.
2.3.2
Nombre d´ ecimal - somme de produits de puissances de 10
Exemples •
4856 =
4000 + 800 + 50 + 6
= 4 × 1000 + 8 × 100 + 5 × 10 + 6 × 1 = 4 . 103 + 8 . 102 + 5 . 101 + 6 . 100 •
7, 352 =
7 + 0, 3 + 0, 05 + 0, 002
= 7×1+3×
1 10
+5×
1 100
+2×
1 1000
= 7 . 100 + 3 . 10−1 + 5 . 10−2 + 2 . 10−3 Exercices 2.8 Calcule apr`es avoir remplac´e chaque nombre par un produit d’un nombre entier par une puissance de 10 et v´erifie ton r´esultat `a la calculatrice. 1. 4 000 000 . 12 000
7. (0, 0002)3
2. 0, 07 . 0, 002
8. (−0, 03)4
3. 0, 005 . 0, 000 009
9. (−0, 5)3
4. 6000 . 0, 000 02
10. (3 . 0, 007)2
5. 80 000 . 0, 0003
11. 24 000 . 0, 04
6. (0, 005)2
12. 0, 005.0, 4
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX 13. (0, 07)2
23 15. (−0, 002)3
14. −0, 002 . 0, 75
2.3.3
Notation scientifique
Exercice 2.9 Effectuer en utilisant la calculatrice. (1) 0, 000 000 000 008 + 0, 000 000 000 009
(3) 7 000 000 × 8 000 000
(2) 7 000 000 000 + 8 000 000 000
(4) 0, 000 005 × 0, 000 007
Notation 2.10 Tout nombre d´ecimal strictement positif peut s’´ecrire sous la forme ½ 1 ≤ a < 10 a .10p avec p ∈ ZZ Remarque Le nombre a s’´ecrit avec un seul chiffre `a gauche de la virgule et ce chiffre est diff´erent de 0 . Exemples • 15 000 = 1, 5 . 104 Il y a 4 rangs `a la droite du chiffre de rang le plus ´elev´e dans 15 000 . • 0, 000 078 2 = 7, 82 . 10−5 Le premier chiffre significatif est au 5`eme rang `a droite de la virgule. • 32, 4 = 3, 24 . 101 Il y a 1 rang `a la droite du chiffre de rang le plus ´elev´e. Exercices 2.11 1. Ecrire sous forme d´ecimale. (a) 7 . 103
(d) 0, 73 . 10−2
(b) 5 . 10−4
(e) 97, 5 . 105
(c) 6, 23 . 104
(f) 256, 6 . 10−3
2. Ecrire en notation scientifique et v´erifier avec la calculatrice. (a) 64, 3
(g) 6, 12 . 10−3
(b) 17 360
(h) 136 . 10−3
(c) 0, 148
(i) (14 . 102 ) . (7 . 10−3 )
(d) 0, 000 13
(j) 0, 02 . 4, 83 6
(e) 0, 035 . 10
(k) (72 . 106 ) : (4 . 105 )
(f) 48, 3 . 105
(l) (0, 63 . 103 ) : (0, 3 . 10−2 )
3. Effectuer et v´erifier avec la calculatrice. (a) 4, 33 . 10−3 × 7, 21 . 10−5 (b) 5, 24 . 10−2 × 3, 6 . 10−3 (c) 8, 4 . 105 × 2, 4 . 103
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
2.3.4
24
Les pr´ efixes d’unit´ es du Syst` eme International (SI)
Le syst`eme international utilise des pr´efixes qui s’appliquent ´egalement `a toutes les unit´es pour les multiplier.
10N 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 100
Pr´efixe yotta zetta exa p´eta t´era giga m´ega kilo hecto d´eca unit´e
Symbole Y Z E P T G M k h da -
10N 100 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24
Nombre Quadrillion Trilliard Trillion Billiard Billion Milliard Million Mille Cent Dix Un, une
Pr´efixe unit´e d´eci centi milli micro nano pico femto atto zepto yocto
Symbole d c m µ n p f a z y
Nombre Un, une Dixi`eme Centi`eme Milli`eme Millioni`eme Milliardi`eme Billioni`eme Billiardi`eme Trillioni`eme Trilliardi`eme Quadrillioni`eme
Exemple 3 Mw = 3 . 106 w = 3 . 1 000 000 w = 3 000 000 w
2.4
Les racines carr´ ees
Exercice 2.12 R´esoudre les ´equations suivantes : 1. x2 = 9
3. x2 = −4
2. x2 = 0
4. x2 = a avec a ∈ IR
D´ efinition 2.13 Pour tout r´eel positif a,
√
a est le nombre r´eel positif dont le carr´e est a .
Vocabulaire √
a se lit “racine (carr´ee positive) de a” et n’a de sens que si a ≥ 0.
Cons´ equence Les deux nombres r´eels dont le carr´e est a (donc a est positif) sont Ce sont les racines carr´ees alg´ebriques de a. Remarque Pour d´emontrer que
√
½ a = x , il faut d´emontrer que
Exercice 2.14 Calculer les expressions suivantes
x≥0 x2 = a
√
√ a et − a.
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX 1.
√
52 =
25
p
(−5)2 =
2.
Propri´ et´ e 2.15 ∀ a ∈ IR :
3. a ∈ IR, √
√
a2 =
a2 = |a|
ATTENTION Il ne faut pas confondre les expressions suivantes. Quelle est la racine carr´ee de 9 ?
Quels sont les nombres dont le carr´e est 9 ? On doit r´esoudre l’´equation ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ Il y a
C’est le nombre r´eel positif dont le carr´e est 9.
x2 = 9 2 x −9=0 (x − 3) . (x + 3) = 0 x = 3 ou x = −3 deux nombres dont le carr´e est 9 .
√
9=3
Le nombre 9 a une seule racine carr´ee.
Exercices 1. A l’aide de la calculatrice, d´eterminer au 0, 001 pr`es par d´efaut les racines carr´ees suivantes : (a) 3
(c) 47, 56
(e) 56, 4589
(b) 6, 84
(d) 154, 62
(f) 246, 456
2. D´eterminer les racines carr´ees suivantes. Donner le r´esultat en notation scientifique et ensuite en notation d´ecimale avec trois chiffres significatifs. (a) 3 . 103
(c) 5, 3 . 10−1
(e) 17, 2 . 10−3
(b) 0, 5 . 104
(d) 0, 87 . 105
(f) 0, 033 . 10−3
Donner les racines carr´ees alg´ebriques des nombres suivants : (a) 9 (b)
25 16
(c) 144
(e) 2, 25
(d) 0, 09
(f)
5 20
R` egles de calcul 1. Racine carr´ee d’un produit Si
a, b ∈ IR+ ,
alors
√
a.b =
√
a.
√
b.
Exemples :
2. Racine carr´ee d’un quotient r Si Exemples :
+
a ∈ IR
et
b∈
IR+ 0,
alors
√ a a = √ . b b
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
26
Quelques remarques tr` es importantes 1. La racine carr´ee d’une expression est toujours positive ou nulle! 2. Tout ce qui se trouve en dessous du signe
√
doit ˆetre imp´erativement positif ou nul!
3. Attention!
√
a + b 6=
√
a+
√
b et
√
a − b 6=
√
a−
√
b.
Exercices 1. Simplifier les radicaux suivants : √ 1) √8 2) √27 3) √50 4) √75 5) 12
√ √128 √180 √242 √245 162
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
√ √1452 √1323 √2744 √15972 100000
2. Simplifier les radicaux suivants si a, b, c ∈ IR+ : √ (a) 180a18 b13 c26 = · · · (b)
√
162a11 b17 c37 = · · ·
3. Pr´eciser sous quelle(s) condition(s) les radicaux suivants existent : √ (c) x + 1 ; p (d) (x − 3) ;
√ (a) x ; p (b) ( − x) ;
(e)
p
(x − 1)2 ;
4. Rendre les d´enominateurs rationnels: (a)
(b)
√ √ a− b √ √ a+ b
5. Simplifier
√ √ a+b+ a−b √ √ a+b+ a−b
√ √ √ √ a+ b a− b √ +√ √ √ a− b a+ b
6. Elever au carr´e : (a)
√
a+
√
b
(b)
√
a−
√
b
(c) a +
7. Prouver que
√ ∀ a, b ∈
IR+ 0
:
√
b
√ 1 1 a+ b √ =√ +√ a ab b
8. Ecrire sans radicaux les expressions suivantes p p (a) x + (x − 1)2 + (x + 1)2 p (b) (x − 1)2 (2x + 3)2
(c) (d)
p q
(x − 2)2 (x + 1)2 (2x−3)2 x2
(d) a +
√
a
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