Punkter och vektorer

c Mikael Forsberg 28 januari 2013

1

Begrepp :: Punkt ↔ Vektor

Punkter och vektorer En vektor best¨ ams av dess l¨ angd och dess riktning. Tv˚ a vektorer ¨ar lika om de har samma l¨angd och samma riktning. Vektorer kan parallellf¨orflyttas genom att placera vektorns fotpunkt i olika punkter i rummet.

Punkter i planet eller rummet Talplanet eller v˚ art tredimensionella rum brukar betraktas som ett rum av punkter, d¨ar vi har valt en punkt som referenspunkt, kallad origo och d¨ar vi inf¨ort koordinataxlar x, y och z.

(0,0,c) (a,b)

b

(a,0,c)

(0,b,c) (a,b,c) (0,b,0

(a,0,0)

fotpunkt

(a,b,0)

a

i.)

ii.)

iii.)

Figur 1: Vektor, relation mellan punkter och vektorer. ar m¨ angden av alla talpar (a, b), d¨ar a och b ¨ar rella tal. Alla s˚ adana talpar Det rella planet R2 ¨ definierar en unik vektor som har fotpunkt i origo. En s˚ adan vektor kallar vi f¨or en ortsvektor. Omv¨ ant s˚ a ger varje vektor ett unikt talpar om vi flyttar vektorn s˚ a att den blir en ortsvektor, dvs om vi s¨ atter dess fotpunkt i origo. N¨ar vi i forts¨attningen talar om vektorer kommer vi att utnyttja denna identifikation och skriver d¨arf¨or u = (a, b). Detta ¨ar v¨aldigt anv¨andbart eftersom detta m¨ ojlig¨ or en formell definition av addition av vektorer. Addition av vektorer :: L˚ at u = (a, b) och v = (c, d) s˚ a blir u+v = (a, b)+(c, d) = (a+c, b+d) Om vi adderar en vektor med sig sj¨alv s˚ a f˚ ar vi u + u = (a, b) + (a, b) = (2a, 2b). Det ¨ar vettigt att kalla summavektorn till v¨ anster f¨ or 2u vilket ger oss regeln 2u = 2(a, b) = (2a, 2b). Multiplikation med 2 tolkar vi geometriskt som att vi f¨ordubblar vektorns l¨angd. Om vi multiplicerar med n˚ agot annat tal s˚ a f¨ or¨ andras vektorns l¨ angd med motsvarande faktor. Det h¨ar ger oss en ny r¨akneregel som vi kan kalla f¨ or multiplikation med ett tal, eller multiplikation med skal¨ar.1 Multiplikation med skal¨ ar :: L˚ at u = (a, b) och t ett reellt tal s˚ a blir tu = t(a, b) = (ta, tb). Exempel :: L˚ at a = (1, 2, −5) och b = (−3, 2, 1), s = −2 och t = 3. D˚ a blir sa + tb: sa + tb = (−2)(1, 2, −5) + 3(−3, 2, 1) = (−2, −4, 10) + (−9 + 6 + 3) = (−11, 2, 13).

1 skal¨ ar

ar ett ¨ aldre ord f¨ or tal, som anv¨ ands ibland. J¨ amf¨ or skal¨ ar storhet. ¨

c Mikael Forsberg 28 januari 2013

2

Genom att utnyttja ovanst˚ aende definitioner samt v˚ ara vanliga r¨akneregler f¨or reella tal s˚ a kan man h¨ arleda/bevisa f¨ oljande r¨ akneregler f¨or vektorer. 2 Samlade R¨ akneregler :: Vi samlar alla r¨akneregler som g¨aller f¨or vektoraddition och multiplikation med skal¨ ar: u+v u + (v + w) u+0

=

v+u

additionen a¨r kommutativ = (u + v) + w additionen ¨ar associativ

(1)

= u

(3) (5)

u + (−u)

= 0

nollvektorn a¨r additiv identitet − u pekar ˚ at motsatt h˚ all mot + u

1u

= u

identiteten f¨or multiplikation med skal¨ar

s(tu)

=

(st)u

(2) (4) (6)

(s + t)u

= su + tu

(7)

s(u + v)

= su + sv)

(8)

2 Dessa r¨ akneregler brukar ibland kallas f¨ or vektorrumsaxiom. V˚ ara reella rum av taltuppler Rn st˚ ar d¨ arf¨ or modell f¨ or dessa allm¨ anna vektorrum