Relations métriques et trigonométriques dans un triangle 35

Leçon n°

35

Relations métriques et trigonométriques dans un triangle

Niveau Prérequis Références

9

Lycée géométrie du triangle [116], [117], [118]

35.1 Relations métriques dans un triangle 35.1.1 Théorème de Pythagore Théorème 35.1 — Théorème de Pythagore.

BC 2

=

AB 2

+

AC 2 .

ABC est un triangle rectangle en A si et seulement si

Dv

• Démonstration du théorème de Pythagore — Dans le plan muni d’un repère orthonormé, les vecteurs portés par les côtés du triangle ABC vérifient la relation de Chasles : # » # » # » BC = AB + AC. Ainsi : # » # » # » # » # » # » # » # » BC 2 = BC · BC = (AB + AC) · (AB + AC) = AB 2 + AC 2 + 2AB · AC donc la relation du théorème est équivalente à l’annulation du dernier produit scalaire, ce qui correspond précisément au cas où les vecteurs sont orthogonaux, autrement dit lorsque les côtés [AB] et [AC] forment un angle droit. •  Exemple 35.2 — Escargot. On part d’un triangle isocèle rectangle dont les côtés autres que l’hy√ poténuse mesurent 1 unité. L’hypoténuse mesure alors 2 unités. On place un triangle rectangle sur cette hypoténuse,√son côté adjacent à l’angle droit mesurant 1 unité. Alors l’hypoténuse de ce nouveau triangle mesure 3 unités, et ainsi de suite. . . 

H G C A

D B

F IGURE 35.1 – Escargot

10

Leçon n°35 • Relations métriques et trigonométriques dans un triangle

35.1.2 Formule d’Al-Kashi Théorème 35.3 — Formule d’Al-Kashi.

Dans un triangle ABC,

\ BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB × AC × cos BAC. Dv

• Démonstration du théorème 35.3 — Si on note a = BC, b = AC et c = AB, on a : # » # » # » # »# » # » # » a2 = BC 2 = BC 2 = (BA+AC)2 = BA2 +AC 2 +2(BA·AC) = c2 +b2 +2bc cos(BA, AC) # » # » # » # » # » # » b Or cos(BA, AC) = cos[π + (AB, AC)] = − cos(AB, AC) = − cos A.

•

35.1.3 Formule des 3 sinus Soit ABC un triangle (on note a = BC, b = AC, c = BA), S l’aire de se triangle et R le rayon du cercle circonscrit au triangle : Théorème 35.4 — Formule des 3 sinus.

a sin Ab

=

b b sin B

=

c sin Cb

=

abc = 2R. 2S

Dv

• Démonstration du théorème 35.4 — On note H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. b est obtus, AH = AB sin(π − B) b = AB sin B b = c sin B. b — Dans le cas où B b b b — Dans le cas où B est aigu, AH = AB sin B = c sin B. b et S = 1 BC · AH = 1 ac sin B. b D’où Donc, dans tous les cas, AH = c sin B 2 2 S=

1 b = 1 ab sin C b = 1 bc sin A. b ac sin B 2 2 2

•

35.2 Relations trigonométriques dans un triangle Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le sinus, le cosinus et la tangente \ de la manière suivante : de l’angle aigu ABC Définition 35.5

\ côté opposé à ABC AC = hypoténuse BC \ \ = côté adjacent à ABC = AB cos ABC hypoténuse BC \ \ = côté opposé à ABC = AC . tan ABC AB \ côté adjacent à ABC \= sin ABC

11

35.2 Relations trigonométriques dans un triangle

C hypoténuse côté opposé

A

B côté adjacent

F IGURE 35.2 – Côté opposé, côté adjacent à un angle, hypoténuse R

35.6

\: On a aussi avec l’angle ACB \= cos ACB

AC \ = AB , tan ACB \ = AB . , sin ACB BC BC AC

Propriété 35.7 Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont strictement plus grands que 0 et strictement plus petits que 1 et ils n’ont pas d’unité.

35.2.1 Formules de trigonométrie Propriété 35.8

Pour toutes valeurs de x, on a : cos2 x + sin2 x = 1

Proposition 35.9 — Formules d’addition.

et

tan x =

sin x . cos x

1. cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b,

2. cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,

3. sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b, 4. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.

Dv

• Justification d’une formule de trigonométrie — Méthode utilisant le produit scalaire On va étudier la quantité cos(a − b) où a et b sont deux nombres réels. Dans un repère orthonormé (O, #» ı , #»  ), considérons deux vecteurs #» u #» et v unitaires tels que : ı , #» u) = a ( #»

et

( #» ı , #» v ) = b.

12

Leçon n°35 • Relations métriques et trigonométriques dans un triangle → − → − u

→ − v b−a b Oa

→ −ı

Une première expression du produit scalaire donne : #» u · #» v = cos( #» u , #» v ). D’après la relation de Chasles : ( #» u , #» v ) = ( #» u , #» ı ) + ( #» ı , #» v) = b−a donc #» u · #» v = cos(b − a) = cos(a − b) car la fonction cosinus est paire. D’autre part, d’après la définition du cosinus et du sinus, on a :     cos a cos b #» u = et #» v = sin a sin b D’après l’expression du produit scalaire avec les coordonnées (xx0 + yy 0 ), on obtient alors : #» u · #» v = cos a cos b + sin a sin b. Ce qui nous donne une formule trigonométrique :

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b. Méthode n’utilisant pas le produit scalaire On étudie cette fois-ci cos(a + b) où a et b sont deux nombres réels. On considère le cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère #» # » orthonormé (O, #» ı , #»  ). Sur ce cercle, on place un point A tel que (OI, OA) = a, le point # » # » # » # » M tel que (OA, OM ) = b et le point A0 tel que (OA, OA0 ) = π2 . A0 J M

A O

b

a

I

13

35.2 Relations trigonométriques dans un triangle D’après la relation de Chasles pour les angles, on a : #» # » #» # » # » # » (OI, OM ) = (OI, OA) + (OA, OM ) = a + b (mod 2π) Donc :

# » #» # » OM = cos(a + b)OI + sin(a + b)OJ.

Mais en se plaçant dans le repère orthonormé (O, A, A0 ), on a : # » # » # » OM = cos(b)OA + sin(b)OA0 # » # » et en exprimant les coordonnées des vecteurs OA et OA0 dans le repère (O, #» ı , #»  ), on a : # » #» # » OA = cos(a)OI + sin(a)OJ et

π #» π # » # » #» # » OA0 = cos + a OI + sin + a OJ = − sin(a)OI + cos(a)OJ. 2 2 Finalement : # » #» # » #» # » OM = cos(b) cos(a)OI + cos(b) sin(a)OJ − sin(b) sin(a)OI + sin(b) cos(a)OJ #» # » = [cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)]OI + [sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)]OJ et par unicité des coordonnées d’un vecteur dans un repère, il vient les deux relations : cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) • Proposition 35.10 — Formules de duplication.

2. sin(2a) = 2 sin a cos a.

1. cos(2a) = cos2 a − sin2 a,

Dv

• Démonstration de la proposition 35.10 — cos(2a) = cos(a + a) = cos a cos a − sin a sin a = cos2 a − sin2 a sin(2a) = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a

• Proposition 35.11 — Formule de linéarisation.

2. sin2 a =

Dv

1−cos(2a) . 2

1. cos2 a =

1+cos(2a) , 2

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Leçon n°35 • Relations métriques et trigonométriques dans un triangle • Démonstration de la proposition 35.11 — On rappelle que sin2 x + cos2 x = 1 quelque soit le réel x. Donc : cos(2a) = cos2 a − (1 − cos2 a) = 2 cos2 a − 1, d’où cos2 a =

1+cos(2a) . 2

De même,

cos(2a) = (1 − sin2 a) − sin2 a = 1 − 2 sin2 a, d’où sin2 a =

1−cos(2a) . 2

•

π π On va calculer les valeurs exactes de cos π8 , sin π8 , cos 12 , sin 12 . En utilisant les formules de linéarisation : 

Exemple 35.12

1 + cos π4 1+ π cos2 = = 8 2 2 et comme cos

π 8

> 0, il vient cos

π 8

=

√

1 − cos π4 1− π = = sin 8 2 2 et comme sin

> 0, il vient sin

π 8

=

√

√ 2+ 2 = 4

√

√ 2− 2 = 2

2 2

√ 2+ 2 2

2

π 8

√

√ 2− 2 . 2

2 2

D’où :

π tan = 8

s

√ 2− 2 √ . 2+ 2

Or : √ √ √ √ √ √ 2− 2 (2 − 2)2 6−4 2 √ = √ √ = = 3 − 2 2 = 1 − 2 2 + 2 = (1 − 2)2 . 4−2 2+ 2 (2 − 2)(2 + 2) D’où : tan

√ √ π = 1 − 2 = 2 − 1. 8

En utilisant les formules d’addition :

√ √ √ √ √   π π π π π π 1 2 3 2 6+ 2 π cos = cos − = cos cos + sin sin = × + × = 12 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 2 √ √ √ √ √   π π π π π π π 3 2 1 2 6− 2 sin = sin − = sin cos − cos sin = × − × = . 12 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 2 D’où

√ √ √ √ √ √ π 6− 2 ( 6 − 2)2 8 − 2 12 √ = √ √ √ √ = tan =√ = 2 − 3. 12 6−2 6+ 2 ( 6 + 2)( 6 − 2) 

15

35.3 Applications

35.3 Applications Exemple 35.13 On considère trois carrés disposés comme dans la figure 35.3. Montrer que α = β + γ. On a bien sûr α = π4 . On montre donc que β + γ = π4 . D’après une formule d’addition : 

cos(β + γ) = cos β cos γ − sin β sin γ. Or, si l’on note a la longueur des côtés des carrés, on a (d’après le théorème de Pythagore et les relations du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle) : 2a 2 3a 3 cos β = √ = √ , cos γ = √ =√ 5a 5 10a 10 1 a 1 a =√ . sin β = √ = √ , sin γ = √ 5a 5 10a 10 Donc :

√ 3 1 1 5 5 1 2 2 cos(β + γ) = √ × √ − √ × √ = √ √ = √ √ √ = √ = . 2 5 10 5 10 5 10 5 5 2 2

Et comme 0 < β + γ < π, on a bien β + γ = π4 .

γ

β



α

F IGURE 35.3 – Figure de l’exemple  Exemple 35.14 Soit ABC un triangle avec a = 2, b = 3 et c = 4. Calculer la valeur exacte de l’aire S de ABC. D’après la formule d’Al-Kashi :

Donc :

b a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.

cos Ab =

b2 + c2 − a2 . 2bc

On remplace par les valeurs numériques :

Or cos2 Ab + sin2 Ab = 1, donc :

cos Ab =

9 + 16 − 4 7 = . 24 8

sin2 Ab = 1 −

49 15 = . 64 64

Or ABC étant un triangle, l’angle Ab est compris entre 0 et π rad donc son sinus est positif. D’où : √ 15 b sin A = . 8

16

Leçon n°35 • Relations métriques et trigonométriques dans un triangle

Enfin, d’après la formule de l’aire du triangle, on obtient : √ 1 3 15 S = bc sin Ab = . 2 4 

Exemple 35.15



Soit ABC un triangle avec b = 3, c = 8 et Ab = 60°. Calculer la valeur exacte de a

b et C b (en degrés à 10−1 près). ainsi que B

D’après la formule d’Al-Kashi :

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A = 9 + 64 − 48 ×

1 = 49. 2

b à l’aide de la formule d’Al-Kashi : D’où a = 7. On peut déterminer cos B b= cos B

a2 + c2 − b2 13 = . 2ac 14

b = arccos 13 ' 21, 8°. On On a cos B > 0 et ABC triangle donc B ∈ ]0 , 90[. On calcule donc B 14 b +C b = 180°. Ainsi : peut calculer Cb avec la relation Ab + B

Cb = 180 − 21, 8 − 60 = 98, 2°.



Exemple 35.16 — Aire maximale d’un rectangle inscrit dans un cercle. Soit C un cercle de rayon 1 cm. Quelle est l’aire maximale d’un rectangle dont les sommets sont sur le cercle C. On note O le centre du cercle et soit I et K deux points diamétralement opposés. Soit M un point #» # » mobile sur le cercle et on note x une mesure en radian de l’angle (OI, OM ). Enfin, on note M 0 le point diamétralement opposé à M . D’après la formule de l’aire d’un triangle exprimée avec un sinus : 

1 A(M OI) = OM × OI sin x. 2 Comme le rayon du cercle est égal à 1 : A(M OI) =

1 sin x. 2

Enfin, les diagonales d’un rectangle partagent celui-ci en quatre triangles de même aire (puisque la médiane dans un triangle partage celui-là en deux triangles de même aire) donc : A(M KM 0 I) = 2 sin x. L’aire du rectangle inscrit dans le cercle est donc maximale lorsque le sinus l’est, à savoir pour x = π2 , c’est-à-dire lorsque le rectangle est un carré ; l’aire maximale est alors de 2 cm2 .  Exemple 35.17 — Formule de Héron. Soit ABC un triangle de demi-périmètre p (p est défini par la relation 2p = a + b + c). On montre que l’aire S de ABC est donnée par : 

S=

q

p(p − a)(p − b)(p − c) (formule de Héron).

17

35.3 Applications

M

K

O x

I

M0

F IGURE 35.4 – Figure de l’exemple D’après la formule d’Al-Kashi, on a : b a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.

b2 + c2 − a2 2bc 2 + c2 − a2 b a2 − (b2 − 2bc + c2 ) a2 − (b − c)2 (a − b + c)(a + b − c) 1 − cos Ab = 1 − = = = 2bc 2bc 2bc 2bc 2 + c2 − a2 2 + 2bc + c2 ) − a2 2 − a2 b (b (b + c) (b + c − a)(b + c + a) 1 + cos Ab = 1 + = = = 2bc 2bc 2bc 2bc cos Ab =

D’où :

sin2 Ab = 1 − cos2 Ab

(a − b + c)(a + b − c)(b + c − a)(a + b + c) 4b2 c2 4b2 c2 sin2 Ab = (2p − 2b)(2p − 2c)(2p − 2a)(2p) = 16p(p − a)(p − b)(p − c). b b = = (1 − cos A)(1 + cos A)

En outre,

D’où la formule de Héron. 

1 S = b2 c2 sin2 Ab = p(p − a)(p − b)(p − c). 4

Exemple 35.18 — Inégalités dans le triangle.

c = AB. On va montrer que :



Soit ABC un triangle. On note a = BC, b = AC, et

|b − c| ≤ a ≤ b + c.

D’après la formule d’Al-Kashi, on a : a2 = b2 + c2 − 2bc cos Ab ⇔ cos Ab =

b2 + c2 − a2 . 2bc

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Leçon n°35 • Relations métriques et trigonométriques dans un triangle

On en déduit l’encadrement :

−2bc ≤ a2 − b2 − c2 ≤ 2bc.

D’où (b − c)2 ≤ a2 ≤ (b + c)2 . Par croissance de l’application t 7→

√

t sur [0 , +∞[, on obtient :

|b − c| ≤ |a| ≤ |b + c| . Comme a, b et c sont des quantités positives : |b − c| ≤ a ≤ b + c. 

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