Resonerande matematik – effekten den ger

LÄRARPROGRAMMET

Resonerande matematik – effekten den ger En studie gjord i år 1 och 2

Martina Nelson Liselott Sjöbom

Examensarbete 15 hp Vårterminen 2010

Handledare: Constanta Olteanu Institutionen för pedagogik, psykologi och idrottsvetenskap

När någon behärskar någonting, så blir det en del av den personen. Det blir en del av individens tankar och kreativa process. Det tillför kvaliteten av sitt innersta väsen till individens kreativitet och alla därefter följande tankar. (Ljungblad, 2001, s 162)

Linnéuniversitetet Institutionen för pedagogik, psykologi och idrottsvetenskap Arbetets art: Titel: Författare: Handledare:

Examensarbete, 15 hp Lärarprogrammet Resonerande matematik Martina Nelson och Liselott Sjöbom Constanta Olteanu

Sammandrag Det huvudsakliga syftet med vår rapport är att undersöka hur resonerande matematik används i skolan och vad den har för effekt på eleverna. Vi undersöker hur eleverna använder sig av resonerande matematik, individuellt och i grupp. I vår studie vill vi ta reda på om resonerande matematik leder till en mer positiv effekt i grupp än vid enskilt arbete och om den för eleverna närmare svaret. För att få svar på detta använder vi oss av observationer, intervjuer och övningar. Övningarna består av tre matematiska uppgifter som genomfördes individuellt och i grupp. I studien deltar två pedagoger och 32 elever från Kalmar län vårterminen 2010. Av dessa elever gick 15 i klass ett och 17 i klass två. Genom vår studie och vårt färdiga resultat visar vi på att resonerande matematik i grupp har en positiv effekt på eleverna. Abstract The main purpose of our report is to examine the reasoning used in mathematics education and what is its effect on students. We examine how students use mathematics reasoning, individually and in groups. In our study, we want to found out if mathematical reasoning leads to a more positive effect in the group that at the individual work and if the students closer come to the answer. In order to answer these questions, we use observations, interviews and exercises. The exercises consist of three mathematical tasks and were carried out individually and in groups. The study involved two teachers and 32 pupils from Kalmar 2010. Of these students were 15 in class one and 17 in class two. Through our study and our final results, we show that reasoning in mathematics group has a positive effect on students.

INNEHÅLL 1 INTRODUKTION ...................................................................................................... 5 2 BAKGRUND ............................................................................................................... 6 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

En definition av ”resonerande matematik” ..................................................6 Språket och resonerande matematik .............................................................6 Kommunikationens betydelse för resonerande matematik .........................7 Vägen fram till de matematiska kunskaperna ..............................................8 Resonerande matematik och pedagogens uppdrag ....................................10 Myndigheters perspektiv på matematik genom tiderna ............................12

3 SYFTE ....................................................................................................................... 14 4 METOD ..................................................................................................................... 15 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Resonerande matematik utifrån en etnografisk studie ..............................15 Undersökningsmetod .....................................................................................15 Undersökningsgrupp .....................................................................................15 Forskningsetniska överväganden .................................................................16 Genomförandet ..............................................................................................16 Giltighet och trovärdighet .............................................................................17

5 RESULTAT ............................................................................................................... 18 5.1 Antal kvadrater ..............................................................................................18 5.1.1 Individuellt arbete i år 1 .............................................................................18 5.1.2 Grupparbete i år 1 ......................................................................................19 5.1.3 Gruppsamtal i år 1......................................................................................19 5.1.4 Individuellt arbete i år 2 .............................................................................19 5.1.5 Grupparbete i år 2 ......................................................................................20 5.1.6 Grupp samtal i år 2.....................................................................................20 5.2 Dela pengar.....................................................................................................20 5.2.1 Individuellt arbete i år 1 .............................................................................21 5.2.2 Grupparbete i år 1 ......................................................................................21 5.2.3 Gruppsamtal år 1........................................................................................21 5.2.4 Individuellt arbete i år 2 .............................................................................22 5.2.5 Grupparbete i år 2 ......................................................................................22 5.2.6 Gruppsamtal i år 2......................................................................................23 5.3 Tåguppgiften ..................................................................................................23 5.3.1 Individuellt arbete i år 1 .............................................................................23 5.3.2 Grupparbete i år 1 ......................................................................................23 5.3.3 Gruppsamtal i år 1......................................................................................23 5.3.4 Individuellt arbete i år 2 .............................................................................23 5.3.5 Grupparbete i år 2 ......................................................................................24 5.3.6 Gruppsamtal i år 2......................................................................................24 5.3.7 Avslutningsvis ...........................................................................................24 5.4 Pedagogens betydelse för den resonerande matematiken ..........................25 6 DISKUSSION............................................................................................................ 26 6.1 Resonerande matematik ................................................................................26 6.2 Språkets och kommunikationens centrala delar ........................................26

6.3 Elevernas resonemang ...................................................................................28 6.3.1 Individuellt resonemang ............................................................................28 6.3.2 Resonemang i grupp ..................................................................................28 6.3.3 Gruppsamtal i klass ....................................................................................29 6.4 Pedagogens roll ..............................................................................................29 6.5 Myndigheters perspektiv & de matematiska kunskaperna .......................30 7 SLUTORD ................................................................................................................. 32 8 REFERENSLISTA ................................................................................................... 33 BILAGOR

5

1

INTRODUKTION När väl gråten hade tagit slut stängde hon munnen, fast besluten att aldrig mer öppna den annat än för att ge de allra nödvändigaste svaren. (Ljungblad, 2001, s71)

Det här är en känsla som vi båda kan relatera till. Matematik för oss har ständigt varit något tungt och jobbigt som kändes ouppnåeligt. Matematiken blev för oss lustfylld den dagen då vi som studenter var tvungna att gå vår specialisering som innefattade grundläggande matematik. Vi mötte vår lärare Reza Hatami som direkt tog oss med in i en värld fylld av resonerande matematik. Den här världen hjälpte oss att stegvis tillsammans med Reza bygga upp en självkänsla och en tilltro till vår egen förmåga vilket var en underbar känsla. Vi har nu fått möjligheten att i vårt examensarbete studera ämnet under tio veckor vilket vi aldrig tagit oss för utan Rezas engagemang och vilja som han visade för oss. För oss är resonerande matematik nyckeln till kunskap, här kan man utrycka sina tankar, idéer och förklaringar för att kunna lösa ett problem. Alltför många elever fylls av känslan som nämns ovan när det gäller matematik. Genom att vi nu tagit del av betydelsefulla forskare och författare har vi förstått att resonerande matematik har en enorm betydelse för den individuella utvecklingen hos varje elev. Tidigare forskning visar också att den resonerande matematiken försvinner mer och mer vilket resulterar i att eleverna varken vågar eller kan sätta uttryck på sitt tänkande inom matematiken. I Lpo 94 och kursplanen i matematik står det att pedagogerna ute i skolan ska i undervisningen förbereda eleverna så att de klarar av samhällets krav med hjälp av de baskunskaper inom matematiken som styrdokumenten har som mål och som ska bli uppfyllda. Undervisningen ska utveckla ett intresse för matematik hos eleverna, de ska få tillit till sitt eget tänkande och kunna använda matematiken i olika situationer. Lika många elever som vi kommer att möta i vår yrkesroll kräver lika många undervisningsstrategier som vi måste tillämpa. Det här innebär att vi behöver hålla alla våra sinnen öppna för att göra matematiken rolig och lustfylld. Vi ska här ge eleverna helheterna för att de ska kunna se delarna och relationen mellan dessa och det kan vi göra med hjälp av den resonerande matematiken. Kunskap kommer till uttryck i olika former såsom fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet som förutsätter och samspelar med varandra. Skolans arbete måste inriktas på att ge utrymme för olika kunskapsformer och att skapa ett lärande där dessa former ballanseras och blir till en helhet (Lpo 94, s 6).

6

2

BAKGRUND

I det här avsnittet kommer vi att fokusera på begreppet ”resonerande”, som är nyckelbegreppet i vårt arbete. För att göra detta utgår vi ifrån två olika perspektiv: myndigheters och forskares. Fokus i vår presentation är att lyfta fram skillnaderna mellan dessa perspektiv.

2.1

En definition av ”resonerande matematik”

Begreppet matematiskt resonemang definieras som det resonemang som används för att skapa och komma fram till påståenden och slutsatser vid lösning av uppgifter (Lithner, 2007). Resonemangsprocessen handlar om en koppling till språk, en matematisk argumentation och ett konsekvent tänkande (Hatami, 2007). Med hjälp av det vanliga språket kan eleven använda sig av ett resonemang i dialog med någon annan eller med sig själv (Hatami, 2008). Där ställs frågor som eleverna försöker svara på. Denna process kan leda till att eleven får mer förståelse för matematik. Hatami menar att det resonerande tankesättet skapar kraftfulla modeller och nya tankemönster (a.a.). Om eleven upplever en problemlösning/uppgift som är svår kan de ändå finna en lösning utifrån frågor som ställs till sig själva. Samtidigt kan eleven ta ett steg tillbaka och besvara dem en i taget för att komma fram till en slutlig lösning. När eleven funnit lösningen och den blivit förståelig har eleven fördjupat sina tankar och argumentation genom sitt resonemang (a.a.). Bergqvist (2006) skriver i sin avhandling att det är vanligt att dagens pedagog ofta underskattar elevernas förmåga att resonera. Bergqvist talar om två centrala begrepp inom den resonerande matematiken. Hon nämner begrepp som imiterande och kreativt resonemang. Imiterande resonemang består av matematiska lösningar som lägger sig på minnet och som man sedan kan använda sig av. Kreativt resonemang innefattar matematik på ett mer laborativt sätt där eleverna utifrån sin förmåga får pröva sina olika lösningar både enskilt och i grupp. Under varje lösning finns det alltid tillgång till laborativt hjälpmedel, det leder till att eleverna får en förståelse för resonemangets betydelse i matematiken (a.a.). När den resonerande matematik används menar Hatami (2007) att pedagoger och elever kommer fram till lösningar och metoder som eleverna senare kan återanvända i likartade uppgifter. Begreppet resonemang speglar samtal som utvecklar vårt tänkande och lärande. Det är i samtalet som eleverna kan redogöra för övergångar som är nödvändiga. I tänkandet blir eleven bekant med de matematiska idéerna och då kan eleven resonera sig fram till ett förhållande i matematiken. Detta kräver en påståendekunskap som är språkligt utformat och där ingår det ett resonemang. För att kunna se och uppleva matematiken behöver eleven ha ett språkligt resonerande kunnande. Att låta eleverna räkna under tystnad anses som en isolering (Riesbeck, 2008).

2.2

Språket och resonerande matematik

Doverborg, m.fl. (2008) anser att Vygotskijs teori om relationen mellan språk och tanke bygger på en nära gemenskap mellan människor. I denna relation är det språket som har en avgörande roll eftersom det innefattar teckenspråk, miner, gråt, skratt och gester. Språket och tänkandet går hand i hand och är intimt förknippade med varandra. Språket vi har runt omkring oss påverkar inte bara vårt tänkande utan även våra känslor, vår fantasi och förmåga att lösa problem och att minnas. Vygotskij

7 anser att språket är enormt viktig och betydelsefull för hela människans utveckling. Matematik är ett språk fast det egentligen inte är det men vi vet att matematik kräver ett ordförråd av termer och begrepp som eleverna stegvis måste utveckla en förtrogenhet med (a.a.). Vygotskij menade att man kan hitta redskap och förklaringar i det sociala livet, eftersom man där finner en förståelse för sin utveckling i processen och handlingen. Ingen människa är född att vara ensam, utan utvecklas i den sociala människovärlden. Elevens utveckling sker i samspel med en mer erfaren, detta kallar Vygotskij för ”den proximala zonen” den är vägledarens roll som för elevens språk framåt (Doverborg m.fl.), 2008). Genom det här kan eleven reflektera över tidigare kunskaper och koppla samman dessa med de nya vilket leder till en stimulering. Problemlösningar gör eleven tillsammans med andra där de socialt skapar nya aktivitetsformer som leder till egna erfarenheter. Dessa erfarenheter utvecklas i det sociala samarbetet och övergår snart till elevens egna handlingsformer. De gör om erfarenheterna till sitt eget material, utveckling sker från de yttre till de inre. Detta förklarar Vygotskij med begreppet det ”egocentriska språkets betydelse” (Doverborg m.fl.), 2008). Vygotskijs centrala punkt är samspelet i undervisningen och att lärandet alltid går före utvecklingen (Jerlang, 2008). Även Riesbeck (2008) skriver om vikten av Vygotskijs tankar i sin avhandling. Hon menar att språket ses som ett redskap som utgör ett samspel mellan tanke och erfarenhet (a.a.). Williams, Sheridan och Pramling-Samuelsson (2000) refererar till Piaget och skriver att när barn möter varandra samtalar de på en nivå där de både kan förstå och göra sig förstådda. När barn samtalar hittar de en stark motivation till att lita på sig själva och genom denna självtillit som byggs upp får de en förmåga att förändras och förändra andra. De lär sig att värdera sin egen kunskap och argumentera för sin sak samtidigt som de lär sig att ta andras ståndpunkter. Detta leder till att barnen ger varandra återkopplingar och får ett lärande i det sociala samspelet. Om ett barn blir upplyst av en kamrat i en diskussion prövar de nya idéer. Barnet omvärderar äldre uppfattningar så att det stämmer bättre överens med det nya. Det är vad Piaget kallar för ”decentrering” (se t ex Williams m.fl.), 2000). I decentreringen vinner barnet både sociala och kognitiva fördelar. Inom den sociala biten vinner de en kommunikativ förmåga och i den kognitiva är vinsten att hitta ny kunskap. Sammanfattningsvis kan vi se att Piaget lägger stor vikt vid de sociokognitiva konflikterna som utspelar sig i dialogen mellan barnen (a.a.). Folkesson (1998) refererar till Dewey som sätter språket centralt för den reflekterande tänkande. Eleverna måste få träna sig i att reflektera över vad de gjort för att ett medvetande om kunskapen ska ske. Detta leder till att de självmant söker sig till nya mål i sin inlärning och utveckling och det kallas av Dewey för ”learning by doing”. Dewey framförde en kommunikationsteori, där han visade att kommunikationen mellan människor ger ett lärande. I teorin menade han att tänkandet ökade i kommunikationen i det sociala samspelet. Dewey menade även att om elever inte får använda sig av sitt språk när de börjar grundskolan kan de heller inte använda sig av skolans språk när de senare kommer ut i arbetslivet. Kommunikationen och det sociala samspelet är två grundstenar som är nödvändiga för språkets och tänkandets utveckling (Englund, 2007).

2.3

Kommunikationens betydelse för resonerande matematik

Motivationen och lusten för matematik är inget pedagogerna behöver skapa den finns redan sedan tidig ålder (Bergius & Emanuelsson, 2008). Barn och elever tycker att

8 matematik är både spännande, utmanande och roligt. Detta ger pedagogerna goda förutsättningar för det fortsatta matematiklärandet. I förskolan där intresset ofta väcks är barnen vana att i grupp och enskilt både ute och inne stimuleras i matematikens värld med hjälp av en drivande pedagog. Tyvärr visar en studie från Nationellt Centrum för Matematikutbildning (NCM) på att i omkring år tre till fyra försvinner både lust och motivation inom matematiken (Bergius & Emanuelsson, 2008). Ämnet uppfattas nu som svårt och tråkigt. Eleverna som var vana vid grupplösningar och en mer fri matematik får nu sitta enskilt och tyst vid sina bänkar utan att kommunicera med varandra. Slutsatsen som drogs av denna studie var att intresset och engagemanget ökade genom meningsfulla aktiviteter där samspel, skapande, lek och utforskande stod i centrum. Det gäller att erövra kognitiva och kommunikativa färdigheter i viktiga kontexter (Bergius & Emanuelsson, 2008). Alla möts vi i en social värld som fylls av samspel mellan människor och i detta samspel ingår kommunikationen. I samspelet och i kommunikationen använder vi oss av symboler i form av handling och ord. Här sker en växling mellan olika budskap som påverkar oss och vi får tankar om hur andra tänker samtidigt som våra egna tankar påverkas positivt. Vare sig vi vill eller inte för kommunikationen med sig en effekt, en effekt som påverkar oss så fort en annan människa närvarar. Möten mellan människor sätter igång både tankar och funderingar kring olika saker, både positiva och negativa beroende på situationen (Nilsson & Waldemarson, 2007). Som vilket ämne som helst vill även matematiken ge uttryck för något och detta ska ske i kommunikationens tecken. I en kommunikation sker en handling och för att den ska bli förståelig måste den ske i meningsfulla sammanhang. I detta sammanhang är människor involverade i kommunikationen och här utförs en tolkning för att kunna hantera olika situationer inom matematiken (Sandahl & Unenge 1999). Språkanvändningen är en enormt viktig del av den inlärning som ska ske inom matematiken och språket är det centrala i kommunikationen. När pedagogen ger eleven chansen att samtala om föremål, former, bilder och relationer mellan olika föremål utvecklas automatiskt ett språk och iakttagelseförmåga. Vinsten eleven får ut av detta är att den lär sig att föra ett matematiskt resonemang och samtidigt öva sig i att argumentera för sin personliga lösning. Genom kommunikation måste pedagogen leda samtalet med frågor som till exempel hur kom du fram till det här? Varför tror du det är på detta sätt? Hur tänkte du då? Alla elever resonerar på olika sätt och som på alla andra områden är vissa starka och vissa svaga. Med hjälp av konkret material och bilder kan kommunikationen leda till att språket tränas upp vilket i sin tur leder till en matematisk utveckling. Det är viktigt att pedagogen använder termer och begrepp som eleverna är införstådda med eftersom okända ord sätter upp hinder för lärandet. Eleven lär sig på så sätt att skilja på ”mattespråk” och vardagsspråk. Vid problemlösning där eleven får chansen att förklara sina tankegångar utvecklas språket omedvetet vilket leder till ett mer logiskt tänkande. Räknesagor och räknehändelser innehåller numerisk information som gör det lättare för eleverna att se matematikens innehåll och struktur (Häggblom & Hartikainen, 2006).

2.4

Vägen fram till de matematiska kunskaperna Är det verkligen rätt att låta barn och ungdomar själva finna samband som det tagit mänskligheten lång tid att upptäcka? Är detta inte ett utbildningssjälvmord speciellt i ett samhälle där alla ska klara skolan? […] Skolan har på detta sätt varit en plåga för många barn och ungdomar under det senaste 50 åren. (Hatami, 2007, s 202)

9

År 1937 hittades ett trettio tusen år gammalt vargben i Tjeckoslovakien i vilket människan ristat in femtiofem skåror i grupper av fem, detta för att fastställa antalet djur. Det här kan vara det äldsta sättet att resonera fram ett antal på. Johnsen Hoines (2008) lyfter fram att handens fingrar bildar ett uttryck i form av kroppsspråk som underlättar det matematiska resonemanget. Människans utveckling påverkas av vårt kulturarv, som inom matematiken är matematikens historia. Det krävs både verklighetsanpassning (programanpassad matematik) och en historisk anknytning (matematikens idéhistoria). Det är dessa två byggklossar som tillsammans skapar matematikens teoribildning. När matematiken vi möter flödar mellan dessa får den sin betydelse (Hatami, 2007). Genom det sociokulturella perspektivet som innebär att kulturen och den sociala omgivningen är direkt avgörande för människans lärande kan en personlig utveckling ske. Det är genom ett samspel som en människa bemästrar en kunskap som sedan blir till det egna handlandet och tänkandet (Säljö, 2000). I de matematiska begreppen ingår det samband som består av språk, uttryck, symboler, tecken och bilder. I alla dessa representationer krävs det att eleverna deltar aktivt i en social process. I den sociala processen ingår det resonemang där eleven måste kunna beskriva sina tankar för problemet (Riesbeck, 2008). Heiberg m.fl. (2004) skriver att i dagens samhälle kopplas begreppet matematik till termer som multiplikationstabeller, bråk, procent, uppställningar och uträkningar. Människan är van vid att tänka på matematik på detta sätt, vi har då svårt att se vad som ligger bakom dessa termer. För att vi ska kunna utveckla de elever vi möter i en undervisningssituation måste pedagogen och eleverna se och känna igen matematiken i andra sammanhang. Elever i dag möter inte matematik på detta sätt, utan omedvetet kopplar de samman och finner matematiken i sin vardag. Matematiken innebär att människan pendlar mellan handling och tänkande. Det här kallas för matematiska aktiviteter. Heiberg m.fl. skriver också att detta visar sig tydligt när man studerar den aktiva, lekfulla och utforskande eleven. De matematiska aktiviteterna ger oss en kunskap om att se och utmana elevernas egen matematik (a.a.). För att det lilla barnet upp till vuxen människa ska få ett intresse för matematik menar Ljungblad (2001) att pedagogen som barnet möter måste arbeta från de små delarna till en helhet. De måste gå från analys (delar) till syntes (helhet). Genom att låta eleverna utveckla ett bra matematiska språk innan de får chansen att gå in på skriftliga symboler gör att de lättare ser en koppling mellan de olika problem de kommer att möta. Det matematiska språket och de samtal som ämnet för med sig är mer än vårt talade språk och därför extra viktigt. Barn har i alla tider haft mer eller mindre behov av att använda språket som ett uttrycksmedel. Med språket menas inte enbart de språk vi talar utan hit räknas också skapandet, musik och teater in som uttrycksformer. Under de första skolåren är det viktigt att få eleverna att utveckla en förståelse för matematiken annars blir den komplicerad och eleverna utvecklar en blockering i sitt tänkande. Om inte pedagogerna skapar en väg full av olika möjligheter är det lätt att tappa kontrollen över elevernas kunskapsinlärning. Om eleverna inte kan kommunicera i matematiken leder detta snart till en press och en stressfaktor som bidrar till att matematiken får en negativ stämpel där kraven är ouppnåeliga. Vi måste samtala med eleverna på precis samma språk som de själva gör för att bygga upp ett förtroende, att ständigt förbättra den kommunikationen inom detta område måste prioriteras (a.a.).

10 Ämnet matematik är oerhört brett där eleven ska kunna olika innehåll i matematiken och i olika sammanhang. Det är också viktigt att kunna resonera kunskapen. Eleven ska kunna visa lösningar och resultat i bland annat tal, skrift och symboler. Här ska det också kunna tillämpas olika strategier och metoder för att kunna analysera, reflektera och granska både egna och andras tankar i matematiken. Avslutningsvis ska eleven kunna översätta olika problemlösningar till matematikens symbolspråk skriver Pettersson (2010). För att denna väg ska bli så stimulerande och rolig som möjligt lägger Doverborg och Pramling Samuelsson (1999) stor vikt vid att bygga upp en stark självbild hos eleven. Den måste få en möjlighet att se sig själv som en bra ”problemlösare” och ständigt få positiv feedback på det den presterar. Om eleverna ska nå matematiska kunskaper behöver de föra diskussioner kring olika begrepp och ta del av vandras tankar och föreställningar. De måste få reflektera och föra diskussioner i sociala sammanhang för att utveckla ett matematiskt tänkande (Sandahl & Unenge, 1999). För att kunna ta del av det matematiska tänkandet krävs det att eleverna får granska, argumentera, reflektera och diskutera. Detta blir de byggstenar som tillsammans skapar en förståelse för matematiken (Malmer, 1999). Matematik är ett språk som eleverna möter när de börjar skolan. Detta är ett nytt språk. Eleverna bör bearbeta det obegripliga språket för att lära sig använda det i de olika sammanhangen annars kan de inte prata och förstå det, skriver Dahl & Nordqvist (2007).

2.5

Resonerande matematik och pedagogens uppdrag Att motivera elever till skapande och kreativ verksamhet, som fordrar både fantasi och tålamod för en aktiv argumenterande/motargumenterande dialog, är en viktig uppgift för matematikläraren. (Hatami, 2008, s45)

Löwing och Kilborn (2002) skriver att det är vi som pedagoger inom grundskolans tidigare år som tillsammans med eleverna ska lägga grunden för både kunskap och attityd till ämnet. Pedagogen lägger grunden för hur eleverna kommer att se på matematiken i vuxen ålder, vilket leder till positiv eller negativ inställning till ämnet matematik. För att kunna undervisa i matematik krävs en didaktisk skicklighet och en förmåga att klara av svårigheten i hur man sätter upp mål för undervisningen. De uppnåendemål som finns i kursplanerna är inte en konkret hjälp för pedagogens arbete utan enbart övergripande. De talar bara om hur man som pedagog bör förhålla sig till undervisningen. Detta arbetssätt bidrar ofta till att planeringen av undervisningen utgår från en färdig lärobok. Det är också väldigt vanligt idag att pedagogen väljer ut uppgifter som ska lösas av svaga respektive starka elever, vilket är en didaktisk svaghet. Genom detta arbetssätt får eleverna ingen direkt vinst utan både pedagogen och eleven känner en otillräcklighet inom ämnet (a.a.). Många av pedagogerna ute på fältet har inte någon djupare utbildning inom matematiken. De har själva fått samla på sig erfarenheter och fakta som de ”tror” är det rätta för eleverna (Ljungblad, 2000). Berggren och Lindroth (1997) skriver att pedagogen ska utmana och låta eleverna få skapa matematiska konstverk genom att rita, bygga och diskutera sig fram till ett svar. På så vis sätts elevernas fantasi igång och då skapas en lust och motivation i matematiken. Genom arbetsmetoden ger vi eleverna en chans och möjlighet att förstå matematikens plats i verkligheten och vardagen (a.a.). Flera forskare (Berggren & Lindroth, 1997; Löwing & Kilborn, 2002; Malmer, 2002) påtalar vikten av ämnesintegrering. De menar att här har pedagogen chansen

11 att sätta in matematik i meningsfulla sammanhang. Detta leder till att eleverna får en förståelse och kan koppla rätt kunskap till rätt situation men även att kunna tänka utanför ramen och få nya tankevägar. Det ligger i pedagogens roll och uppdrag att skapa en miljö där det finns utrymme för egna erfarenheter, tankar och idéer (Malmer, 2002). Eleverna kommer till skolan och blir direkt påverkade av pedagogens syn på skolan. Attityder, förväntningar och värderingar ska tillsammans skapa en god klassrumsmiljö. Genom miljön ska pedagogen kunna ta fram elevernas starka sidor men också se och vara medveten om de svaga eleverna. En sådan positiv miljö gör att elevens förmåga att ta till sig ny kunskap blir bättre. I en sådan miljö måste pedagogen vara flexibel och föra klassen åt ett positivt håll där den kan bygga på sin självkänsla (Taube, 2002). Skolverket skriver också om betydelsen av pedagogens flexibilitet för att stärka elevernas självtillit (Skolverket, 2003). Alla inom skolans väggar måste få känna delaktighet och ansvar över det som händer i klassrummet och på skolans område (Carlgren & Marton, 2002). Det är detta som bidrar till att elevens motivation, glädje och nyfikenhet ökar (a.a.). Sandahl och Unenge (1999) skriver att pedagogen måste låta eleverna använda sig av sitt eget språk, sina tankar och vägar för att komma fram till lösningar i matematiken. Det är även pedagogens plikt att förenkla elevernas metoder för att de lättare ska nå fram till problemlösningar, något som görs inom den resonerande matematiken. För att få reda på vilka metoder eleven valt måste pedagogen ställa frågor för att få fram reflektioner och argumentationer vilket leder till att eleven får tankestrategier i matematiken. Hatami (2007) påstår att förståelsen av den matematiska teorin är en svår och krävande utmaning för både pedagog och elever. Det krävs en hel del tålamod men när man väl nått sitt mål kommer känslan av tillfredställelse att vara mycket starkare än det negativa eleven kände under själva processen. Hatami anser att som matematiklärare är det inte en nödvändighet att framhålla matematiken som rolig utan att istället lägga kraft, tyngd och engagemang på att motivera eleverna till att hitta skapande kreativitet och framförallt tålamod. Retorisk matematik är väldigt krävande för eleven men när de väl lärt sig verktyget kan de bättre koppla detta till matematikens symbolspråk. För att kunna lösa en problemuppgift som består av skrivna ord måste man kunna omvandla orden till det matematiska symbolspråket, det är först då man kan ta sig an ett problem (a.a.). Enligt skolinspektionens rapport (2009) ser forskarna att pedagogens roll och betydelse inte håller eftersom kunskaperna de har om kursplanerna inte räcker till för undervisningen. Alla elever har rätt till samma matematikundervisning oberoende av kommun, län och pedagog. Det har visat sig att eleverna får undervisning enbart i vissa delar av ämnet vilket leder till att eleverna har svårt med problemlösningar, att se samband, resonera samt att kunna uttrycka sig i både tal och skrift i matematiken. Detta har visat sig påverka bedömningen av vad pedagogen gör för tolkning av kursplanerna. Det är pedagogens ansvar och inte elevens att veta vilka mål varje eleven ska uppnå. Det har även visat sig att skolorna håller en ojämn kvalitet i undervisningen och att lärarna inte har någon varierad undervisning. Eftersom lärarna har olika värderingar när det gäller kursplanen resulterar det i att eleverna får olika kunskaper i matematiken (Skolverket, 2009). I det kreativa resonemanget innefattas personens flexibla tänkande byggt på matematiska egenskaper. Bergqvist (2006) skriver att studenter högt upp i åldrarna inte lärt sig använda det kreativa resonemanget och använder sig istället av det imiterande trots att detta ofta är en mycket mera smärtsam väg att gå. De har inte lärt

12 sig från grunden att föra ett kreativt resonemang och känner sig därför inte bekväma med användningen. Bergqvist (2006) kommer i sin avhandling fram till att pedagoger anser att matematiska uppgifter består av kreativt resonemang, som höjer svårighetsgraden så mycket att kraven på eleverna blir för höga. De sänker därför medvetet nivån till det imiterade resonemanget eftersom fler elever då klarar godkänt (Bergqvist, 2006). Enligt Thornberg (2006) möter pedagoger elever i skolan där vår huvuduppgift är att tillsammans med eleverna arbeta och framkalla lärande och utveckling för alla inom skolan.

2.6

Myndigheters perspektiv på matematik genom tiderna

Sveriges första skolordning kom ut år 1571. I detta dokument nämns inget om räkning och matematik i undervisningen. Inte heller 1842 hade ämnet någon betydelse. Det var först 1864 som det talas om skrivning och räkning. År 1878 kom den första normalplanen som talade om räknandet men ämnets betydelse för utvecklingen skrevs det inget om. Läroplanen som kom ut 1969 var den som gav den svenska matematikundervisningen en betydelse. Denna läroplan hade mål som ”all undervisning skall grundas på förståelse” (Malmer, 1999, s21). Detta mål ansåg pedagogerna vara ouppnåeligt eftersom de inte förstod vad den nya matematiken innebar. Redan här startade en känsla av avprofessionalisering inom ämnet. Detta bidrog till att pedagogerna blev beroende av läromedlet vilket i sin tur ledde till att klassrumsmiljön blev hårt styrd och inte gav anknytning till vardagliga händelser. Lgr 80 kom med helt nya riktlinjer där de första raderna tillsammans skapar ett mål som endast avsåg matematiken. Målet var: ”matematik ingår i grundskolans undervisning därför att matematik kan användas för att beskriva verkligheten och för att beräkna följderna av olika handlingar” (Malmer, 1999, s21). Under 1980-talet påvisades i en studie som kallades IEA-undersökningen (International Association for Evaluation of Educational Achievement) att svenska elevers insatser inom matematiken låg lägre än genomsnittet i andra länder. Detta resultat blev en chock för den svenska regeringen som då ledde till betydande fortbildningsinsatser. Lpo 94 skapades efter 1980-talets misslyckanden. I den nya läroplanen Lpo 94 och kursplanen 2000 övergick de kvantitativa kunskaperna till kvalitativa. Här kunde man tydligt se den resonerande matematiken där eleverna skulle få en självtillit till sitt eget tänkande och kunna tillämpa matematik i olika situationer. Eleverna skulle nu även kunna använda matematikens språk, symboler och former. Inom matematiken skulle de också kunna använda logiska resonemang, kunna dra egna slutsatser samt muntligt och skriftligt kunna förklara och diskutera sitt eget tänkande (Malmer, 1999). Styrdokumenten som finns idag innehåller både mål att uppnå och att sträva mot. Strävansmål är bara riktlinjer för matematikundervisningen. Huvudmålet inom matematiken sägs vara att all matematikundervisning ska genomsyras av att få tillit till sitt eget tänkande och en förmåga att lära matematik (Ahlberg m.fl.), 2005). Enligt Skolverkets (2000) rapport om kommentarer till kursplaner kan man läsa att förändringarna inom matematiken är relativt små om de jämförs med andra ämnen. Det finns heller inget förslag till några drastiska förändringar som ska leda ämnet framåt. Skolverket såg även att antalet icke godkända elever inom matematiken låg högre jämfört med ämnet svenska och engelska. Det har funnits förslag till att göra om målen för algebra, ekvationer och funktioner och flytta fram dem till gymnasiet för att eleverna lättare skulle kunna koppla matematiken till vardagen i tidig grundskola. Det har valt att ändra ordet ”förutsätter” eftersom detta

13 begrepp ledde till en misstolkning, nu betonas istället samspel för lärandet i matematik. Det som även har ändrats är att eleverna måste få många och olika tillfällen att lära sig om matematiken (a.a.). Riesbeck (2008) skriver att många nationella och internationella studier om matematik tydligt visar att den görs individuellt och under tystnad i skolan. Men samtidigt betonar styrdokumenten och andra studier att inom matematiken ska man ”tala matematik”. Här visar det sig att detta begrepp är en definition av något som pedagogerna ute i verksamheterna inte vet hur de ska nå. Elever bör i tidig ålder få lära sig att resonera i matematiken där de utvecklar en högre förståelse än vad som står i kursplanernas strävansmål. Får eleverna använda sig av enbart algoritmer finns det risk för att den resonerande matematiken försvinner vilket leder till att deras tankeverksamhet försvinner mer och mer. Om den resonerande matematiken försvinner kommer inte eleverna kunna använda sig av de metoderna i likartade uppgifter. Har vi som människor väl lärt oss att använda metoder inom den resonerande matematiken kommer vi automatiskt att skapa metoder som gör vägen till lösning lättare skriver Riesbeck (2008).

14

3

SYFTE

Det huvudsakliga syftet med vår rapport är att undersöka hur resonerande matematik används i skolan och vilken effekt den ger på eleverna. Vi vill undersöka hur eleverna använder sig av resonerande matematik, individuellt och i grupp. I vår studie vill vi ta reda på om resonerande matematik leder till en mer positiv effekt i grupp än vid enskilt arbete och om den för eleverna närmare svaret. För resonerande matematik innefattas två övergripande mål för grundskolan. Dessa är: att behärska det svenska språket och kunna lyssna och läsa aktivt samt att uttrycka idéer och tankar i tal och skrift, att behärska grundläggande matematiskt tänkande och kunna tillämpa det i vardagslivet (Lpo 94, s 10). Utifrån detta skapar vi huvudfrågan: Vilken effekt ger resonerande matematik på individnivå och gruppnivå? För att besvara denna fråga använder vi oss av följande problemformuleringar:  

Vad är effekten av resonerande matematik vid individuellt arbete? Vad är effekten av resonerande matematik i grupp?

15

4

METOD

I metodkapitlet visar vi på tillvägagångssättet som användes i studien. Här beskrivs urval, undersökningsgrupper och datainsamling. Därefter för vi en diskussion om giltigheten och trovärdigheten. Vi beskriver miljön där studien genomfördes och forskningsetniska övervägande. Hela vår metod bygger på en etnografisk studie.

4.1

Resonerande matematik utifrån en etnografisk studie

Etnografins grundläggande tanke är att: ”etnografen önskar försöka förstå människors tankar och uppfattningar om fenomenen i människans omvärld […] den kvalitativa forskaren använder sig av observationer och intervjuer som redskap i sin forskning” (Kullberg, 1996, s15). Ett annat namn för denna sortens studie är också fältstudie. Studien bygger på att etnografen arbetar i tre faser: förberedelser, genomförande av fältarbete och avslutningsvis redovisning av resultat och rapportering. Datainsamlingen består av informella intervjuer i form av samtal, formella intervjuer och insamlat material av olika slag. Inom undersökningen kommer vissa personer att benämnas med begreppet informanter. Detta är personer som befinner sig i en större grupp som etnografen sedan ska söka information från. Det gäller för etnografen att ha förmåga att se bakom både handlingar och det sagda. Forskaren måste ha en förmåga att se hur något förändras från situation till situation. Under observationen kan man jämföra och se likheter mellan forskarens roll och pedagogens delaktighet i elevernas lärande. Genom en etnografisk undersökning leder eleverna forskare fram till ett arbetssätt som innefattar nya metoder och tänkande som kan kopplas till undervisningen.

4.2

Undersökningsmetod

Vår studie bygger på en kvalitativ undersökning där vi observerar eleverna när de löser tre matematiska uppgifter. Dessa består av att eleverna först individuellt ska resonera sig fram till ett svar, för att sedan sitta i grupp och där genom resonemang komma sanningen närmare. I den individuella lösningen kommer eleverna att få berätta hur de kom fram till lösningen genom att skriva eller rita. I gruppens resonerande matematik är det samtalet som är i fokus. Vi genomför även intervjuer i helklass med båda klasserna. Undersökningsplatsen och undersökningspersonerna är givna eftersom vi vill genomföra undersökningen i deras egen miljö, i klassrummet på deras skola.

4.3

Undersökningsgrupp

Grupperna består av en klass ett på 17 elever och en klass två på 22 elever. I de två klasserna blev det sju bortfall ─ fem av eleverna fick inte delta i studien för sina föräldrar i klass två, en var sjuk och en var bortrest i klass ett. Detta innebär att antalet elever som deltog i studie blev 15 i klass ett och 17 i klass två. Vi valde dessa två klasser av fyra skäl: det första var att uppfylla vårt syfte, det andra var att få en lärdom av hur väl eleverna kan resonera sig fram i matematiken, det tredje var åldern och det fjärde var att vi kände dessa elever sedan tidigare. Gruppen valdes ut i den tidiga grundskolan eftersom forskare (se t ex Folkesson, 1998; Löwing & Kilborn, 2002) säger att man ska börja resonera i tidig ålder för att kunna utveckla sitt tänkande i matematiken. Dewey (se Folkesson, 1998) menade att elever i tidig grundskola måste få använda sitt språk för att tänkandet ska utvecklas i

16 den sociala processen. Eleverna måste få träna sig i att reflektera över vad de gjort för att ett medvetande om kunskapen ska utvecklas (Englund, 2007). Det är pedagoger inom låg- och mellanstadiet som tillsammans med eleverna ska lägga grunden för både kunskap och attityd till ämnet. Grunden som läggs kommer att ha betydelse för hur våra elever kommer att se på matematiken i vuxen ålder, och om de kommer att få en positiv eller negativ inställning till ämnet matematik (Löwing & Kilborn, 2002).

4.4

Forskningsetniska överväganden

För att få ett medgivande till att observera eleverna frågade vi berörda pedagoger och föräldrar om lov att fotografera, intervjua och samla in data. Till föräldrarna skickade vi ut en förfrågan om deras barn fick delta i en studie om resonerande matematik, (se bilaga 1, bild 1). I studien benämns varken kommun, skola, pedagogernas eller elevernas namn. Namnen som nämns i resultatdelen är fingerade.

4.5

Genomförandet

Vid undersökningstillfället var vi tre personer närvarade, en pedagog och två studenter. Vi började med att presentera oss för att skapa en relation till eleverna. Därefter berättade vi varför vi var där och vad det var vi skulle undersöka. Här var vi tydliga med att förklara hur de matematiska uppgifterna skulle lösas. Att det var deras väg fram till lösningen och inte svaret som var det viktiga för oss. Vägen till lösningen kunde beskrivas utifrån text, bilder och siffror. Eleverna fick också veta att vi inte sökte efter något rätt eller fel svar eftersom det inte fanns. Kavle (1997) skriver om vikten av att skapa en kontakt med personer som ska intervjuas eller studeras. Genom att forskaren lyssnar, visar ett intresse och förståelse har man redan vunnit ett förtroende vilket leder till en vinst i undersökningen (a.a.). Under studien var vi deltagande observatörer vilket Kullberg (1996) förklarar på följande sätt: deltagande observationer består av händelser som sker i vardagliga situationer. En deltagande observatör måste ha en förmåga att söka efter svar med öppna sinnen det viktigaste i en etnografisk studie är att lyssna och se en utveckling som leder till nya kunskaper hos varje individ (a.a.). Under hela arbetets gång observerade vi eleverna utifrån vårt syfte och förde fältanteckningar som vi sedan sammanställde i vårt resultat. Först fick eleverna lösa uppgifterna individuellt för att sen sitta i mindre grupper (fyra elever i varje grupp) som valdes ut beroende på hur de satt i klassrummet. Vi valde att inte flytta om eleverna utan skapade grupper utifrån deras sittplatser eftersom vi inte visste vilken nivå samtliga elever låg på i matematiken. Avslutningsvis valde vi att intervjua eleverna i helklass. Under intervjun skapade vi en diskussion med syftet att få fram hur eleverna resonerade när de löste olika uppgifter. Eleverna fick själva sätta ord på sina tankar. Vi ställde frågor som: Var det lättare att arbeta enskilt eller i grupp? Varför var det lättare? Vi ställde även frågor till eleverna hur de resonerade sig fram enskilt och i grupp för att lyfta fram den resonerande matematiken. Frågorna lyftes av oss som forskare för att eleverna skulle våga resonera mer, och våga tala högt om hur de resonerat i grupperna. Här samlades elevernas material in vilket utgör en viktig del i vår undersökning eftersom det är därigenom vårt resultat kommer att visas.

17

4.6

Giltighet och trovärdighet

Kullberg (1996) beskriver att en etnografisk studie ska pågå under en längre tid. Det hade vi ingen möjlighet till utan vi befann oss där bara under en dag, vilket vi räknar som en felkälla. Validiteten i vår studie ökar eftersom vi analyserar elevernas resonemang i tidig ålder då det är detta som ger förutsättningar för att eleverna ska kunna utveckla sitt tänkande i matematiken (se t ex Folkesson, 1998; Löwing & Kilborn, 2002). Även Englund (2007) skriver att elever måste få en chans att träna upp sig inom den resonerande matematiken för att kunna bli medvetna om den kunskap de fått. Vi menar här att uppgifterna vi valt ut till vår studie kan kopplas till detta forskningsperspektiv eftersom vid arbetet med uppgifterna fick eleverna möjligheten att på ett resonerande sätt sätta ord och tankar på sin nya kunskap vilket vi menar ökar studiens validitet och trovärdighet som även är relevant för dagens forskning. Vi gav eleverna möjligheten att resonera genom skrift, bild och siffersymboler vilket gör att vi fick chansen att möta eleverna på deras nivå. De fick alltså chansen att använda olika sorters språk för att ta sig fram till lösningen, detta menar även Hatami (2007) leder till ökat resonerat tänkande i matematiken. Vi har konstaterat en felkälla i den första uppgiften när eleverna skulle räkna antal kvadrater i en figur. Här ritade vi upp en kvadrat efter uppgiftsbeskrivningen. Storleken på denna kvadrat vilseledde eleverna till att inte kunna se andra storlekar av kvadrater i figuren (se bilaga 2, bild 2). Uppgiften som bestod av att dela pengar mellan Kalle och Lisa (se bilaga 3, bild 3) blev också vilseledande för eleverna eftersom pengarna redan från början var delade. Det var svårt att motivera eleverna till att resonera sig fram till en lösning eftersom ett svar att lösa uppgiften redan var givet. Vi befann oss under studien i klassrummet och observerade eleverna vilket stärker vår trovärdighet eftersom vi fick två olika perspektiv på tolkningar och resultat. Vi valde att tydligt förklara för eleverna i båda klasserna vad vårt syfte med vår uppgift var. Uppgifterna lästes upp högt för samtliga elever och frågor kunde ställas om någon inte förstått. Innan hade vi tydligt informerat pedagogerna om vad vi avsåg att undersöka och varför.

18

5

RESULTAT

Vi har genomfört en etnografisk studie där två klasser ingick, varav en förstaklass och en andraklass. Totalt deltog 32 elever. I bearbetningen av vårt material har vi analyserat resultatet utifrån vårt syfte: vilken effekt ger resonerande matematik individuellt och i grupp. Nedan kommer vi att presentera resultatet genom att kategorisera elevernas resonerande för varje uppgift och för varje klass. Detta kommer att ligga till grund för att analysera elevernas resonerande matematik på individ- och gruppnivå. I resultatet kommer vi att ta ut citat från samtalet som eleverna hade när de löste uppgifterna både på individ- och gruppnivå. Vi kommer slutligen att sammanställa intervjuerna som gjordes med eleverna och även detta kommer att redovisas i form av citat. Under arbetets gång när eleverna satt i de mindre grupperna gick vi runt och lyssnade och observerade hur eleverna resonerade sig fram till en gemensam lösning. Vissa av dessa observationer kommer att redovisas.

5.1

Antal kvadrater

Här skulle eleverna finna kvadrater i en figur (se bilaga 2, bild 2). Samtliga 32 elever hittade endast 16 kvadrater i figuren i det individuella arbetet. Alla eleverna räknade endast de små kvadraterna och kunde inte finna/se större kvadrater genom att bygga samman flera kvadrater till en större.

5.1.1

Individuellt arbete i år 1

Följande citat är tagna från uppgiftslösningarna och är typiska exempel på hur eleverna resonerade för att komma fram till antalet 16. E1: Det är 16 rutor Jag tänkte 4, 4, 4, 4, för 4+4=8 och tar man 4 och 4 igen och då blir de 16. E2: Jag tänkte att jag räknade 4-hopp 4-8-12-16 då kom jag fram till 16. Två elever med mindre resonemang ger följande lösning: E3: 16. Jag räknade. E4: Jag räknade ihop det.

Bild 1. Användning av laborativt material De andra eleverna använde sig inte av något resonemang och kunde inte förklara vägen fram till svaret. Deras svar och lösning blev som citaten ovan visar, korta och

19 utan något resonerat tänkande. Dessa elever kände sig osäkra och tittade mycket på kompisen bredvid för att kunna ge ett svar.

5.1.2

Grupparbete i år 1

När eleverna sedan fick sitta i grupp (fyra och fyra) och argumentera sin lösning hörde och såg vi tydligt den resonerande matematiken och dess effekt. Här kunde eleverna se, höra och förstå andras tankemönster vilket ledde till att fler kvadrater hittades i figuren. Alla grupperna förde olika resonemang om uppgiften och hittade därför olika antal kvadrater. Under observationen hörde vi i deras resonemang att den 17:e kvadraten de hittade var de 16 små kvadraterna tillsammans vilket bildade den stora och genom det hittades även fler. Nedan presenteras två gruppers resonemang, som fick ihop 16 kvadrater i det individuella resonemanget. Gruppens resonemang ledde till att de fick 17, 19 och 22 kvadrater. Följande kommentarer är typiska exempel på hur vi som observatörer tolkade elevernas väg fram till en lösning där fler kvadrater än 16 hittades. En grupp satt med samma svar och samma lösning när en i gruppen såg en större kvadrat som han byggde ihop av fyra små (se bilaga 6, bild 6). E5: Jag hittade 16 men sen hade Pelle hittat 4 små och gjort dem till en och nu hade vi 17 men sen fanns de 4 likadana. Utifrån uppgifterna som eleverna besvarade i grupp kan vi visa på direkta citat som: Grupp 1: Alla fick ihop 16 först men sen fick vi 17, 19 och 22. Grupp 2: Vi hade inte samma lösning fast samma svar men sen såg vi fler. Grupp 3: Vi kom fram till 16 stycken allihop för 4+4=8 8+4+4=16 och 8+8=16 sen hittade vi tillsammans en stor också.

5.1.3

Gruppsamtal i år 1

Citaten nedan är från elever som var osäkra på sitt resonemang. De förklarade och motiverade sin väg fram till svaret i intervjun på följande sätt: E6: Det var ju bara att räkna. E3: Jag vet inte hur jag gjorde jag bara gjorde det. I gruppintervjun kunde en del resonera sig fram bättre än andra. De elever som hade svårt för att se flera kvadrater än de som de själva hittat kunde genom samtalen och diskussionen slutligen resonera sig fram i denna uppgift. De kunde med hjälp av språket som verktyg och kompisarnas resonemang se nya tankemönster och motivera hur de kom fram till lösningen. I gruppintervjun hade vi ritat upp samma figur som i uppgiften på tavlan för att lättare kunna resonera med eleverna. I denna klass tog eleverna eget initiativ till att gå fram till tavla och konkret visa sin lösning för övriga i klassen.

5.1.4

Individuellt arbete i år 2

Följande citat är typiska exempel på hur eleverna kom fram till antalet 16. E1: Jag räknade en i taget och fik 16 stycken tillsammans. E2: Jag såg att det var 4 ihop med 4 i varje. Dom blev 16.

20 Två elever med samma svar men utan resonemang ger följande lösning: E3: För 8+8 är lika med 16. E4: 10+6=16. Vissa uppgiftslösningar som samlades in saknade både symboler, bilder och skrift med, papperet var blankt.

5.1.5

Grupparbete i år 2

Efter att eleverna suttit och jobbat individuellt fick de sätta sig i grupper med fyra i varje för att här resonera och argumentera sin lösning och slutligen gemensamt nå ett svar. Här fick de ta del av andras tankar och på detta sätt utveckla sina egna för att närmare komma fram till sanningen (svaret i matematikuppgifterna). Även denna klass kom närmare svaret när de resonerade tillsammans. Här hörde vi som observatörer hur de tillsammans kunde gissa sig fram och i gissningarna fann de fler än 16 kvadrater. Citaten nedan är direkt tagna från uppgifterna som gruppen sammanställt: Grupp 1: Vi tänkte olika men kom fram till samma sak. Grupp 2: När vi satt i grupp kom vi på att det finns mer. Grupp 3: Alla fick ihop 16 först. Sen såg Fredrik en till och då hade vi 17.

5.1.6

Gruppsamtal i år 2

Vid denna intervju märktes en stor skillnad mellan de elever som kunde resonera och inte. De elever som förstod tänkandet bakom uppgiften såg nu med hjälp av oss i resonemanget fler kvadrater. Detta ledde till att allt fler i klassen förstod och kunde se flera möjliga lösningar på uppgiften. När vi tillsammans med eleverna resonerande fick sig många en aha-upplevelse när de själva kunde komma längre i sin lösning än de innan trott. Även här ritade vi upp samma figur på tavla för att få igång en diskussion. Skillnaden i denna klass var att osäkerheten tog över och ingen av eleverna var villig att gå fram och argumentera för sin lösning. Utan här blev det istället vi som pedagoger som fick leda dem fram till nya tankar. E5: Jag trodde ni ville ha de så. E6: Jag vet inte hur jag ska göra. E6: Jag förstod inget förrän någon förklarade vad jag skulle göra.

5.2

Dela pengar

Eleverna skulle i denna uppgift dela ett visst antal mynt mellan Lisa och Kalle (se bilaga 3, bild 3). Samtliga elever delade pengarna lika mellan Lisa och Kalle, alla utom en. Här ville alla elever utom en vara rättvisa mot Lisa och Kalle. Uppgiften berättade inte för eleverna att mynten skulle delas lika utan de var något eleverna fick avgöra själva. Två elever använde sig av laborativt material som bestod utav pengar för att här kunna resonera sig fram till svaret. Detta för att sen kunna skriva eller rita ner det på papperet.

21

5.2.1

Individuellt arbete i år 1

Följande citat är typiska exempel på hur eleverna kom fram till sin lösning när de delade pengarna till Lisa och Kalle. Elever som resonerande sig fram till en lösning gav följande svar: E1: Jag tänkte att jag tar en cirkel i taget Sen delade jag upp det 1 och 1. E2: Jag tänkte att jag skulle dela upp de i två högar. Elever med mindre resonemang gav följande svar: E3: 7+7=14 och så blev det. E4: 7. En av eleverna (E5) i denna klass delade inte pengarna lika som övriga klasskamrater gjorde. Han gav istället 8 kronor till Kalle och 6 kronor till Lisa (se intervju i grupp).

5.2.2

Grupparbete i år 1

Eftersom alla elever utom en hade delat lika blev det inte mycket argumentation i diskussionen. I den gruppen där eleven med en annan lösning deltog ändrades allas resonemang.

5.2.3

Gruppsamtal år 1

En av eleverna hade i sin individuella lösning valt att inte dela pengarna lika mellan Lisa och Kalle. Därför tog vi upp elevens resonemang i helklass vilket ledde till att samtliga i klassen nu kunde se och resonera på andra sätt än de som innan angivits. Denna tankegång skapade i sin tur många olika förslag till lösningar där Lisa blev storasyster och behövde mera pengar och Kalle fick alla för Lisa varit dum osv. Här fann nu plötsligt eleverna fler lösningar än de hade innan arbetet enskilt och i grupp. På grund av att den resonerande matematiken fick eleverna här många olika lösningar och svar. Citatet visar på hur pojken resonerade sig fram: E5: Lisa gav Kalle 2 kronor nu hade Kalle 8 kronor och Lisa hade 6 Kronor (se bild 2).

Bild 2. (E5) Annorlunda resonemang Följande citat visar på hur eleverna i klassen började resonerade sig fram när de hade hört elevens resonerande matematik:

22 E6: Lisa fick10 för hon är 10 år och Kalle fick 4 kronor för han är 4 år. E7: Kalle fick 7 kronor för läsken kostade 7 kronor och då kunde Lisa också köpa läsk. E8: Jag hade gett Kalle 7 kronor och Lisa 7 kronor, men nu fick Kalle 5 kronor och Lisa 9 kronor. E9: Först tänkte vi att det var 7 kronor i varje hög och att det skulle bli rättvist, men nu har Kalle 8 kronor och Lisa 6 kronor.

5.2.4

Individuellt arbete i år 2

Under denna uppgift var det en hel del elever som ställde frågan om pengarna skulle delas lika. Vi som forskare valde att inte svara på frågan utan gav svaret: skriv ner ditt tankesätt. Följande citat är typiska exempel på hur eleverna kom fram till sin lösning när de delade pengarna till Lisa och Kalle. Elever som resonerande sig fram till en lösning gav följande svar: E1: Jag räknar först hur många kronor det är sen delar jag de på hälften. Då blir det sju var. . E2: Jag tänkte att jag skulle dela upp de i två högar. Eleven som gett oss det sista citatet hade även målat för att förtydliga sitt svar.

Bild 4. (E 2) Resonemang med hjälp av bilder. Elever med mindre resonemang kom fram till lösningar som gav följande citat: E3: Så att de fick lika många pengar. E4: 7+7 är lika med 14

5.2.5

Grupparbete i år 2

Här skedde samma sak som i klass ett, samtliga elever hade delat pengarna mellan Kalle och Lisa lika men de kunde ändå argumentera för sin lösning för att kompisarna i gruppen förstod hur de tänkte och vad de fått svaret ifrån. Grupp 1: Alla fick ju samma svar, vad ska vi göra då? Grupp 2: Alla tänkte olika men fick ändå samma svar.

23

5.2.6

Gruppsamtal i år 2

Även denna gång visade klass två en osäkerhet i att argumentera för sitt resonemang. Här var det återigen vi som pedagoger som fick ställa de didaktiska frågorna t.ex. vad händer om? om vi gör såhär istället, vad händer då? Då vågade eleverna resonera mer och kom genom det fram till olika lösningar.

5.3

Tåguppgiften

Eleverna skulle räkna tågvagnar som de inte kunde se i tunneln (se bilaga 5, bild 5). I denna uppgift kunde endast tolv elever resonera sig fram individuellt. Vi kunde här se i våra observationer att eleverna hade svårt att räkna sådant som de inte ser i uppgiften. Detta skapade en osäkerhet och eleverna tittade mycket på varandra och vilka svar kompisarna fick fram innan de fyllde i sin egen uppgift.

5.3.1

Individuellt arbete i år 1

Här uppkom det inga direkta frågor om hur uppgiften skulle lösas utan eleverna satte sig ner och skrev ner hur de resonerade. De elever som kunde resonera sig fram till en lösning svarade: E1: Jag kollade på loket den hade en vagn ute ur tunneln och 4-1=3 nu är det tre vagnar i tunneln. E2: Jag tar fyra vagnar nu är det en utanför och då blir de 4-1=3. Elever som inte kunde resonera sig fram med kommunikation gav följande lösning: E3: 3, jag kollade på storleken. E4: 4.

5.3.2

Grupparbete i år 1

De elever som inte kunde resonera sig fram individuellt fick här hjälp av gruppen. Alla förstod nu att det var tre vagnar inne i tunneln. Här resonerande de sig fram genom att rita dit vagnar som saknades (se bilaga 7, bild 7) och då förstod alla i gruppen oavsett tidigare individuella lösningar att det var tre vagnar som saknades. Samtliga elever hade här svårt att sätta ord på gruppens resonemang utan de målade för att visa kamraterna sitt tänkande, vilket bilaga 7 visar. Genom att de ritade sitt tänkande föddes också språket vilket tyvärr inte kom med under lösningen.

5.3.3

Gruppsamtal i år 1

Här hade eleverna i sina grupper resonerat sig fram så tydligt att det inte krävdes någon genomgång och det behövdes heller inga didaktiska frågor. Eleverna kunde här tydligt med språk, bilder och resonemang visa på sina lösningar om hur de kom fram till att det fanns tre vagnar gömda i tunneln. Följande citat är tagna från elevernas grupplösningar: Grupp 1: Vi kollade på loket den hade en vagn ut ur tunneln och 41=3, då är det tre vagnar inne i tunneln.

5.3.4

Individuellt arbete i år 2

Eleverna i klass två som förstod antalet vagnar som var dolda kunde resonera på ett tydligt sätt. De skrev följande lösningar på uppgiften, som följande citat visar:

24 E1: 1 var ute och det var 3 vagnar då blev det 3 vagnar som är i tunneln. E2: Jag tänkte att de var 4 vagnar och en var ute och då var det 3 vagnar kvar. Elever som resonerade sig fram mindre gav följande lösning: E3: I tunneln är det 2 vagnar. E4: 4. E5: 3 Jag räknade. I denna klass uppstod det en fråga av en elev om hur han skulle kunna veta antalet vagnar i tunneln som han inte såg.

5.3.5

Grupparbete i år 2

De starka eleverna i klassen blev här efter redan två avklarade uppgifter snabbt engagerade i att förklara för övriga i gruppen. De förstod nu vad uppgiften gick ut på och att resonemanget var det centrala för att alla i gruppen skulle förstå. Följande resonemang fördes i grupperna: Grupp 1: Vi tänkte att en vagn var utanför och det var tre innanför. Grupp 2: Det var en vagn utanför och då måste det vara tre inne för 3+1=4. När vi gick runt och lyssnade och observerade hörde vi att samtliga grupper blev stärkta av varandras resonemang.

5.3.6

Gruppsamtal i år 2

När vi slutligen skulle diskutera denna uppgift med klassen var tiden vi fått nästan ute, och lunchrasten var nästa punkt på schemat. Resonemanget från vår sida blev därför kort och språkfattigt vilket ledde till att alla elever som ville prata om sin lösning inte fick chansen. De enstaka elever som hann med att prata om sin lösning gav oss följande resonemang: E6: Jag använde mig av minus. Jag visste att loket hade fyra vagnar och jag såg en. Jag tog därför 4-1=3. E7: Jag tänkte på loket som ett lok och inte en vagn, och man såg bara en vagn. Tillsammans visste jag att det skulle vara fyra, och då fanns det bara tre kvar.

5.3.7

Avslutningsvis

Genomgående i alla de uppgifter som vi genomförde såg vi att klass ett kunde ta sig ett steg längre i sitt resonemang än vad klass två klarade. Klass ett valde att använda sig av bilder medan klass två inte tog hjälp av det verktyget och hjälpmedel som fanns tillgängliga. Klass ett kunde däremot inte använda sig av symbolspråket och hade svårare att resonera sig fram i sitt tal. Eleverna vi mötte i klass två var här tydligare i sitt resonemang och språket var mer utvecklat. Vi ser återigen en skillnad mellan klass ett och två. Klass ett är den gruppen som vågar ta för sig i resonemanget och klass två kräver mera ledande frågor av oss som

25 pedagoger. Vi såg tydligt att eleverna i klass ett kunde och vågade resonera sig fram till ett svar. I klass två var eleverna mer osäkra och letade sig fram till ett svar som de trodde att vi ville ha.

5.4

Pedagogens betydelse för den resonerande matematiken

Vi såg under samtliga uppgifter att den resonerande matematiken förde med sig en positiv effekt, vilket var vårt syfte i studien. Men vi såg även pedagogens betydelse efter elevernas egna resonemang och diskussion. Vi som forskare kunde här genom de didaktiska frågorna vad, hur och varför ta eleverna ytterligare ett steg i deras tänkande. Det som skiljde klasserna åt var pedagogernas upplägg och klassrumsklimat. Vi tolkade här genom våra observationer de två olika miljöerna som studien genomfördes i. Klass etts miljö hade ett mer öppet klimat där pedagogen mål i undervisningen verkade vara att få eleverna att tänka ett steg längre för att kunna resonera sig fram. Vi märkte att detta bidrog till att uppgifterna inte blev främmande, de kände sig heller inte obekväma i gruppdiskussionen. När vi sedan befann oss i klass två var klimatet mer slutet. Även att vi som forskare uppmanade till diskussion var det svårt för eleverna att släppa klassrumsreglerna och diskutera med kompisarna. Det var främst i uppgiften om kvadrater (i klass ett) som vi kunde se vår betydelse för den resonerande matematiken. I helklass gick vi som forskare genom uppgiften, gav eleverna små ledtrådar till en lösning samtidigt som vi stöttade dem att tänka själva, vilket de gjorde. Avslutningsvis vill vi genom ett diagram förtydliga effekten av resonerande matematik. Det utfördes 96 uppgifter sammanlagt, endast 29 av dessa klarade att genomföra uppgiften på individnivå.

individuelllt grupp-arbete

Figur 1. Effekten av resonerande matematik, individuellt och i grupp. Här har vi lagt samman samtliga uppgifter och visar på hur många elever som individuellt kunde resonera sig fram i det blåa fältet. Det röda fältet visar att samtliga kunde komma fram till en lösning med hjälp av resonerande matematik i grupp.

26

6

DISKUSSION

I följande avsnitt kommer det att föras en diskussion om effekten av resonerande matematik som varit vår utgångspunk i vår studie. Diskussionen kommer att byggas på de resultat vi fick fram.

6.1

Resonerande matematik

Den resonerande matematiken betyder att vi resonerar oss fram för att komma närmare ett påstående och en slutsats som kan kopplas till en lösning i uppgiften (Lithner, 2007). Processen innebär att språket kopplas till matematiska argumentationer och ett konsekvent tänkande (Hatami, 2007). Detta begrepp blev vår vägledning och det centrala i studien. Vår syn på resonerande matematik har genom resans gång ändrats från att vara bara viktigt till oerhört viktigt. Vi har nu förstått språkets centrala del i denna process eftersom det finns en nära relation mellan tanke och språk som uppstår när människor möter varandra (se t ex Doverborg m fl., 2008). Vi har förstått att all undervisning i skolan bör utgå ifrån elevernas egna tankar efter vår undersökning. Vi har genom undersökningen och tidigare forskning fått en ökad kunskap om dess effekt på eleverna.

6.2

Språkets och kommunikationens centrala delar

Det vi märkte här var att eleverna ute i skolorna inte är vana att använda språket på ett sätt som gör att det leder till en vinst. Med vinst menar vi att språket i resonemanget leder till att de kommer sanningen närmare. De har inte förmågan och självförtroendet att kunna kommunicera och sätta ord på sina tankar. Vygotskij genom Doverborg m fl. (2008) skriver att matematik som språk innefattar en rad termer och begrepp som eleverna måste förstå för att kunna använda. När de har fått denna förståelse utvecklas också tilliten till matematiken. I vår resultatdel visade det sig att denna osäkerhet försvann när eleverna fick arbeta i grupp och språket kunde utvecklas på ett meningsfullt sätt, vilket även Vygotskij (se Doverborg m fl., 2008) styrker genom att säga att språket är betydelsefullt för hela människans språkliga och mentala utveckling. När elever löser problem tillsammans utvecklas deras erfarenheter i det sociala samarbetet. Detta leder till att eleverna gör om sina erfarenheter till sitt egna material, vilket enligt Vygotskij (se Doverborg m.fl.), 2008) innebär att utvecklingen sker från det yttre till det inre. Vygotskij använder här begreppet det ”egocentriska språket”. Detta såg vi tydligt i våra observationer när en elev som var väldigt osäker kopplade samman sina tankar med gruppen och ledde därefter hela klassen närmare sanningen. Just denna händelse kan vi även koppla till Piaget (se Williams m.fl.), 2000) som skriver att när barn möter varandra är de alla på samma nivå och pratar samma språk. Ett sådant samtal gör att eleven hittar en stark motivation till att lita på sig själv och en vilja att våga förändras och förändra andra. Eleven som först påvisade en stark osäkerhet förändrades under resonemangets gång och blev stärkt genom sitt språk. De kunde nu ta hjälp av varandra för att förstå en ny kunskap. Detta pekar på att här sker en ”decentrering” där barnet vinner både sociala och kognitiva fördelar enligt Piaget (se Williams m.fl.), 2000). Det vi kunde se i studien som vi genomförde var det forskarna ovan beskrev. Under processens gång växte denna elev och engagemanget för den matematiska uppgiften blev ett bevis för oss som blivande pedagoger att språket och resonemanget måste få en central plats i klassrummet.

27 Vi såg att eleverna inte lärt sig att använda sitt egna språk för att resonera sig fram i uppgiften. De båda klasserna skiljde sig väldigt mycket åt. Klassrumsmiljön i klass ett tolkade vi som öppet och i klass två som sluten, där den öppna koden (miljön i klassrummet) har samtal och diskussion i fokus vilket det inte gör i den slutna. Dewey (se Englund, 2007) skriver att eleverna måste få lära sig att använda sitt språk redan i tidig grundskola för att senare kunna gå över till skolans språk och sedan kunna använda sig av det i vuxen ålder. Eleverna i klass två kändes, som vi visat på i resultatet, mer osäkra och förvånade över att uppgifterna skulle lösas genom samtal med kamraterna. De hade inte fått träna sig i att reflektera och argumentera över tidigare kunskap vilket Folkesson (1998) refererar till som Deweys ”learning by doing”. Detta begrepp innebär att genom att ge eleverna tid och verktyg till att få reflektera börjar eleverna självmant att söka nya utmaningar och sätta upp nya mål som för dem framåt i utvecklingen. Det var framförallt i uppgiften om kvadrater som decentreringen visade sig. Så gott som alla elever ändrade sitt sätt att tänka vilket ledde till att eleverna kom närmare sanningen som ger svar på vår problemformulering. Vi kunde i denna diskussion höra språkets centrala del i argumentationen där eleverna lärde sig att ta andras ståndpunkter. Denna uppgift gav oss som observatörer mest information om hur resonerande matematik fungerar när den är som bäst. I den forskning och den litteratur vi tagit del av påtalar alla författare vikten av att låta eleverna samtala, sätta ord på sina tankar och samarbeta för att en utveckling ska ske inom matematiken (se t ex Jerlang, 2008; Riesbeck, 2008). Vi ser i vårt resultat att detta arbetssätt ger eleverna en ökande förståelse och vi är införstådda med att denna väg är positiv. Eleverna får på detta sätt öva upp sin förmåga att använda språket som ett verktyg i lärandet. I dagens samhälle och i skolorna menar vi att tid till detta tyvärr inte finns. Vi som pedagoger kommer inte alltid kunna tillåta en diskussion där språket är en central del för att planeringen måste hållas i arbetslaget, vilket känns tragiskt eftersom effekten nu är bevisad. Vi måste i vårt yrke hålla en tidsplanering som är väldigt pressad, detta leder tyvärr till att tiden till diskussioner ofta faller bort. Även Riesbeck (2008) skriver att låta eleverna räkna i tysthet leder till en isolering där det resonerande inte får plats. Bergius, B., Emanuelsson, L. (2008) har gjort en studie som visar att motivationen och lusten för matematik avtar omkring år tre till fyra. Detta var något vi såg i vårt resultat, skillnaden mellan klass ett och klass två var markant när det gäller att resonera sig fram i matematiken. Vi tolkade det som att klass ett hade lättare att ta sig an uppgiften och kände inte lika stor press som klass två. De kunde resonera bättre både enskilt och i grupp och sökte inte det rätta svaret på samma osäkra sätt som klass två. Detta kan bero på de olika kommunikations-nivåerna eleverna möter i åren innan skolan. Klass ett hade fortfarande med sig den lekfulla och felfria känslan till matematik, vilket vi påstår försvinner ju längre upp i åldern man kommer. I vårt resultat visar vi att eleverna i studien fick chansen att lösa uppgifterna utifrån flera uttrycksformer: laborativt material, bilder, skrift och språk. Vi såg genom detta att ett flertal elever (se bild 1) kunde komma längre i sina lösningar med hjälp av detta kommunikationsmedel. De kunde individuellt inte sätta ord på sina tankar utan förlitade sig istället på att materialet skulle visa deras tankegång. Häggblom och Hartikainen (2006) skriver att genom detta arbetssätt gör eleverna en vinst och lär sig att föra nya matematiska resonemang samtidigt som de övar upp sig i att ta ny ställning till sin personliga lösning. Vi menar här att detta inte bara är positivt utan kan ses som ett hinder när de i vardagliga situationer ska resonera sig fram fritt. Eleverna kommer inte alltid ha tillgång till material de kan förlita sig på

28 utan språket och kommunikationen måste få ta större plats i undervisningen. Det vi också märkte var att de starka eleverna i klasserna satte ord på kompisarnas tankar. Detta kopplar vi samman med Vygotskijs ”proximala zon” där eleven utvecklas i samspel med en mer erfaren kamrat som blir en ledare för den svaga eleven vilket bidrar till att en reflektion startar och de tidigare kunskaperna omvärderas till nya (Doverborg m.fl.), 2008). I studien fick vi som forskare tillfälle att observera elevernas utveckling i den proximala zonen. Vi märkte att elevernas tankar utvecklades mer när kamraterna kom med en annan lösning och tog lärarrollen vilket också stärkte deras självkänsla.

6.3

Elevernas resonemang

Vi märkte i vårt resultat en skillnad mellan de resonemang som fördes individuellt, i grupp och i gruppsamtal.

6.3.1

Individuellt resonemang

Under det individuella resonemanget märkte vi, så som vi skrivit ovan, att elevernas språk inte räckte till. De hade svårt att ta sig an uppgifterna och sätta ord på sina tankar. En del av de elever som löste uppgiften på ett resonerande sätt använde sig av hjälpmedel som bilder och laborativt material (se bild 4, E 2). Det var endast några få elever som klarade av att beskriva sin väg fram till lösningen med hjälp av enbart skrift. Detta menar vi beror på att eleverna i dagens samhälle tillåts att räkna i tysthet. Riesbeck (2008) skriver om just det tysta klassrummet som leder till en isolering där eleverna inte får uppleva och upptäcka matematiken från ett språkligt resonerande perspektiv. Vi menar att pedagogerna idag har för lite kunskap och utbildning inom den resonerande matematiken vilket påverkar elevernas förmåga att sätta ord på sina egna tankar. Bergqvist (2006) skriver i sin avhandling att de pedagoger som finns ute på fältet idag underskattar sina elever och deras förmåga att resonera sig fram till en lösning. Under matematiklektionen lägger eleverna enormt mycket tid på att prata med sig själva vilket vi menar inte leder till något positivt inom den resonerande matematiken. Under genomgången av matematikuppgifterna var ett flertal elever nervösa och osäkra. Det vi trodde skulle underlätta för eleverna blev istället ett hinder då de fick höra att uppgifterna inte hade något givet svar utan det var vägen fram till svaret som var det väsentliga. Genom processen fram till lösningen fick vi ändå frågor och tomma blickar som sökte en bekräftelse om de hade angivit rätt svar (se sid 20, E5). Vi tar samma ståndpunkt som Heiberg m.fl. (2004) som skriver att matematiken idag kopplas till svåra multiplikationstabeller, bråk, procent, uppställningar och även uträkningar. Eleverna i dagens skola är låsta vid att matematiken ska se ut och vara på ett visst sätt. De har svårt att se till vad som ligger bortom de fina termerna och begreppen i matematiken.

6.3.2

Resonemang i grupp

Vi har gång på gång fått bevisat för oss genom forskare och egen undersökning att effekten är positiv. Den effekten vi såg stärks av bland annat Säljö (2000), Riesbeck (2008) och Hatami (2007) som alla säger att samspelet mellan människor är en hjälp för att bemästra ny kunskap. Det var främst under denna kategori som syftet och problemet blev besvarat. Under grupparbetena kom samtliga elever närmare sanningen.

29 Resultatet under denna kategori tolkar vi som sagt positiv för elevernas utveckling. Vi menar att det beror på att samtliga elever här fick chansen att inför kamrater argumentera för sin lösning. Detta menar vi bidrog till att eleverna snabbt skapade en känsla av tillfredställelse och en ökad motivation till matematiken. Det var här vi som forskare verkligen fick uppleva och se effekten av detta arbetssätt när eleverna fick höra, se och förstå andras tankemönster (se sid 19, E5). Det intressanta under kategorin var när elevernas olika behov av uttrycksmedel blandades. De som kom till gruppen utan att använda sig av laborativt material blev snabbt engagerade och delaktiga om någon i gruppen förklarade sin lösning med hjälp av annat än papper och penna. Just det här påtalar Ljungblad (2001). Ljungblad skriver att det är detta vi pedagoger måste arbeta och lägga upp vår undervisning utifrån, vi måste lära eleverna att gå från analys (delar) till syntes (helhet). Eftersom vi inte kände till elevernas kunskapsnivå sattes grupperna ihop slumpmässigt. Det fanns säkerligen grupper där starka elever tog överhand och styrde hela gruppen på både ett positivt och negativt sätt. Det positiva menar vi är att eleverna fick ta nya ställningstaganden, medan det negativa synliggjordes i att de svaga eleverna kom i bakgrunden och att deras tankar och argumentationer inte hördes i gruppen. Det som vi tror driver dessa elever framåt är att när dessa elever får höra sina kamraters tankar och lösningar gör de om dessa tankar till sina egna och kunskapen är nu deras.

6.3.3

Gruppsamtal i klass

Det intressanta med denna kategori var att alla grupper gjorde sig hörda, de mer drivande grupperna förde klassen framåt och diskussionen fylldes av engagemang av samtliga elever. Hatami (2007) frågar sig själv om det inte är ett utbildningssjälvmord att låta barn och ungdomar finna en lösning på egen hand utan det ska ske i grupp. Det vi märkte i gruppsamtalen var att det fanns enormt många olika tankar och mönster att bygga undervisningen på efter hur eleverna resonerade. Vi, som pedagoger hade en viktig roll i att föra resonemanget vidare. Eleverna hade och kände att de ledde största delen av diskussionen eftersom det var de sa som byggde kunskapen vidare. Under uppgiften som innebar att dela pengar mellan Lisa och Kalle visade vårt resultat att endast en elev av 32 valde en annan lösning (se sid 21, bild 2, E5). Denna elev var mycket osäker på sig själv men eftersom hans resonemang skilde sig från de övriga valde vi att stötta honom till att förklara sin lösning för övriga i klassen. Detta ledde till att flera i klassen började resonera efter att de hade hört elevens tankemönster (se sid 22, E6, E7, E8 och E9). Denna elev som hade en egen lösning hade svårt att inför klassen sätta ord på sina tankar utan det laborativa materialet. Vi lät eleven hämta pengar för att lättare kunna resonera och förklara vägen fram. När detta hände hjälpte klasskamraterna honom att sätta ett språk till sitt resonemang vilket ledde till en decentrering. Ännu en gång fick vi se hur den positiva effekten av resonerande matematik kan stärka en elevs självkänsla

6.4

Pedagogens roll

Under det individuella arbetet valde vi som genomförde studien att vara tysta för att bättre kunna höra elevernas resonemang. I gruppuppgiften skulle eleverna ta den största platsen själv tillsammans med sina gruppmedlemmar för att komma närmare sanningen vilket de gjorde. Det var först under gruppsamtalet i helklass som vi insåg vad vi som pedagoger har för betydelse när det gäller den resonerande matematiken.

30 Bergius och Emanuelsson (2008) skriver att motivationen och lusten för matematiken redan finns hos eleven, detta är inget vi pedagoger behöver skapa. Elever tycker att matematik är spännande och utmanande vilket ger oss pedagoger goda förutsättningar för att skapa en utveckling. Vi ställer oss en aningen kritiska till detta. Vi menar att motivationen kanske finns där från början men det är vi som pedagoger som måste hitta och utveckla den hos eleven. Eleven är inte kapabel att själv drivas framåt när svårigheterna inom matematiken dyker upp. Pedagogens uppdrag är att ständigt motivera, stimulera och ge chansen till möten och situationer där matematiken får en mening. Vi såg i gruppsamtalen vilken enorm betydelse vi som pedagoger har. Vi håller med de om att det finns förutsättningar i större grupper men det är upp till pedagogen att kunna använda och se dessa möjligheter. Möjligheterna att undervisa på ett resonerande sätt kommer inte av eleverna själva på utan det är vi som ledare som måste bemöta och ge relevanta uppgifter som fångar eleverna på rätt nivå. Vi tror många gånger att det brister eftersom pedagogerna inte har någon kunskap och utbildning inom ämnet de vågar helt enkelt inte att välja bort de färdiga läroböckerna. Även Ljungblad (2000) skriver att många pedagoger står och undervisar i ett ämne de inte är trygga med och lär ut kunskap som de själva fått samla på sig genom åren och som de anser är rätt för eleverna. Berggren och Lindroth (1997) motsätter sig det Bergius och Emanuelsson (2008) skriver. De menar istället att det är upp till pedagogen att utmana eleven för att lust och motivation ska skapas för ämnet. Detta kan ske genom att låta eleverna rita, bygga och diskutera. På detta sätt kan de koppla matematiken till verkligheten och vardagen. Detta var precis vad eleverna i vår studie fick möjligheten att göra. Vi valde att ta plats som ledande flexibel pedagog. Vi hade innan gjort upp klara ramar för vad som skulle undersökas men det var upp till eleverna att bestämma på vilket sätt kunskapen skulle bemästras. Genom detta arbetssätt anser vi att vinsten är störst för både pedagog och elev men vi är också är väl medvetna om att tiden ute i skolorna är pressad och att detta arbetssätt kräver just tid. Med hjälp av vårt engagemang fördes eleverna ännu ett steg närmare sanningen.

6.5

Myndigheters perspektiv & de matematiska kunskaperna

Som vi skrivit innan fick vi det ganska snabbt bevisat för oss att effekten av den resonerande matematiken var positiv, både vårt resultat och olika forskare stärker detta. Redan 1937 förstod forskaren vikten av den resonerande matematiken genom att ha hittat ett trettio tusen år gammalt vargben i Tjeckoslovakien. Redan här skriver Johnsen Hoines (2008) att människan valde att bilda olika uttrycksformer inom matematiken som en hjälp i sin matematiska utveckling. Vi har under arbetets gång fått en förståelse för hur arbetet fram till de matematiska kunskaperna kan skapas på ett mera kunskapsmässigt sätt. Eleverna måste få se matematik från flera olika perspektiv, de måste få en chans att förstå och göra sig förstådda inför sig själva och andra. För att vi ska nå hit med de elever vi möter måste vi erbjuda en mängd olika undervisningsmetoder och de bästa metoderna har vi förstått kommer från eleverna själva. Det som vi anser är mest skrämmande med detta ämne är att utvecklingen av våra kursplaner och läroplaner inte lägger den tyngd på matematik som vi anser är nödvändig. Från 1864 där det för första gången nämndes något om matematik och fram till dagens kursplaner och Lpo 94 har det inte skett någon direkt revolution. År 1969 var ett mål i läroplan följande ”all undervisning skall grundas på förståelse” (Malmer, 1999, s21). Detta mål sågs som en omöjlighet att uppnå av de berörda pedagogerna

31 eftersom de i likhet med dagens pedagoger inte förstod innebörden utav det. Vi menar här att pedagogernas syn inte har förändrats och att kunskapen och utbildningen inom ämnet inte ökat men att målet fortfarande är relevant. Vi tycker som blivande pedagoger att det är skrämmande när vi under 1980talet genom IEA-undersökningen fick det bevisat för oss att svenska elevers kunskapsnivå var lägre än genomsnittliga länder. Detta bidrog till att många skickades på fortbildningar, kort därefter skapades Lpo 94 efter 1980-talets bevisade misslyckanden. Men även om detta misslyckande fick upp våra ögon är det lätt att glömma och gå vidare. Även Skolverket (2000) skriver att eleverna ute i skolorna inte blir bättre på att räkna och svårigheterna inom ämnet ökar. Skolverket såg även att det antal elever som icke blev godkända matematiken låg högre än jämfört med ämnet svenska och engelska. I Lpo 94 och kursplanen 2000 byttes de kvantitativa kunskaperna ut mot kvalitativa. Genom detta var det meningen att den resonerande matematiken skulle få mer plats i undervisningen och att eleverna skulle få chans att bygga upp en självkänsla och tillit till matematiken. Hur ska vi kunna följa läroplanen och kursplanen som säger detta när det finns pedagoger ute på fältet som står utan utbildning och undervisningen fortfarande är densamma? Enligt Skolverkets (2000) rapport om kommentarer till kursplaner som vi nämnt innan ser vi att förändringarna inom matematiken är små i jämförelse med de andra ämnena. Det vi tycker är chockerande är att det inte pågår några drastiska förändringar som ska leda ämnet framåt. De styrdokument som vi ska använda som verktyg och hjälpmedel i vår yrkesroll är bara riktlinjer för hur matematikundervisningen ska gå till. Under vår utbildning är det något som vi lärt oss och det är att alla styrdokument är tolkningsbara. Hur ska vi som blivande pedagoger med den tidspress som råder i skolorna idag kunna föra alla de elever vi möter framåt i sin matematiska utveckling? Vi har genom denna studie fått en hel del kunskap och verktyg som kan vara till hjälp i vår undervisning, men att ha modet och orken att frångå arbetslagets normer och riktlinjer känns för oss skrämmande. Båda två vet vi nu och har fått bevis på att genom den resonerande matematiken föds lust och motivation. Vi måste bara ha tillräkligt mycket självförtroende för att genomföra detta arbetssätt som med all sannolikhet kommer att göra matematiken mindre kravlös och istället spännande för många elever.

32

7

SLUTORD

Att ha haft orken att ta sig an vår studie som vi gjort har vi flera människor att tacka för. Vägen fram till slutresultatet har ibland varit mödosam och hela denna rapport har för oss ibland varit som att lägga ett pussel. Vi hade en gång under vår studietid en lärare som heter Maria Magnusson och som beskrev sin forskning som att lägga ett pussel och där pusselbitarna inte alltid passar. Just så kändes det ibland för oss, vi kunde även känna att en del pusselbitar inte fanns och fick därför börja om från början igen. Vi har även flera personer som vi vill tacka och som gjort och underlättat vårt färdiga pussel. Till en början vill vi tacka vår handledare Constanta Olteanu för all respons som kom fort tillbaka till oss när vi kört fast eller hade förfrågningar. Constanta du har lärt oss hur vi på ett bra sätt kunnat pussla färdigt. Vi vill även tacka Bo Pettersson för tips och idéer med bland annat övningar och litteratur. Bo gav oss mycket energi eftersom han jobbat just med matematik under många år, både som verksam pedagog i skolor och lärare för oss på lärarutbildningen. Tack till Tom Gagner som en dag fick rädda vår rapport som försvunnit från datorn, du var den dagen en ängel utan vingar. Vår examinator Görgen Göransson för att du orkade med alla våra mail och även för din respons. Tack till våra familjer som har fått utstå många klagomål och fått trötta fruar. Eleverna och pedagogerna ute på skolan vi var på, tack för att vi fick komma och göra vår forskning. Det är om er elever som hela rapporten handlar, ni var jätteduktiga. Ett sista tack vill vi ge Reza Hatami som gjorde att vi ville skriva om detta ämne. Vi glömmer aldrig första dagen då vi skulle börja din kurs i matematik, vi var båda livrädda för ämnet och vi tyckte att det var tråkigt samtidigt som vi aldrig trodde att vi skulle klara av din skriftliga salstentamen. Under tidens gång när vi hade Reza gav du oss båda ett självförtroende som gjorde att vi vågade resonera oss fram till en lösning. Många gånger var det mödosamt men med din hjälp sitter vi nu här idag med en kunskap som vi alltid kommer att bära med oss. Kunskapen vi fått kommer vi kunna ge våra blivande elever den dagen vi står som färdiga pedagoger. Vi vet att det även kommer att bli mödosamt för många av våra elever men med vår kunskap kommer vi att tillsammans nå fram till ett bra slutresultat. Tack alla ni som gjort att vi nu har lagt pusslet klart! Liselott Sjöbom och Martina Nelson.

33

8

REFERENSLISTA

Ahlberg, A., Bergius, B., Doverborg, E., Emanuelsson, L., Olsson, I., Pramling Samuelsson, I., Sterner, G. (2005). Matematik från början. NCM/Nämnare. Göteborgs universitet. Berggren, P., Lindroth, M. (1997). Kul matematik för alla – En idébok för 2000 – talets lärare. Värnamo: Fälts Tryckeri. Bergius, B., Emanuelsson, L. (2008). Hur många prickar har en gepard? Unga elever upptäcker matematik. Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM. Tryck: Livréna AB, Kungsälv. Bergqvist, E. (2006). Mathematics and Mathematics Education Two Sides of the Same Coin. Some Results on Positive Currents Related to Polynomial Convexity and Creative Reasoning in University Exams in Mathematics. Doctoral Thesis No. 36, 2006, Department of Mathematics and Mathematical statistics, Umeå: University. Carlgren, I., Marton, F. (2001). Lärare av imorgon. Lärarförbundets förlag. Dahl, K., Nordqvist, S. (2007). Matte med mening, tänka tal och söka mönster. Alfabeta Bokförlag AB. Stockholm. Doveborg, E., Pramling Samuelsson, I. (1999). Förskolebarn i matematikens värld. Stockholm: Liber AB. Doverborg, E., Emanuelsson, G., Forsbäck, M., Johansson, B., Persson, A., Sterner, G., Wallby, A. (2008). Små barns matematik. Göteborgs Universitet NCM. Englund, T. (2007). Utbildning som kommunikation – Deliberativa samtal som möjlighet. Tryck: MediaPrint i Uddevalla AB. Folkesson, A-M. (1998). Teoretisk modell för analys av språkanvändning i olika lärmiljöer, utvecklad i en studie av muntlig framställning. Stockholm: Almqvist & Wiksell International, Stockholm, Sweden. Hatami, R. (2007). Reguladetri – En retorisk räknemetod speglad i svenska läromedel från 1600-talet till början av 1900-talet. School of Mathematics and Systems Engineering. Reports From MSI – Rapporter från MSI. Report 07005 ISSN 16502647 Växjö Universitet. Hatami, R. (2008). Nämnaren Tema: Tidskrift för matematik undervisning - retorisk – resonerande matematik. Göteborg: NCM – Nationellt Centrum för Matematikutbildning. Heiberg Solem, I., Reikerås, E. K. L. (2004). Det matematiska barnet. Stockholm: Natur och Kulltur. Häggblom, L., Hartikainen, S. (2006). Tänk och Räkna F. Lärarhandledning F. Gleerups Utbildning AB. Jerlang, E. (2008). Utvecklingspsyklogiska teorier. Stockholm: Liber AB. Johnsen Hoines, M. (2008). Matematik som språk, Verksamhetsteoretiska perspektiv. Liber AB. Kvale, S. (1997). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund: Studentlitteratur. Kullberg, B. (1996). Etnografi i klassrummet. Studentlitteratur. Lithner, J. (2007) A research for creative and imitative reasoning. Springer Science: Business Media BV. Ljungblad, A-L. (2000). Att räkna med barn – med specifika mattesvårigheter. Tryckeri AB Småland. Ljungblad, A-L. (2001). Matematisk medvetenhet. Argument förlag AB. Löwing, M., Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur.

34 Malmer, G. (1999). Bra matematik för alla. Nödvändigt för elever med inlärningssvårigheter. Studentlitteratur. Nilsson, B., Waldemarson, A-K. (2007). Kommunikationen samspel mellan människor. Studentlitteratur. Riesbeck, E. (2008). På tal om matematik – matematiken, vardagen och den matematik didaktiska diskursen. Linköping Studies in Behavioural Science No. 129 ISBN 97891-7393-948-5. Tryck: LiUTryck, Linköping. Sandahl, A., Unenge, J. (1999). Lärarguide i matematik. Natur och kultur, Stockholm. Skolverket (2000). Kommentarer till kursplaner och betygskriterier, grundskolan. Fritzes ISBN 91-38-31730-3 Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Skolverkets rapport Nr. 221. Nationella kvalitetsgranskningar 2001 – 2002. Stockholm Fritzes. Säljö, R. (2000). Lärandet i praktiken. Ett sociokulturellt perspektiv. Bokförlag Prisma, Stockholm. Taube, K. (2002). Läsinlärning och självförtroende. Stockholm: Fälth och Hässler. Thorberg, R. (2006). Det sociala livet i skolan – Socialpsykologi för lärare. Liber AB. Utbildningsdepartementet. (1998). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet, Lpo94. Stockholm: Skolverket. Williams, P., Sheridan, S., Pramling-Samuelsson, I. (2000). Barns samlärande - en forskningsöversikt. Form och tryckt: Leanders tryckeri AB, Kalmar. Nr 00:550 www.skolverket.se pdf 2360, (2010). Bedömning av kunskap för lärandet och undervisning i matematik – En teoretisk bakgrund av Astrid Petersson, professor vid Stockholms universitet.

BILAGA 1 Hej! Vi är två lärarstudenter som går vår sista termin på Linneuniversitetet i Kalmar. Vi skriver nu vårt examensarbete som handlar om resonerande matematik. Resonerande matematik har koppling till språket som används under matematiklektionerna. Man resonerar sig stegvis fram till lösningen istället för att använda sig av färdiga matematiska formler och modeller. Vi vill nu undersöka hur eleverna lär sig matematik och därför vill vi intervjua elever i skolan. För detta krävs det att du som vårdnadshavare ger oss tillstånd till att intervjua era barn, vi ber er därför att fylla i denna blankett och så snart som möjligt lämna den till respektive lärare i klassen. Under arbetets gång kommer vi enbart ta till vara på elevernas tankar och funderingar. Vi kommer alltså inte att fotografera, filma eller ge ut kommun, skola och barnets namn i den färdigställda rapporten. Det som kommer att dokumenteras är elevernas väg fram till svaret, både enskilt och i grupp. JA mitt barn får delta i studien NEJ mitt barn får inte delta i studien Barnets namn:…………………………………………………… Vårdnadshavare:………………………………………………… Tack på förhand! Liselott Sjöbom & Martina Nelson

BILAGA 2 Hur många kvadrater kan du hitta i figuren?

Berätta hur du kom fram till din lösning, skriv eller rita Gruppens lösning BILAGA 3 Kalle har sex kronor. Lisa har åtta kronor. De ska dela kronorna mellan sig. Hur många får Lisa och hur många får Kalle?

Berätta hur du kom fram till din lösning, skriv eller rita

___________________________________________________ Gruppens lösning

BILAGA 4

Här ser vi eleven med den enda egna lösningen resonera och motivera sitt tankesätt.

BILAGA 5

BILAGA 6

Här kan vi se hur eleverna sedan resonerade sig fram i grupp och fick fram fler kvadrater.

BILAGA 7

Här resonerar en elev med både bilder och språk i form av symboler i skrift och tal.