Fachbereich Wasserwirtschaft Prof. Dr. rer. nat. habil. Andreas Felgenhauer
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SGA 08 – Mathematik I – Serie 1
H2FMpSs
A Wiederholungsaufgaben 1) Ermitteln Sie die L¨ osungen folgender Gleichungen: a) c) e)
(x + 3)(x2 − 2x − 8) = 0 4
b)
2
e
5x + 4 −
√
3x − 2 = 2
2
x + 36 = 13x 2x
√
d) (lnx) + lnx = 2
x
− 3e + 2 = 0
f)
x3 − 5x2 − x + 14 = 0
2) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen: a) y = |x| + 2
b) y = |2x + 1|
d) y = |(x − 2)(x + 4)| 3)
e) y = |x| + |x − 2|
e)y = 1 + | sin 2x|
f ) y = |ln(x − 2)| !
L¨ osen Sie folgende Gleichungen a) d) g) j)
sin x = 0.5 sin x = 1 tan x2 = 1 4 cos x = 3 sin x
b) cos x = 0.3 e) cos x = −1 h) sin 2x = −0.5
c) tan x = 1.2 f) 2 sin x = −2 i) sin2 x + sin x = 0
B Komplexe Zahlen I 4) Bestimmen Sie alle L¨ osungen der quadratischen Gleichungen a)
x2 + 4x − 5 = 0
b) c)
x2 + 4x + 5 = 0 x2 + 4ix + 5 = 0
5) Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 1 + i,
z2 = 2 − i,
z3 = i
und
z4 = −3 + 4i .
Berechnen Sie alle Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten je zweier dieser vier Zahlen. 6) Berechnen Sie z1 =
1 − 4i , 7+i
z2 =
−1 + 2i 1 + 3i
und z3 =
2 − 3i 4i
7) Berechnen Sie z1
=
z2
=
z3
=
(1 + i)(2 + i)(3 + i)(4 + i) 1 − u + 2u2 f¨ ur u = 0.2 − 0.7i 2 − 3u + u2 1 1 1 1 + + + −2 + i 1 + 2i 2 + i −1 + 2i
1
8) Berechnen Sie die Quadratwurzeln der komplexen Zahlen u, indem Sie den Ansatz (a+bi)2 = u ausmultiplizieren (d.h. a2 + 2abi − b2 = u) und die reellen Zahlen a und b so bestimmen, daß die Gleichheit gilt. W¨ ahlen Sie f¨ ur u a)
9)
u = i,
b)
u = −5 − 12i,
c)
u = 3 − 4i
Bestimmen Sie in der Gaussschen Zahlenebene alle Zahlen mit Re z 2 ≥ 0.
10) Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in trigonometrischer Form dar und skizzieren Sie die Zahlen in der Gaussschen Zahlenebene z2 = 1.2 − 0.5i,
z1 = 2 + 3i, z4 = −3 − 4i,
z5 = −2
und
z3 = 5i, z6 = −1.234 + 5.678i .
11) L¨ osen Sie das lineare Gleichungssystem f¨ ur die komplexen Zahlen u und v (2 − i)u u
+ iv + (1 + i)v
2
= =
2+i 2
