Solutions exercices supplementaires

Décembre 2015

Statistiques et Probabilités Exercices supplémentaires : Solutionnaire Exercice 1 Dans une famille de 10 enfants, quelle est la probabilité (sachant que pour chaque naissance, Pr(G) = Pr(F)) : a) qu’il y ait au moins un garçon ; b) qu’il y ait au moins un garçon et une fille ? a) Soit X = nombre de garçon. Pr(X  1) = 1 - Pr(Que des filles) = 1 - (0,5)10 = 1 - 0,0009 = 0.999 b) Pr(Au moins un garçon et une fille) = 1 - Pr(Que des filles) - Pr(Que des garçons) = 0.998 Exercice 2 Les cotes à un examen sont supposées être distribuées normalement avec une espérance de 64 et une variance de 36. a) Quelle est la probabilité qu'une personne passant cet examen obtienne un score supérieur à 60 ? b) Supposons que les étudiants qui se situent dans les 10% supérieurs de cette distribution reçoivent la note A. Quelle est la cote minimum que doit réaliser un étudiant pour obtenir la note A ? Soit X ~ N(64 ; 36) de sorte que Z = (X - 64)/6 ~ N (0 ; 1) a) P(X > 60) = P(Z > (60 - 64) / 6) = P(Z > -0.67) = 1 - P(Z > 0.67) = 0.749 b) P(X > A) = 0.1  P(Z > (A - 64)/6) = 0.1  B = (A - 64)/6 = 1,28  A = 1.28 * 6 + 64 = 71.68 Exercice 3 Un débiteur de boisson est réglé de sorte qu'il débite en moyenne μ centilitres par tasse. Si le nombre de centilitres débité à chaque demande est normalement distribué avec un écarttype de 0,3 centilitre. Quelle doit être la valeur de μ pour que des tasses de 8 centilitres ne débordent que dans 1 % des cas ? X ~ N (μ ; (0.3)2), où X représente le nombre de centilitres débité à chaque demande et on  P(X > 8) = 0.01 veut que X ne dépasse 8 cl que dans 1% des cas  P(Z > (8- μ)/0.3) = 0.01  (8- μ)/0.3 = 2.33  μ = 8 - (0.3 * 2.33) = 7.3 centilitres.

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Exercice 4 Un navire de guerre tire à 10 reprises sur une cible. Si une très longue expérience a montré que le navire atteint sa cible dans 20% des cas, quelle est la probabilité qu’il la coule en 10 tirs ? Utilisation de la table de la Loi Binomiale avec n = 10 ;  = 0,2 ; s peut valoir entre 1 et 10. Pr (s  1) = 0.893, soit 89.3%. Exercice 5 Les étudiants en dessin de l’Académie des Beaux-Arts Losang ont le choix entre différents cours à option dont trois dans la filière sculpture qu’ils suivent dans les proportions suivantes : Sculpture en bois : 30%, sculpture en pierre : 20%, sculpture en métal : 20%. D’entre eux, 5% suivent à la fois le cours de sculpture en bois et en pierre, 10% suivent à la fois le cours de sculpture en bois et en métal et 5% suivent à la fois le cours de sculpture en pierre et en métal. D’autre part, 2% des étudiants suivent les trois cours à options de la filière sculpture. On interroge un étudiant choisi au hasard. Quelle est la probabilité qu’il suive : a) un cours à option de la filière sculpture ? b) uniquement le cours de sculpture en bois ? c) le cours de sculpture en bois ou le cours de sculpture en métal ? On choisit maintenant un étudiant au hasard inscrit dans un cours à option de la filière sculpture. Quelle est la probabilité qu’il suive : d) uniquement le cours de sculpture en bois ? e) le cours de sculpture en bois ou le cours de sculpture en métal ? F = Bois ; B = Pierre ; BB = Métal ainsi que P(Bois) = 0,3 ; P(Pierre) = 0,2 ; P(Métal) = 0,2 ; P(Bois et Pierre) = 0,05 ; P(Bois et Métal) = 0,10 ; P(Pierre et Métal) = 0,05 ; P(Bois et Pierre et Métal) = 0,02. a) P(filière sculpture) = P(Bois) + P(Pierre) + P(Métal) - P(Bois et Pierre) - P(Bois et Métal) P(Pierre et Métal) + P(Bois et Pierre et Métal) = 0.3 + 0.2 + 0.2 - 0.05 - 0.10 - 0.05 + 0.02 = 0.52 b) P(Uniquement bois) = P(Bois) - P(Bois et Pierre) - P(Bois et Métal) + P(Bois et Pierre et Métal) = 0.3 - 0.05 - 0.10 + 0.02 = 0.17 c) P(Bois ou Métal) = P(Bois) + P(Métal) - P(Bois et Métal) = 0.3 + 0.2 - 0.1 = 0.4 d) P(Uniquement bois | filière sculpture) = 0.17 / 0.52 = 0.33 e) P(Bois ou Métal | filière sculpture) = 0.4 / 0.52 = 0.77

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Exercice 6 La maison d’édition Les Presses Scriptions veut estimer le pourcentage de livres imprimés qui présentent certains défauts et qui ne peuvent être vendus. Elle choisit un échantillon de taille 100. Le véritable pourcentage est de 8.5%. Quelles sont les chances pour que le pourcentage de l’échantillon se situe à moins de 1% du pourcentage de la population ? On connaît : n = 100, p = 8,5% = 0,085     .075  0 .085 0 .095  0 .085 0   z  p P(0.075 < < 0.095) =  0  .085 * 0 .915 0 .085 * 0 .915   100 100   P (  0 . 3586  z  0 . 3586 )  P ( z  0 . 3586 )  P ( z   0 . 3586 )  1  P ( z  0 . 3586 )  P ( z  0 . 3586 )  1  2 P ( z  0 . 3586 )  1  2 * 0 . 3594  0 . 2812

Exercice 7 Les montants en € des comptes recevables de la compagnie Denis Doizeau sont distribués normalement avec une moyenne de 10.000€ et un écart type de 2.000€. Quelle est la probabilité que la moyenne d’un échantillon aléatoire de 400 comptes soit entre 10.000€ et 10.200€ ? X (montant des comptes) ~ N(10000 ; 2000²) avec n = 400.

X ~ N(μ ; σ²/n). Ici, X ~N(10000 ; 2000²/400) On cherche     10000  10000 10200  10000    P  z  P(10000 < X < 10200)  2000 =P(0 < z < 2) = P(z < 2) - P(z < 0) = 2000   400 400   0.477.

Exercice 8 La compagnie de tuyaux D. Boucher vient de recevoir une livraison de tuyaux et elle veut estimer le diamètre moyen de ces tuyaux. On sait que dans le passé l’écart type du diamètre était de 0.07cm. Construisez un intervalle de confiance pour µ à un niveau de confiance de 99% si un échantillon de 50 longueurs a donné une moyenne de 2.55 cm. On dispose des informations suivantes : X = 2,55 ;

 = 0.07 ; n = 50.

En général, un intervalle de confiance à (1-α)% pour la moyenne µ, grand échantillon est donné par : X ± zα /2 𝜎/√𝑛 = 2.55 ± 2.58 * 0,07 / √50 = 2.55 ± 0.0255. IC (99%) = [2.5245 ; 2.5755]

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Exercice 9 D’un concours national en calcul statistique, on a tiré un petit échantillon de 10 cotes et ce, de manière aléatoire : 71 74 65 72 64 63 62 62 60 80 On vous demande : a) de calculer la moyenne et l’écart type de l’échantillon ; b) de construire un intervalle de confiance (95%) pour la moyenne des côtes du concours national. a) X = 673/10 = 67.3 points Variance = s2 = 386.1/9 = 42.9 Ecart-type = s = 6.55 points b) Attention : nous disposons d’un petit échantillon. Nombre de degré de liberté = 9. Intervalle de confiance à 95% calculé à partir de la loi de Student : t.025.   ( 67.3 + 2.26 * (6.55 / V 10)) = ( 67.3 + 4.68) IC (95%) = [62.62 ; 71,98]

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