Sommes de variables aléatoires indépendantes.

Université Pierre et Marie Curie Probabilités et statistiques - LM345

2013-2014 Feuille 7 (semaine du 28 au 31 octobre)

Sommes de variables aléatoires indépendantes. 1. Indépendance d’événements et de variables aléatoires. a) Donner un exemple d’un espace de probabilité et de trois événements A, B, C sur cet espace de probabilité tels que P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C) mais tels que A, B, C ne soient pas indépendants. b) Déterminer à quelle condition une variable aléatoire réelle est indépendante d’ellemême. On pourra étudier sa fonction de répartition. 2. Soient E = {x1 , x2 , x3 } et F = {y1 , y2 , y3 } deux parties finies de R. Pour chacune des matrices P = (Pij )i,j=1,2,3 ci-dessous, on considère un couple (X, Y ) de variables aléatoires à valeurs dans E × F tel que pour tous i, j ∈ {1, 2, 3}, on ait P(X = xi , Y = yj ) = Pij . Déterminer si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.   1 1 3 1   1 1 3 1 0 0 0 0 4 12 4 32 32 4 32 32 3 12 2  2 1 1  2 1 1  , P =  15 P =  15 . P =  0 0 0  , P =  17 17 17 20 60 20 20 17 1 1 1 17 17 1 1 0 0 0 0 6 2 60 160 480 4 10 24 (cf. Examen 2011, exercice 1) 3. Soit (Ω, F , P) un espace de probabilité. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur (Ω, F , P), toutes de loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[. a) On définit, pour tout n ≥ 1 et tout ω ∈ Ω, Sn (ω) = le nombre d’entiers k ∈ {1, . . . , n} tels que Xk (ω) = 1. Déteminer la loi de Sn . Les variables (Sn )n≥1 sont-elles indépendantes ? b) On définit, pour tout ω ∈ Ω, T1 (ω) = min{n ≥ 1 : Xn (ω) = 1}, avec la convention min ∅ = +∞. Calculer P(T1 = +∞) puis déterminer la loi de T1 . c) On définit maintenant, pour tout ω ∈ Ω, T2 (ω) = min{n > T1 (ω) : Xn (ω) = 1}. Déterminer les lois de T2 et de T2 − T1 . Les variables T1 et T2 sont-elles indépendantes ? Qu’en est-il des variables T1 et T2 − T1 ? 1

4. (Examen 2011, 2ème session) Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire dont la loi admet la densité y 1 f(X,Y ) (x, y) = e−x− x 1]0,+∞[ (x)1]0,+∞[ (y) x par rapport à la mesure de Lebsegue sur R2 . a) Déterminer la densité de X. Quelle est le nom de cette loi ? b) Calculer, pour tout entier n ≥ 0, l’intégrale Z ∞ xn e−x dx 0

c) Calculer, pour tout entier n ≥ 1, l’espérance de Y n . d) Les variables X et Y sont-elle indépendantes ?
Y e) On pose (T, Z) = X, X . Déterminer la loi du vecteur (T, Z). 5. Lois discrètes classiques Calculer, de deux manières différentes, la loi de : a) la somme de deux variables aléatoires indépendantes, l’une de loi de binomiale de paramètres n et p, l’autre de paramètres m et p, où p ∈ [0, 1] et m, n sont deux entiers. b) la somme N1 +. . . +Np où les Ni sont indépendantes et où Ni suit une loi de Poisson de paramètre λi . 6. Somme de gaussiennes Soient X et Y des variables aléatoires indépendantes de lois respectives N (µ1 , σ12 ) et N (µ2 , σ22 ). Soient a, b et c des réels. Déterminer la loi de aX + bY + c. 7. Soit (Ω, F , P) un espace de probabilité. Soient N, X1 , X2 , . . . : (Ω, F , P) → N des variables aléatoires indépendantes. On suppose que N suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0 et que X1 , X2 , . . . sont identiquement distribuées. On pose R = X1 + . . . + XN , c’est-à-dire, pour tout ω ∈ Ω, N (ω) X R(ω) = Xk (ω). k=1

a - Si N et Xn sont de carré intégrable, en déduire E(R) et Var(R) en fonction de E(X1 ), E(N ), E(N ), Var(N ). b - Connaissant le nombre moyen (µ) d’accidents par semaine dans une usine, la variance (σ 2 ) de ce nombre, la moyenne ν (et la variance τ 2 ) du nombre d’individus blessés dans un accident, estimez le nombre moyen et la variance du nombre d’individus blessés en une semaine.

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