Statistiques

Leçon 12 – Intervalle de Fluctuation

Pré requis : - Epreuve et schéma de Bernoulli - Loi Binomiale - Loi Normale et théorème Moivre – Laplace

I)

Généralités et fluctuation d’échantillonnage

L’étude de la loi de probabilité d’une variable aléatoire permet d’obtenir des informations, voire des quasi certitudes, à partir d’observations aléatoires.

Contexte La situation de référence est celle de l’étude d’une population dans laquelle on s’intéresse à un caractère de probabilité p, supposée connue. Le tirage au sort dans une population d’un individu qui peut présenter un caractère C avec une probabilité p est une épreuve de Bernoulli de paramètre p, où le succès est l’issue : « avoir le caractère C »

Définition Un échantillon de taille n est une liste de n résultats obtenus par la répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques. Remarque : Le prélèvement au hasard d'un échantillon de taille n dans cette population s'assimile à un schéma de Bernoulli. Définition Un intervalle de fluctuation au seuil α est l’intervalle centrée autour de la valeur exactes de la proportion p du caractère dans la population, où se situe, avec une probabilité égale à α, la fréquence observée (avec 0 < α < 1).

Remarque : Les distributions de fréquence varient d’un échantillon à l’autre (plus la taille des échantillons sera petite, plus les écarts pourront être grands), ce phénomène est appelé fluctuation d’échantillonnage Intérêt : Dans la pratique, on se servira des intervalles de fluctuation à un seuil donnée (souvent 0.95) pour rejeter ou non une hypothèse sur une proportion.

II)

Intervalles de fluctuation a) En classe de 𝟐𝒅𝒆

Définition Soit un échantillon de grande taille (n≥25), et p la probabilité de l’épreuve de Bernoulli (0,2≤ p ≤0,8) alors on appelle intervalle de fluctuation au seuil 95% l’intervalle I = [𝑝 −

1 √𝑛

; 𝑝+

1 √𝑛

]

Remarque : Cela signifie que pour environ 95% des échantillons de taille n, la fréquence observée de succès f, appartiendra à l’intervalle I.

b) En classe de 𝟏𝒆𝒓 Soit 𝑋𝑛 la variable aléatoire, qui compte le nombre de succès (au sens de l’épreuve de Bernoulli), 𝑋𝑛 suit donc une loi Binomiale B(n,p). 𝑋 On lui associera F = 𝑛𝑛 , la variable aléatoire qui prend en compte la fréquence de succès

Définition L’intervalle de fluctuation au seuil 95%, associé à une variable aléatoire X suivant une loi 𝑎

𝑏

𝑛

𝑛

binomiale de paramètre n et p, est l’intervalle I = [ ; ], où a et b sont définis par : - a est le plus petit des entiers k vérifiant P(𝑋𝑛 ≤k) > 0,025 - b est le plus petit des entiers k vérifiant P(𝑋𝑛 ≤k) ≥ 0,975 Cas général L’intervalle de fluctuation au seuil α associé à une variable aléatoire 𝑋𝑛 suivant une loi 𝑎

𝑏

𝑛

𝑛

binomiale de paramètre n et p, est l’intervalle I = [ ; ], où a et b sont définis par : - a est le plus petit des entiers k vérifiant P(𝑋𝑛 ≤k) >

1−𝛼 2

- b est le plus petit des entiers k vérifiant P(𝑋𝑛 ≤k) ≥ 1 −

1−𝛼 2

Remarque : Les déterminations de a et b seront réalisées en utilisant les ressources d’un outil de calcul électronique (ex) Excel).

c) En classe de 𝑻𝒆𝒓 Théorème Soit X la variable aléatoire qui suit la loi Normale centrée réduite. Il existe un unique réel 𝑢𝛼 tel que P (-𝑢𝛼 < X