Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s

TS. Évaluation 2 -Correction

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1 ( 3 points ) Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s’entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive. Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité. Dans tout l’exercice, on arrondira les résultats à 10−3 près.

1° Le joueur s’apprête à recevoir une série de 20 balles. a) Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite ? À la répétition, 20 fois de façon indépendante d’une épreuve à 2 issues (succès si la balle est envoyée à droite) on peut associer une variable aléatoire X, qui comptabilise le nombre de balles envoyées à droite.   1 1 X suit une loi binomiale de paramètres n = 20 et p = . X ,→ B 20 ; 2 2 P (X = 10) =

   20 20 10 10 1 ' 0, 176 p q = 184 756 × 2 10

b) Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite ? P (5 6 X 6 10) = P (X 6 10) − P (X 6 4) À la calculatrice, on obtient :

P (5 6 X 6 10) = 0, 582

2° Pour augmenter la difficulté le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles peuvent être soit « liftées » soit « coupées ». La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche. Les réglages de l’appareil permettent - la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est 0, 24 ; d’affirmer que : - la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est 0, 235. Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu’elle soit envoyée à droite ? On note L l’événement « la balle est liftée » et D l’événement « la balle est envoyée à droite ». On peut construire un arbre pondéré pour aider au raisonnement : PD (L)

L •P (L ∩ D) = 0, 235

PD (L)

L

D 0, 5 • 0, 5

0, 52

L •P (L ∩ D) = 0, 26

0, 48

L •P (L ∩ D) = 0, 24

D

Si le lance-balle envoie une balle coupée, calculons la probabilité qu’elle soit envoyée à droite , c’est à dire PL (D). On a : PD (L) = 1 − PD (L) = 1 −

P (D ∩ L) 0, 24 =1− = 1 − 0, 48 = 0, 52. P (D) 0, 5

On en déduit : P (L ∩ D) = P (D) × PD (L) = 0, 26 et P (L) = P (L ∩ D) + P (L ∩ D) = 0, 26 + 0, 235 = 0, 495. Finalement :

PL (D) =

P (L ∩ D) 0, 26 = = 0, 525 0, 495 P (L)

à 10−3 près

2 ( 5 points ) Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui sont favorables à un projet d’aménagement du territoire. Pour cela, on interroge un échantillon aléatoire de personnes de cette population, et l’on pose une question à chaque personne. Partie A : Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage Dans cette partie, la probabilité qu’une personne interrogée accepte de répondre à la question est égale à 0, 6. 1° L’institut de sondage interroge 700 personnes. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes interrogées qui acceptent de répondre à la question posée.

a) Quelle est la loi de la variable aléatoire X ? Justifier la réponse. L’expérience consistant à interroger une personne est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0, 6 en convenant d’appeler succès le fait que la personne accepte de répondre à la question. On est alors en présence d’une succession de 700 épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes (puisque la probabilité qu’une personne accepte de répondre reste constante). La variable aléatoire X dénombrant les personnes ayant accepté de répondre suit donc une loi binomiale de paramètres n = 700 et p = 0, 6 X ,→ B (700 ; 0, 6) b) Quelle est la meilleure approximation de P (X > 400) parmi les nombres suivants ? À l’aide de la calculatrice : Par suite :

0, 92

0, 93

0, 94

0, 95.

P (X 6 399) ' 0,057 3.

P (X > 400) = P(X > 399) = 1 − P (X 6 399) ' 0,942 7 La meilleure valeur approchée est 0, 94

2° Combien de personnes l’institut doit-il interroger au minimum pour garantir, avec une probabilité supérieur à 0, 9 que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à 400. Lorsque n personnes sont interrogées, notons Xn la variable aléatoire égale au nombre de personnes acceptant de répondre . Xn suit une loi binomiale de paramètres n et p = 0, 6. On cherche le plus petit entier n tel que P(Xn > 400) > 0, 9. Puisque

P (Xn > 400) > 0, 9 ⇐⇒ 1 − P (Xn 6 399) > 0, 9 ⇐⇒ P (Xn 6 399) < 0, 1

la question est de déterminer, parmi les entiers n vérifiant P(Xn 6 399) < 0, 1 le plus petit.   P (X693 6 399) ' 0,103 4 La calculatrice donne et   P (X694 6 399) ' 0,095 5   Puisque la suite P (Xn 6 399) est décroissante, alors 694 est le plus petit entier n convenant Partie B : Correction due à l’insincérité de certaines réponses Dans cette partie, on suppose que, parmi les personnes sondées qui ont accepté de répondre à la question posée, 29 % affirment qu’elles sont favorables au projet. L’institut de sondage sait par ailleurs que la question posée pouvant être gênante pour les personnes interrogées, certaines d’entre elles ne sont pas sincères et répondent le contraire de leur opinion véritable. Ainsi, une personne qui - soit être en réalité favorable au projet si elle est sincère. se dit favorable peut : - soit être en réalité défavorable au projet si elle n’est pas sincère. Par expérience, l’institut estime à 15 % le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l’opinion de la personne interrogée. Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes favorables au projet, à l’aide d’un modèle probabiliste. On prélève au hasard la fiche d’une personne ayant répondu, et on définit : • F l’évènement « la personne est en réalité favorable au projet » ; Ainsi, on a P (A) = 0, 29. • A l’évènement « la personne affirme qu’elle est favorable au projet » ; 1° En interprétant les données de l’énoncé, indiquer les valeurs de PF (A) et PF (A). L’institut estime à 15 % le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l’opinion de la personne interrogée.

On en déduit que PF (A) = PF A = 0, 15 Et comme PF (A) + PF A = 1, on a : PF (A) = 0, 85 2° On pose x = P (F ). Compléter l’arbre de probabilité en annexe 1 et en déduire une égalité vérifiée par x . Annexe 1 - Ex 2.

0, 85

A

F x

0, 15

1−x

0, 15

A

• A

F 0, 85

A

D’après la formule des probabilités totales,

P (A) = P (A ∩ F ) + P A ∩ F . Mais P (A) = 0, 29, P (A ∩ F ) = 0, 85x et P A ∩ F = 0, 15(1 − x). On en déduit que x est solution de

0, 29 = 0, 85x + 0, 15(1 − x)

3° Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement favorables au projet. Il suffit de résoudre 0, 29 = 0, 85x + 0, 15(1 − x). On trouve

x=

14 = 0, 2 70

20 % des personnes ayant répondu au sondage sont favorables au projet. 3 ( 2 points ) Un kangourou se trouve sur route déserte et graduée d’Australie occidentale, initialement au point origine de la route. À chaque instant il saute d’un cran vers l’avant ou vers l’arrière avec la même probabilité. 1° Analyser l’algorithme en annexe 2 et dégager précisément ce qu’il permet de calculer. L’algorithme ci-dessous simule 1 000 sauts du kangourou et il affiche, le nombre p de passages au point de départ (origine de la route) entre les instants 1 et 1 000. Annexe 2 - Ex 3. Variables : A , k, p sont des nombres entiers Traitement : Affecter à A la valeur 0 Affecter à p la valeur 0 Pour k variant de 1 à 1 000 si alea(0, 1) < 0, 5 alors Affecter à A la valeur A − 1 sinon Affecter à A la valeur A + 1 Fin si si A = 0 alors Affecter à p la valeur p + 1 Fin si Fin Pour Afficher p Fin algorithme alea(0, 1) est une commande qui génère un nombre entre 0 et 1 de façon pseudo-aléatoire. 2° a) Expliquer le choix de l’expression booléenne « alea(0, 1) < 0, 5 » de la première instruction conditionnelle. Il y a une chance sur deux que la valeur générée par la commande alea(0, 1) soit un nombre strictement inférieur à 0, 5.

La condition « alea(0, 1) < 0, 5 » modélise donc le fait que le kangourou saute vers l’arrière avec une probabilité 1 . 2 b) Comment modifier cette condition, si le kangourou (qui saute toujours à chaque instant soit d’un pas vers l’avant, soit d’un pas vers l’arrière) n’a plus qu’une chance sur quatre de faire un saut en arrière ? Il suffit de remplacer la condition « alea(0, 1) < 0, 5 » par l’expression

alea(0, 1) < 0, 25