Surreservation_aerienne

Un exemple d’utilisation de l’approximation de la loi binomiale par la loi normale Surréservation aérienne Il arrive assez souvent que le nombre de réservations pour une liaison aérienne soit supérieur au nombre de passagers se présentant effectivement le jour du vol. Cela est dû à des empêchements imprévisibles de certains passagers et à une politique systématique de certains d’entre eux qui réservent des places sur plusieurs vols de façon à choisir au dernier moment celui qui leur convient le mieux (en raison de la concurrence, les compagnies ne pénalisent pas les clients qui se désistent et ne font payer effectivement que ceux qui embarquent). Etudions un exemple : Pour compenser le manque à gagner, une compagnie aérienne exploitant un avion de 300 places décide de faire de la surréservation (surbooking) en prenant pour chaque vol un nombre n > 300 de réservations. S’il se présente plus de 300 passagers à l’embarquement, les 300 premiers arrivés prennent leur vol et les autres sont dédommagés financièrement. On considère que les passagers sont mutuellement indépendants et on évalue statistiquement la probabilité de désistement de chacun d’eux à 10%. On note n le nombre de réservations prises par la compagnie pour un vol donné et Sn le nombre (aléatoire) de passagers se présentant à l’embarquement pour ce vol. On se propose de chercher la valeur maximale de n telle que : P(S n  300)  0,99.(en clair, on voudrait avoir 99% de chances de ne pas avoir à payer de dédommagement à des passagers) Le théorème de De Moivre-Laplace, (id. le TLC au final) permet de donner une solution approchée à ce problème. La variable aléatoire Sn suit la loi binomiale B( n ; 0,9) , de moyenne m  np  0,9n , et d’écart type :   npq  n  0,9  0,1  0,3 n . Cette loi peut être approchée par la loi normale

N(

0,9n ; 0,3 n ). Il s’agit de trouver la plus grande valeur de n vérifiant : P(Sn  300)  0,99 . S  0,9n La variable Tn  n peut être approximée par la loi normale centrée réduite. C’est ici le 0,3 n cœur du théorème S  0,9n 300  0,9n 300  0,9n Sn  300 équivaut à : n , c’est-à dire à : Tn  . (L’énoncé du  0,3 n 0,3 n 0,3 n TML donne directement cette phase) Or une table de la loi normale centrée réduite (ou une calculatrice) donne précisément la probabilité de l’évènement Tn  t selon les valeurs de t avec un pas de 1/100. Cette probabilité dépasse 0.99 à partir de t=2,33. 300  0,9n  2,33 . Il suffit donc de choisir n de façon à ce que : 0,3 n

Cette équation s’écrit : 0,9n  0,699 n  300  0 . La solution positive de l’équation :0,9x2 + 0,699x – 300 = 0 est 17,87, au centième près, et son carré est : 319,45, toujours au centième. Si on prend jusqu’à 319 réservations, sous les hypothèses de notre modélisation, le nombre de passagers se présentant à l’embarquement ne dépassera pas 300 au risque maximum de 1%. (Le

mot « au risque » n’est pas clair pour un non initié aux tests d’hypothèse : peut être parler de probabilité ?) En remplaçant 0,9 par p, on obtient une formule compliquée, mais qu’un tableur permet d’utiliser sans difficulté : L’équation trouvée plus haut s’écrit :

pn  2,33 p(1  p). n  300  0 , et en posant x  n de discriminant 2,332 p(1  p)  1200 p ce qui équivaut à :

n

 2,33 (1  p)  2,332 (1  p)  1200 2 p

(exact)

On a gardé ici un résultat non entier pour obtenir une courbe continue. Peut être rappeler le problème, ici de paramètre n et p : On cherche, appelant p la probabilité q’un passager NE SE DESISTE PAS, quelle nombre de réservation accepter pour que l’on ait 99% de chances de ne pas avoir à payer de dédommagement à des passagers) On voit que le résultat varie beaucoup en fonction de la valeur donnée à p ! Selon qu’on évalue p à 0,90 ou à 0,85, le nombre de surréservation acceptable passe de 19 à 35 ! On conçoit que la validité de ce type de calcul soit sujette à discussion ! en tous cas on voit bien qu’avec une proba de désistement de 50% , on peut surbooker de presque 90%...

p 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1

rac(n) 27,73239 25,996444 24,5640362 23,357586 22,3249475 21,4296844 20,645572 19,9533391 19,3386939 18,7911756 18,3037042 17,8732147 17,5052068 17,3205081

n 769,085454 675,815103 603,391873 545,576825 498,403283 459,231375 426,239642 398,135741 373,985084 353,10828 335,025588 319,451803 306,432264 300