Talföljder och summor

Talföljder och summor En följd av tal (talföljd) kan bestå av ett ändligt eller oändligt antal tal. När vi talar om talföljd ska talen stå i en bestämd ordning och följa en matematiskt formulerbar regel. Exempel 1. 2, 4, 6, 8, 10, …, 100 Denna talföljd är ändlig och följer formeln f(n) = 2n, där n = 1, 2, 3, …, 50 Vill man ange ett tal i talföljden kan man t ex skriva a4 = 8 där a4 anger det 4:de talet i talföljden. Exempel 2. 2, 4, 6, 8, 10, … Denna gång är talföljden oändlig. Fortfarande kan vi peka ut ett visst tal med skrivsättet an. Talet an kan följa formeln an =2n, där n = naturliga positiva tal. Men man skulle också kunna beskriva talen på ett alternativt sätt med hjälp av en så kallad rekursionsformel: an = an-1 +2, a1 = 2 Man använder i rekursionsformeln det föregående talet för att få fram det påföljande talet. Det 1:a talet gavs som a1 = 2 Det 2:a talet beräknas enligt: a2 = a1 +2 = 2 + 2 = 4 Det 3:e talet beräknas enligt: a3 = a2 +2 = 4 + 2 = 6 osv Härnäst ska vi titta på två vanligt förekommande typer av talföljder.

Aritmetisk talföljd I en aritmetisk talföljd är differens mellan två på varandra följande tal konstant. Betrakta t ex den aritmetiska talföljden 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64. Differensen (d) = 5 eftersom 14 – 9 = 5, 19 – 14 = 5, 24 – 19 = 5, osv Det här betyder att vi kan skriva en rekursionsformel för talföljden ovan enligt an+1 = an + 5 , dvs. vi lägger till differensen för att komma till nästa tal. Allmän formel för en aritmetisk talföljd Man kan visa att n:te talet kan skrivas med hjälp av följande formel an = a1 + (n-1)·d Detta kan läsas som n:te talet = det 1:a talet + (antalet termer – 1)*differensen dvs. talen är a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d , a1 + 4d , …… a3 , a4 , a5 , …… och svarar mot a1 , a2 , Aritmetisk summa Summering av n första talen i en aritmetisk talföljd ges av följande formel: n(a1 + an ) sn = 2 Exempel Betrakta talföljden 4, 7, 10, 13, 16, 19, …. Är talföljden aritmetisk? Om ja ge det 10:e talet och beräkna summan av de första 30 talen. Lösning. a10 = ? Differensen är konstant 3 vilket säger att det är en aritmetisk talföljd. a1 = 4 d= 3 ger a10 = a1 +(10 – 1)·d = 4 + 9·3 = 31 Svar: a10 = 31 1

s30 = ? Vi måste veta a30 . a30 = a1 +(30 – 1)·d = 4 + 29·3 = 91 n(a1 + an ) 30(4 + 91) = = 1425 Svar: s30 = 1425 sn = ger s30 2 2

Geometrisk talföljd Den här talföljdstypen används bland annat för ekonomiska beräkningar. En talföljd där kvoten mellan två på varandra följande tal är konstant kallas för geometrisk talföljd. Den konstanta kvoten kallas också talföljdens kvot. Allmän formel för en geometrisk talföljd Det n:te talet i en geometrisk talföljd ges av n-1 an = a1·k Detta kan läsas som n:te talet = det 1:a talet · kvoten upphöjd till (antalet termer – 1) 1 2 3 4 dvs. talen är a1 , a1·k , a1·k , a1·k , a1·k , …… och svarar mot a1, a2 , a3 , a4 , a5 , …… Geometrisk summa Summan av de n första talen i en geometrisk talföljd kan beräknas med formeln a (kn − 1) sn = 1 k −1 Exempel 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192 24 6 12 =2 , =2 , =2 , 12 3 6

48 = 2 osv ger konstant kvot k=2 24

n-1

Det n:te talet ges av an = 3·2 5-1 4 Tex ges det 5:te talet av a5 = 3·2 = 3·2 =48 Summan av de 5 första talen beräknas då enligt a (kn − 1) 3(25 − 1) ger s5 sn = 1 = = 93 k −1 2 −1

Det finns många olika typer av talföljder. De vanligaste är aritmetisk talföljd och geometrisk talföljd. En aritmetisk talföljd karaktäriseras av att differensen mellan två på varandra följande tal är konstant. I en geometrisk talföljd är kvoten mellan ett tal och närmast föregående tal konstant. Vanliga beteckningar som används i samband med talföljder n betecknar antalet tal i talföljden

a1 , a2 , a3 ...an betecknar första, andra, tredje ..... t.o.m. det n:e talet i talföljden d betecknar differensen i en aritmetisk talföljd k betecknar kvoten i en geometrisk talföljd sn betecknar summan av de n första talen i en talföljd Lägg märke till hur man betecknar det n:e talet,

an , i en talföljd.

2

Den formel som kanske kommer till mest användning är formeln för summan av en geometrisk serie

sn= a1 ⋅

k n −1 k −1

Formeln används ofta vid ränteberäkningar. En typisk tillämpning på formeln är följande exempel. Du sätter in 1000 kr i slutet av varje år fr.o.m 2014 t.o.m. 2023, dvs du gör 10 insättningar. Räntesatsen är hela tiden (lite orealistiskt) 3%. Om man sätter in pengar vid varje årsskifte under en tioårsperiod (regelbundna insättningar), kommer de olika insättningarna att ”generera” ränta under olika lång tid. Vill man ha reda på den totala behållningen efter tio år, blir det tio olika poster som ska adderas, och det görs smidigt med summaformeln ovan. I det här exemplet är

a1 = 1000 , k = 1, 03 , n = 10

Insättning i summaformeln

= sn 1000 ⋅

1, 0310 − 1 1, 03 − 1

ger svaret 11463,8793... kr

3