td 3 : lois de probabilites continues

TD 3 : LOIS DE PROBABILITES CONTINUES Semestre 5, Licence Sciences Commerciales 2012 - 2013

Loi uniforme Exercice 1. On remplit un verre de volume 20 cl d’une quantité aléatoire d’eau choisie uniformément entre 0 et 20 cl. Soit V la variable aléatoire correspondant à la quantité d’eau dans le verre. 1. Donner la loi de probabilité de V , son espérance et sa variance. 2. Dessiner sa fonction de densité de probabilité de V . 3. Quelle est la probabilité d’obtenir moins de 5 cl d’eau ? 4. On vide 5 verres ainsi remplis dans une grande bassine. Quelle quantité moyenne d’eau obtient-on dans la bassine ? Exercice 2. Un rat que l’on fait entrer par un n ?ud dans un labyrinthe en forme de H hésite quelques instants entre les trois directions possibles. La durée de son hésitation (en secondes) est une variable aléatoire X distribuée selon une loi uniforme de moyenne 1, 08 (on suppose que le temps d’hésitation minimum est de 0 seconde). 1. Quels sont les paramètres de la loi de X ? 2. Quelle est la fonction de densité de X ? 3. Quelle proportion de rat hésite moins d’une seconde ? 4. Quelle est la probabilité qu’un rat choisi au hasard hésite entre une et deux secondes ?

Loi exponentielle Exercice 3. Une étude des temps d’attente dans un fast-food a montré que le temps moyen d’attente pour être servi après avoir commandé était de 60 secondes. Supposez qu’une loi exponentielle s’applique au temps d’attente. 1. Quelle est la probabilité qu’un client attende au plus 30 secondes ? 2. Quelle est la probabilité qu’un client attende moins de 1 minute ? 3. Quelle est la probabilité qu’un client attende plus de 2 minutes ? 4. Quelle est la probabilité qu’un client attende entre 1 et 2 minutes ? Exercice 4. Dans une population cellulaire, la durée de vie d’une cellule choisie au hasard suit une loi exponentielle d’espérance 100 (jours). Déterminer la médiane et le premier quartile de la durée de vie de cette population.

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Loi normale Exercice 5. Soit Z une v.a. normale centrée réduite. Utilisez la table des probabilités de la loi normale centrée réduite pour calculer les probabilités suivantes : 1. P (0 ≤ Z ≤ 0, 83) 2. P (−1.57 ≤ Z ≤ 0) 3. P (Z > 0, 44) 4. P (Z ≤ −0, 23) 5. P (Z > −0, 71) 6. P (−1, 98 ≤ Z ≤ 0, 49) 7. P (−1, 75 ≤ z ≤ −1, 04) Exercice 6. Etant donné que Z est une v.a. normale centrée réduite, trouvez la valeur z de Z dans les cas suivants : 1. L’aire à gauche dez est égale à 0,2061 2. L’aire entre ?z et z est égale à 0,9606 3. L’aire entre ?z et z est égale à 0,1114 4. L’aire à gauche de z est égale à 0,9871 5. L’aire à droite de z est égale à 0,6915 Exercice 7. Le temps moyen qu’un abonné passe à lire le Wall Street Journal est de 49 minutes. On suppose que l’écart-type du temps de lecture est de 16 minutes et que ce temps est normalement distribué. 1. Quelle est la probabilité qu’un abonné passe au moins une heure à lire le journal ? 2. Quelle est la probabilité qu’un abonné ne passe pas plus de 30 minutes à lire le journal ? 3. Combien de temps les 10% des abonnés qui passent le plus de temps à lire le journal passent-ils ?

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