TD 7 – Point de bascule 1 Des probabilités discrètes

ENS Paris, 2013/2014

Processus aléatoires

Bastien Mallein Bureau V2

TD 7 – Point de bascule 24 mars 2014

1

Des probabilités discrètes

Exercice 1 (Une minoration classique). Soit X une variable aléatoire intégrale à valeurs dans Z+ . Montrer que E(X)2 . P(X > 0) ≥ E(X 2 ) Discuter les cas d’égalité. Exercice 2 (Dérangement). Soit T une variable aléatoire à valeurs dans N telle que P(T = n) décroit. Montrer que pour toute injection σ : N → N, on a E(σ(T )) ≥ E(T ). Exercice 3 (Dés truqués). On rappelle que la fonction génératrice d’une variable aléatoire est GX (s) =   E sX . 1. Déterminer la fonction génératrice de la loi uniforme sur {2, . . . , 12}. 2. Montrer qu’on ne peut pas simuler la loi uniforme sur {2, . . . , 12} avec deux dés pipés indépendants. Exercice 4 (Entropie). Soit Ω un ensemble fini. L’entropie d’une probabilité P sur Ω est définie comme X H(P) = −P(ω) log P(ω). ω∈Ω

L’entropie relative de P par rapport à Q est définie par ( +∞ si ∃ω ∈ Ω : P(ω) > 0 = Q(ω) D(P||Q) = P P(ω) sinon. ω∈Ω P(ω) log Q(ω) 1. Montrer grâce à l’inégalité de Jensen que D ≥ 0, et que D = 0 implique P = Q. 2. Soit U la mesure uniforme sur Ω, déterminer à l’aide de H la valeur de D(P||U ). 3. En déduire la loi qui maximise l’entropie. Exercice 5 (Propagation de la rumeur). On suppose que des individus (Ij , j ∈ N) transmettent une information binaire de façon exacte avec probabilité pj , et inexacte avec probabilité 1 − pj . On part d’une information 1 donnée à I1 , qui la transmet à I2 , qui la transmet à I3 , etc. Déterminer la probabilité qk que l’information transmise par l’individu k soit 1. Donner une expression simplifiée de qk lorsque pk = p ∈ (0, 1), et déterminer limk→+∞ qk . P Qu’observe-t-on lorsque 1 − pk < +∞ ? 1

2

Des inégalités

Exercice 6 (Inégalité de Paley-Zygmund). Soit X une variable aléatoire positive de carré intégrable. 1. Montrer que pour tout a ∈ (0, 1), on a   (1 − a)E(X) ≤ E X1{X≥aE(X)} . 2. En conclure que pour tout a ∈ (0, 1), P(X ≥ aE(X)) ≥ (1 − a)2

E(X)2 . E(X 2 )

Exercice 7 (Inégalité de Jensen). Soit f une fonction convexe, et X une variable aléatoire réelle. On rappelle l’inégalité de Jensen E(f (X)) ≥ f (E(X)). Montrer que si f est strictement convexe, et que E(f (X)) = f (E(X)), alors X est une variable aléatoire constante presque sûrement. Exercice 8 (Lemme de Hoeffding). Soit X une variable aléatoire réelle telle que E(X) = 0 et P(a ≤ X ≤ b) = 1. Montrer que pour tout λ > 0     (b − a)2 . E eλX ≤ exp λ2 8 Indication. On pourra montrer dans un premier temps que   beλa aeλb E eλX ≤ − . b−a b−a Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires i.i.d. de même loi que X, montrer que pour tout  > 0, 2

P(Xn ≥ n) ≤ e

3

4 −n (b−a) 2

.

Des convergences

ExerciceP9. Soit (Xn ) des variables aléatoires i.i.d. de loi gaussienne centrée réduite. Pour h ∈ N, on note n Yn (h) = j=1 sin(hXj ). Déterminer la limite en loi de √1n (Yn (1), . . . Yn (k)). Exercice 10. Soit (Xn ) des variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans {0, . . . , r} telles que P(X1 = i) = pi . Identifier la limite en loi de !2 r n 1X 1 X Yn = 1{Xi =j} − pj √ n j=1 pj i=1 p

Exercice 11. Soit p ∈ (0, 2) et X P une variable aléatoire réelle telle que E(eitX ) = e−|t| . Montrer que converge en loi si et seulement si |aj |p < +∞.

2

P

aj Xj