TD 8 : Modes de convergence

Université Pierre & Marie Curie UE LM345 – Probabilités élémentaires

Licence de Mathématiques L3 Année 2014–15

TD 8 : Modes de convergence 1. Soit (Ω, F , P) un espace de probabilité. Déterminer pour chacune des convergences suivantes à quelle condition sur la suite (An )n≥1 elle a lieu. a. La suite (1An )n≥1 converge en probabilité vers 0. b. La suite (1An )n≥1 converge dans L2 vers 0. c. La suite (1An )n≥1 converge presque sûrement vers 0. Solution de l’exercice 1. a. Supposons que 1An converge vers 0 en probabilité. Alors en particulier, P(1An > 21 ) = P(An ) tend vers 0. Réciproquement, si P(An ) converge vers 0, alors pour tout ε > 0, P(1An > ε) ≤ P(An ) converge vers 0. Finalement la condition est limn→∞ P(An ) = 0. b. On a E[1An ] = P(An ). La condition est donc limn→∞ P(An ) = 0. c. Soit ω ∈ Ω. La suite (1An (ω))n≥1 converge vers 0 si et seulement si elle est stationnaire, égale à 0 à partir d’un certain rang. Ceci a lieu si et seulement si ω appartient à lim inf Acn , qui est le complémentaire de lim sup An . Ainsi, la convergence a lieu presque sûrement si et seulement si P(lim sup An ) = 0. 2. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[. Montrer qu’avec probabilité 1, la suite (Xn )n≥1 prend une infinité de fois la valeur 1 et une infinité de fois la valeur 0. Solution de l’exercice 2. Pour tout n ≥ 1, posons An = {Xn = 1} et Bn = {Xn = 0}. Les P événements (An )n≥1 sont indépendants et tous de probabilité p > 0. En particulier, n≥1 P(An ) = +∞. La deuxième partie du lemme de Borel-Cantelli entraîne donc que P(lim sup An ) = 1. Le même raisonnement s’applique aux événements Bn qui sont de probabilité 1 − p > 0. Donc P(lim sup Bn ) = 1, et P(lim sup An ∩ lim sup Bn ) = 1. Or l’événement lim sup An ∩lim sup Bn est précisément l’événement où la suite (Xn )n≥1 prend une infinité de fois la valeur 1 et une infinité de fois la valeur 0. 3. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires telle que pour tout n ≥ 1 on ait P(Xn = −1) = 1 −

1 1 et P(Xn = n2 − 1) = 2 . 2 n n

a. Montrer que la suite (Xn )n≥1 converge vers −1 en probabilité. 1

b. Montrer que la suite (Xn )n≥1 converge presque sûrement vers −1. Cette convergence a-t-elle lieu dans L1 ? Solution de l’exercice 3. a. Soit ε > 0 un réel. Pour tout n ≥ 1, on a P(|Xn + 1| > ε) = 1 , donc n2 lim P(|Xn + 1| > ε) = 0. n→∞

Puisque ceci a lieu pour tout ε > 0, la suite (Xn )n≥1 converge en probabilité vers −1. b. On a, pour tout n ≥ 1, P(Xn 6= −1) = n12 , donc X P(Xn 6= −1) < +∞. n≥1

D’après le lemme de Borel-Cantelli, ceci entraîne qu’avec probabilité 1, il n’y a qu’un nombre fini de valeurs de n pour lesquelles Xn n’est pas égal à −1. Autrement dit, avec probabilité 1, Xn est égal à −1 pour n assez grand. En particulier, avec probabilité 1, la suite (Xn )n≥1 converge vers −1. La suite (Xn )n≥1 converge donc presque sûrement vers −1. Si l’on avait convergence dans L1 de la suite (Xn )n≥1 vers −1, on aurait en particulier limn→∞ E[Xn ] = E[−1] = −1. Or, pour tout n ≥ 1, on a E[Xn ] = −1(1 −

1 1 ) + (n2 − 1) 2 = 0. 2 n n

La convergence n’a donc pas lieu dans L1 . 4. Soit (θn )n≥1 une suite de réels strictement positifs telle que limn→+∞ θn = +∞. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes telle que pour tout n ≥ 1, Xn suive la loi exponentielle de paramètre θn . a. Étudier la convergence en probabilités de la suite (Xn )n≥1 . Quelle hypothèse n’a-t-on pas utilisée ? b. Reprendre la question précédente avec la convergence dans L1 . c. Étudier, dans le cas où θn = n puis dans le cas où θn = log n, la convergence presque sûre de la suite (Xn )n≥1 . Solution de l’exercice 4. a. On devine que la suite (Xn )n≥1 tend vers 0 en probabilité. Par exemple, on peut observer que l’espérance et la variance de Xn , qui valent toutes deux θ1n , convergent vers 0. On sait que cela implique que la suite (Xn )n≥0 converge dans L2 vers 0, et donc en probabilité. Démontrons néanmoins directement la convergence. Soit ε > 0. On a Z +∞ P(Xn > ε) = θn e−θn x dx = e−θn ε . ε

Puisque la suite (θn )n≥1 tend vers +∞, la suite (e−θn ε )n≥1 tend vers 0, et ce quel que soit ε. Ceci montre qu’on a la convergence P

Xn −→ 0. n→+∞

2

On ne s’est pas servi de l’hypothèse d’indépendance. b. Puisque la suite (Xn )n≥1 converge vers 0 en probabilité, sa seule limite possible dans 1 L est 0. Pour tout n ≥ 1, on a E[|Xn − 0|] = E[|Xn |] = E[Xn ] =

1 , θn

qui tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Ceci montre qu’on a la convergence L1

Xn −→ 0. n→+∞

On ne s’est toujours pas servi de l’hypothèse d’indépendance. c. Comme à la question précédente, la seule limite presque sûre possible pour la suite (Xn )n≥0 est 0. La question est donc de déterminer si l’événement  \ [ \  1 |Xn | ≤ , k k≥1 N ≥1 n≥N qui est l’événement où la suite converge vers 0, est de probabilité 1 ou non. Pour que cet événement soit de probabilité 1, il faut (et il suffit) que pour tout k ≥ 1, l’événement  [ \  1 |Xn | ≤ k N ≥1 n≥N soit de probabilité 1, ce qui équivaut à ce que l’événement complémentaire  \ [  1 |Xn | > k N ≥1 n≥N soit de probabilité nulle. Ce dernier événement se présente
comme la limite supérieure 1 d’une suite d’événements, en l’occurence la suite |Xn | > k n≥1 . Considérons la cas θn = n. Nous avons   n 1 1 P |Xn | > = e− k = (e− k )n , k si bien que pour tout k ≥ 1, la série  X  1 P |Xn | > , k n≥1 qui est une série géométrique de raison strictement inférieure à 1, converge. Le lemme de Borel-Cantelli nous permet d’en déduire que  !   \ [  1 1 P lim sup |Xn | > =P |Xn | > = 0. k k N ≥1 n≥N 3

Nous avons déjà dit pourquoi ceci entraînait la convergence presque sûre de la suite. Dans ce cas, nous avons donc p.s. Xn −→ 0. n→+∞

Nous ne nous sommes toujours pas servi de l’hypothèse d’indépendance. Nous allons enfin nous en servir dans le cas θn = log n. En effet, dans ce cas,   log n 1 1 P |Xn | > = e− k = 1 . k nk Pour k = 1 par exemple, nous en déduisons  X  1 P |Xn | > = +∞ k n≥1 et donc, par la deuxième assertion du lemme de Borel-Cantelli, ! \ [

P (lim sup {|Xn | > 1}) = P

{|Xn | > 1}

= 1.

N ≥1 n≥N

Ainsi, avec probabilité 1, la suite (Xn )n≥1 prend une infinité de fois des valeurs supérieures à 1. Ce comportement est incompatible avec la convergence vers 0, aussi, la probabilité qu’elle converge vers 0 est nulle. Nous avons déjà dit que la seule limite presque sûre possible pour la suite (Xn )n≥1 était la variable nulle, car c’est sa limite en probabilité. Dans le cas où θn = log n, nous en déduisons que la suite (Xn )n≥1 n’a pas de limite presque sûre. Une simulation peut permettre de mieux saisir la différence entre la convergence en probabilité et la convergence presque sûre. Voici respectivement un tirage des 100 premiers termes et des 10000 premiers termes de la suite (Xn )n≥1 lorsque θn = n. La suite converge rapidement vers 0 et, après quelques fluctuations, ne prend plus que des valeurs extrêmement petites. On verrait un tel comportement en grossissant autant qu’on pourrait le souhaiter l’échelle sur l’axe des ordonnées. Voici maintenant un tirage des 100 premiers termes et des 10000 premiers termes de la suite (Xn )n≥1 lorsque θn = log n. La suite a tendance à prendre des valeurs proches de 0 et, bien que ce ne soit pas très visible, cette tendance s’accentue lorsque n grandit, au point que la densité de points bleus au-dessus de n’importe quelle barrière strictement positive finira par devenir quasiment nulle (c’est le sens de la convergence en probabilité). Par contre, il arrive, et il continuera d’arriver pour des valeurs arbitrairement grandes de n que la suite prenne des valeurs macroscopiquement grandes, en l’occurence de l’ordre de 1. On peut vérifer expérimentalement la persistance de ce comportement en regardant un tirage des 100 000 premiers termes : 4

5. Soit (an )n≥1 une suite de réels. Soit c un réel. a. Montrer que lim sup an > c si et seulement s’il existe un réel c0 > c tel qu’on ait an > c0 pour une infinité de n. b. Montrer que lim sup an < c si et seulement s’il existe un réel c0 < c tel que an < c0 pour n assez grand. Solution de l’exercice 5. a. Supposons lim sup an > c. Il existe une sous-suite de (an )n≥1 qui converge vers lim sup an . Soit (ank )k≥1 une telle sous-suite. Soient c0 et c00 tels que c < c0 < c00 < lim sup an . Le fait que la suite (ank )k≥1 converge vers lim sup an assure que pour k assez grand, on a ank ≥ c00 > c0 . Ainsi, la suite (an )n≥1 a une infinité de termes strictement supérieurs à c0 . Réciproquement, supposons qu’il existe c0 > c et une infinité de n tels que an > c0 . La suite (an )n≥1 possède donc une sous-suite (bk )k≥1 dont tous les termes sont strictement supérieurs à c0 . Toute valeur d’adhérence de cette sous-suite est donc supérieure ou égale à c0 . Par ailleurs, toute valeur d’adhérence de (bk )k≥1 est aussi une valeur d’adhérence de (an )n≥1 . Ainsi, lim sup an ≥ lim sup bk ≥ c0 > c. b. Supposons an < c0 pour n assez grand. Alors toute suite extraite de an est bornée asymptotiquement par c0 , donc toute limite de suite extraite de an est inférieure ou égale à c0 . Ainsi, lim sup an ≤ c0 < c. Réciproquement, supposons que lim sup an < c. On peut trouver c0 tel que lim sup an < c0 < c. Alors en reprenant les notations de l’exercice précédent, vu la décroissance de sp , il existe un N tel que sp < c0 pour tout p > N , en particulier sN < c0 ce qui donne par définition de sN , pour tout n > N , an < c0 < c. 6. Soit (Xn )n≥1  une suite de variables  aléatoires de loi exponentielle E(1). Xn > 1 = 0. a.Montrer que P lim sup log n On suppose désormais  X1 , X2 , . . . indépendantes.  Xn b. Montrer que P lim sup < 1 = 0. Montrer que ce résultat peut être faux log n sans l’hypothèse d’indépendance. Xn est presque sûrement égale à une constante que l’on déterc. Montrer que lim sup log n minera. d. Montrer que lim inf Xn est presque sûrement égale à 0. Solution de l’exercice 6. a. D’après l’exercice 3, on a   [  Xn Xn 1 lim >1 = > 1 + infiniment souvent log n log n k k≥1   [ Xn 1 = lim sup >1+ . log n k n→∞ k≥1

5

Pour tous n, k ≥ 1, on a, puisque Xn suit la loi exponentielle de paramètre 1,        1+ 1 k − log n 1 Xn 1 1 P >1+ = P Xn > log n1+ k =e = 1+ 1 . log n k n k Pour tout k ≥ 1, ce nombre est, en fonction de n, le terme général d’une série convergente, donc  X  Xn 1 >1+ < +∞. P log n k n≥1 Le lemme de Borel-Cantelli assure donc que    Xn 1 P lim sup >1+ = 0. log n k n→∞ Puisqu’une union dénombrable d’événements de probabilité nulle est encore de probabilité nulle, on en déduit   Xn P lim > 1 = 0. log n b. D’après l’exercice 3 encore,   [  Xn Xn 1 lim k 2 b. Pour tout k ≥ 1, on pose Yk = Xnk (on dit que la suite (Yk )k≥1 est extraite de la suite (Xn )n≥1 ). Montrer que la suite (Yk )k≥1 converge presque sûrement vers X. On a montré que d’une convergence en probabilité on pouvait extraire une convergence presque sûre. Solution de l’exercice 8. a. Soit k ≥ 1. Supposons qu’on ait
construit les k − 1 premiers termes n1 < · · · < nk−1 de la suite. Comme P |Xn − X| > k1 → 0 lorsque n → ∞, on peut trouver n = nk > nk−1 tel que   1 1 P |Xnk − X| > ≤ k. k 2 b. On remarque que   X   K X 1 1 lim P |Xnk − X| > P |Xnk − X| > = < +∞. K→∞ k k k=1 k≥1 Or, par le théorème de convergence monotone, # " K   K X X 1 lim = lim E 1{|Xnk −X|> k1 } P |Xnk − X| > K→∞ K→∞ k k=1 k=1 " # " # K X X = E lim 1{|Xnk −X|> k1 } = E 1{|Xnk −X|> k1 } . K→∞

 X  1 P |Xnk − X| > = k k≥1

k=1

k≥1

P Comme cette espérance est finie, on en déduit que la variable aléatoire k≥1 1{|Xn −X|> 1 } k k est finie presque sûrement. Autrement dit, il y a seulement un nombre fini (dépendant de ω) d’indices k tels que |Xnk −X| > k1 . On en déduit qu’avec probabilité 1, pour tout k assez grand |Xnk − X| ≤ k1 . En particulier, |Xnk − X| → 0 quand k → ∞ presque sûrement. En fait on pouvait conclure directement en appliquant le lemme de Borel-Cantelli, l’argument donné ci-dessus étant le cœur de la preuve de ce lemme.

8