TD7 - LSV, ENS Cachan

L3 - 2016/2017 - TD7

Mercredi 9 novembre

Mathématiques discrètes

Exercice 1. On considère deux dés à six faces, l’un est équilibré, l’autre est truqué. On note pi la probabilité que le dé truqué tombe sur la face i (i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}). 1. Décrire l’espace de probabilité. L’univers est: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6} La tribu des évènements est P(Ω). La loi de probabilité Pr est: ∀(i, j) ∈ Ω, P (i, j) =

pj 6

2. (a) Quelle est la probabilité de faire un double ? Comme p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 = 1, la probabilité de faire un double est la somme des probabilités de chaque double: 6 X

6

P (i, i) =

i=1

1 1X pi = 6 i=1 6

(b) Quelle est la probabilité que la somme des dés soit égale à 7 ? La probabilité que la somme des dés soit égal à 7 est: 6 X

1

P (i, 7 − i) =

i=1

1X 1 pi = . 6 i=6 6

Exercice 2. On lance trois dés équilibrés. 1. Quelle est la somme des trois dés la plus probable ?. la variable aléatoire S somme des trois dés prend des valeurs entre 3 et 18. On remarque que l’involution (x, y, z) → (7 − x, 7 − y, 7 − z) échange avec les mêmes probabilités les valeurs s et 21 − s prises par S. Donc il suffit de calculer les probabilités de (S = s) pour 3 ≤ s ≤ 10. On note [x, y, z] l’ensemble des triplets qui définissent la famille x, y, z. 1 P (S = 3) = P (1, 1, 1) = 613 = 216 3 1 P (S = 4) = P ([1, 1, 2]) = 63 = 72 1 P (S = 5) = P ([1, 1, 3]) + P ([1, 2, 2]) = 663 = 36 10 P (S = 6) = P ([1, 1, 4]) + P ([1, 2, 3]) + P ([2, 2, 2]) = 3+6+1 = 10 63 63 = 216 3+6+3+3 5 P (S = 7) = P ([1, 1, 5]) + P ([1, 2, 4]) + P ([1, 3, 3]) + P ([2, 2, 3]) = = 15 63 63 = 72 3+6+6+3+3 7 P (S = 8) = P ([1, 1, 6]) + P ([1, 2, 5]) + P ([1, 3, 4]) + P ([2, 2, 4]) + P ([2, 3, 3]) = = 21 63 63 = 72 6+6+3+3+6+1 P (S = 9) = P ([1, 2, 6])+P ([1, 3, 5])+P ([1, 4, 4])+P ([2, 2, 5])+P ([2, 3, 4])+P ([3, 3, 3]) = = 63 25 25 = 3 6 216 P (S = 10) = P ([1, 3, 6]) + P ([1, 4, 5]) + P ([2, 2, 6]) + P ([2, 3, 5]) + P ([2, 4, 4]) + P ([3, 3, 4]) = 6+6+3+6+3+3 1 = 27 63 63 = 8

Il y a deux sommes plus probables, 10 et 11. 2. Quelle est la moyenne se S ? P18 P10 P10 E(S) = s=3 sP (S = s) = s=3 (s + 21 − s)P (S = s) = 21 s=3 P (S = s) =

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1

21 2 .

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Exercice 3. On cherche à simuler la loi uniforme sur l’ensemble {2, 3, 4, . . . , 12} avec deux dés indépendants. On note U et V deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans {1, 2, . . . , 6}. Pour tout 1 ≤ i ≤ 6, on pose ui = P U = i, vi = P V = i et on suppose que ui > 0 et vi > 0. 1. Si U et V suivent la loi uniforme sur {1, 2, . . . , 6}, est-ce que U + V suit la loi uniforme sur {2, 3, 4, . . . , 12}? non. P (S = 2) = P (1, 1) = 612 = 1 P (S = 3) = P ([1, 2]) = 622 = 18

1 36

2. On note S = U + V et on suppose que S suit la loi uniforme sur {2, 3, . . . , 12}. (a) Montrer que P (x) = ExS est un polynôme qu’on explicitera.

ExS =

12 X

P (S = n)xn =

n=2 S

12 10 x2 X n 1 X n x = x . 11 n=2 11 n=0

U

(b) Démontrer que Ex = Ex · ExV . ExU · ExV

= = = =

P6 P6 ( i=1 P (U = i)xi )( j=1 P (V = j)xj ) P12 P ( i=1 P (U = i)P (V = n − i))xn Pn=2 12 n n=2 P (U + V = n)x S Ex

(c) Conclure P10 n P5 P5 1 x = ( i=0 ui+1 xi )( i=0 vi+1 xi ). Par le théorème des valeurs On devrait donc avoir 11 n=0 P5 P10 n intermédiaires, ( i=0 ui+1 xi ) a une racine réelle, donc n=0 x aussi. Or les racines de P10 n x sont les racines 11-èmes de l’unité autres que 1 et il n’y en a pas de réelles. n=0 Exercice 4. Soit k, n ≥ 1 des entiers naturels. Soient X0 , X1 , . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur l’ensemble J1, kK. 1. Soit S ⊂ J1, kK. Donner la probabilité de (Xi ∈ S) en fonction de |S|. P (Xi ∈ S) =

|S| k .

2. Soit z ∈ J1, kK. Calculer P (X1 6= z , . . . , Xn 6= z). Les variables X0 , X1 , . . . , Xn étant indépendantes, on a : Qk P (X1 6= z , . . . , Xn 6= z) = i=1 P (Xi 6= z). Les variables X0 , X1 , . . . , Xn étant uniformément distribuées : Qn Qn k−1 n P (X1 6= z , . . . , Xn 6= z) = i=1 P (Xi 6= z) = i=1 k−1 k =( k ) .

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2

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3. Calculer P (X0 ∈ / {X1 , . . . , Xn }) de deux manières pour en déduire une expression de E(|{X1 , . . . , Xn }|).

P (X0 ∈ / {X1 , . . . , Xn })

P (X0 ∈ / {X1 , . . . , Xn })

Pk = P (X0 = z, X1 6= z , . . . , Xn 6= z) Pz=1 k = z=1 P (X0 = z)P (X1 6= z , . . . , Xn 6= z) P k 1 = k z=1 P (X1 6= z , . . . , Xn 6= z) n = ( k−1 k )

P = P ({X1 , . . . , Xn } = S, X0 ∈ / S) PS k−|S| = PS P ({X1 , . . . , Xn } = S) k P 1 = S |S|P ({X1 , . . . , Xn } = S) S P ({X1 , . . . , Xn } = S) − k 1 = 1 − k E(|{X1 , . . . , Xn }|)

1 n n 4. E(|{X1 , . . . , Xn }|) = k(1 − ( k−1 k ) ) = k(1 − (1 − k ) ).

5. Déterminer un équivalent de E(|{X1 , . . . , Xn }|) lorsque: (a) k est fixé et n → +∞,

lim k(1 − (

n→+∞

k−1 n ) )=k k

Lorsque n tend vers +∞, l’ensemble {X1 , . . . , Xn } est J1, kK très probablement.

(b) n est fixé et k → +∞,

k(1 − (

k−1 n 1 n ) ) = k(1 − (1 − )n ) ∼ k(1 − (1 − ) = n k k k lim k(1 − (

k→+∞

k−1 n ) )=n k

Lorsque k tend vers +∞, les variables X1 , . . . , Xn prennent des valeurs distinctes très probablement. (c) n = k → +∞.

n(1 − (

1 n−1 n 1 ) ) = n(1 − (1 − )n ) = n(1 − en ln (1− n ) ) ∼ n(1 − e−1 ) n n

Exercice 5. Concours général 2009. Nous allons considérer un jeu de dés avec 4 dés à 20 faces chacun. Les dés sont supposés non truqués. A chaque lancer, un nombre de points est attribué : Si tous les dés ont un résultat différent le nombre de points est nul. S’il existe une paire, un triplet ou un carré du nombre a, le nombre de points est égal à a. S’il existe deux paires du nombre a et b (a 6= b), le nombre de points est égal à a + b.

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1. Quel est l’espace de probabilité, quelle est la distribution de probabilité ? L’univers est: Ω = {1, 2, ..., 20}4 La loi de probabilité est: ∀(i, j, k, l) ∈ Ω, Pr(i, j, k, l) =

1 204

2. Quelle est la probabilité de faire un score nul ? Pour faire un score nul il faut que tous les dés soit différents. Pour cela on fixe une valeur parmi 20 pour le premier dés puis 1 valeur parmi 19 pour le second... On obtient pour le nombre d’évènements à score nul:      20 19 18 17 1 1 1 1 Puis l’on divise par le nombre total d’évènements et on obtient:



20 19 18 17 19 · 18 · 17 2907 1 1 1 1 = = = 0.72675 4 3 20 20 4000 3. Soit a entre 1 et 20. Déterminer la probabilité d’avoir exactement k nombres a parmi les dés lancés. Ici, k ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. Pour chacun des dés on a

1 20

chance d’obtenir a le résultat est donc:

   k  4−k 4 1 19 k 20 20 4. Soit Xa la variable aléatoire valant 1 si a apparait au moins deux fois dans les lancers et 0 sinon. Déterminer la loi suivie par Xa et exprimer le gain du jeu à l’aide de ces variables. Calculer l’espérance du gain. Les lancés avec au moins deux a sont : un lancé qui correspond aux quatre a, les lancés avec exactement trois a ; on choisit le dé qui donne une des autres valeurs, soient 4.19 = 76 lancés,   les lancés avec exactement deux a : on choisit les dés qui donnent a

4 2

= 6 choix, puis les

autres valeurs pour les deux autres dés : 192 Donc P (Xa = 1) =

1+76+6.192 204

=

2243 160000 .

Sinon, Xa = 0. En particilier, E(Xa ) =

2243 160000 .

S’il existe deux paires de nombres a et b (a 6= b), le nombre de points est égal à a + b et Xa = 1 et Xb = 1. S’il existe une paire, un triplet ou un carré du nombre a, le nombre de points est égal à a, P Xa = 1 et Xb = 0, pour tout b 6= a. Dans tous les cas, le gain est G = a Xa . P20 L’espérance de G est E(G) = a=1 aE(Xa ). En utilisant la linéarité de l’espérance, E(G) =

20 X a=1

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a

2243 20 · 21 · 2243 47103 = = = 2.9439375 160000 2 · 160000 16000

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5. Quelle est la probabilité de faire exactement 8 points ? Pour faire exactement 8 points on peut soit faire apparaître plus de deux 8 dans un lancé sans qu’il n’y ait d’autre paire, ce qui arrive avec probabilité X8 − 6·19 204 . Ou l’on peut le faire avec deux paires de nombre a et b tel que a + b = 8. En
fixant a < b il existe seulement trois paires: (1, 7), (2, 6) et (3, 5) chacune de ces pairs possàdent 42 permutations leurs probabilités est donc: 3·6 204 Le résultat final est: Pr(G = 8) = X8 −

6 · 19 3 · 6 2147 + 4 = = 0.01341875 204 20 160000

6. On autorise maintenant de relancer une fois entre 0 et 4 dés. Quelle est la meilleure stratégie après avoir obtenu 11 − 7 − 2 − 2? Les différentes stratégies possibles sont: (a) On relance tous avec une espérance de gain de (b) On relance que (c) On relance que (d) On relance le 7 (e) On relance que

47103 16000

≈ 2.94

1 le 7 le gain est 2 + 11 20 = 51 20 = 2.55 47 1 le 11 le gain est 2 + 7 20 = 20 = 2.35 2 63 et le 11 le gain est 2 + 21 40 − 202 = 25 = 2.52 2·19−1 2 21 + 11 2·19−1 les 2 le gain est 40 202 + 7 202 + 19 400

=

57 25

= 2.28

(f) On relance les 2 et le 7, on commence par calculer le gain associé au trois lancés de dés: Soit Ya la variable aléatoire valant 1 si il existe au moins 2 a dans trois lancés et 0 sinon. P r(Ya = 1) =

    20 X 3 1 19 3 1 29 609 + = , E( aYa ) = 2 202 20 3 203 4000 400 a=1

Le gain associé aux paires formées entre le 11 déjà présent et le lancé des trois dés est:   3 1 192 11913 11 = 2 1 20 20 8000 Le gain total est:

609 400

+

11913 8000

=

24093 8000

≈ 3.01

La dernière stratégie est la meilleure, certaines stratégies n’ont pas été considérées, elle peuvent être facilement éliminées. 7. Quelle est la meilleure stratégie après avoir obtenu 4 nombre différents? On connaît le gain si on relance les quatre dés. Gardons s et relancons les trois autres. On obtient : trois s avec probabilité 2013 et gain s, 19 exactement deux s avec probabilité 3 20 3 et gain s,

2

exactement un s et deux autres valeurs distinctes, avec probabilité 3 (1920−19) , et gain s, 3 19 , et gain s + t, exactement un s et les deux autres donnent un t 6= s, avec probabilité 3 20 3 pas de s, les deux autres donnent t 6= s, avec probabilité 3 18.19 , et gain t, 203 trois t 6= s, avec probabilité 3 2013 , et gain t, Donc G = s(

X 19 1 19 (192 − 19) 19 18.19 1 +3 3 +3 + 3.19 3 ) + t(3 3 + 3 + 3 3 = as + b 3 3 20 20 20 20 20 203 20 t6=s

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, avec a > 0. Donc il vaut mieux garder le plus grand. Si l’on garde la plus grande valeur que l’on appel a et que l’on relance les trois autres, On obtient le gain G0 suivant: 609 1083 · a + G0 = 400 8000 0 . G > G Pour a ≥ 11 il faut garder au moins le plus grand dés. Si l’on garde les deux plus grandes valeurs a et b le gain G00 est alors G00 =

21 2 · 19 − 1 2(a + b) 210 + 39(a + b) 2 · 19 − 1 +b + = +a 40 202 202 202 400

G00 > G0

Exercice 6. Penney’s game Alice et Bob jouent à un jeu sur une séquence de jets d’une pièce. La pièce tombe sur pile (P) avec probabilité p et sur face (F) avec probabilité 1 − p. La pièce est relancée jusqu’à ce que l’un des motifs suivants apparaisse : Si le motif PPF apparait, Alice gagne. Si le motif PFF apparait, c’est Bob qui gagne. 1. On représente une partie par un mot sur {P, F }. Dessiner un automate déterministe complet avec deux états puits A et B tels que le langage des mots arrivant sur l’état A (resp. B) correspond aux mots représentant les parties gagnantes d’Alice (resp. Bob). P F

2

0

P, F

B

P, F

P

F start

A

P

1 F P

F

3

2. En déduire une description de l’espace de probabilité. Un évènement élémentaire est un ensemble de mots ayant un préfixe partant de 0 dans l’automate A (un cône). Sa probabilité est pm (1 − p)l si ce préfixe de longueur m + l contient m P et l F . 3. Soient Sa le langage représentant l’ensemble des parties gagnantes pour Alice SA , Sb le langage représentant l’ensemble des parties gagnantes pour pour Bob, SB et l’ensemble des mots finis qui ne comportent pas encore de gagnant N , parties dites neutres. Justifier : (a) P (Sa )+P (Sb ) = 1. Le complémentaire de Sa ∪Sb est l’ensemble des mots infinis qui qui restent en 0 (F ∞ ), stationnent sur 2 F + P (P F )∗ P ∞ , ou bouclent sur les états 1 et 3 : F + P (F P )∞ . Ces trois langages sont inclus dans ∪n {P, F }n {F ∞ , P ∞ , (F P )∞ } donc sont de probabilités nulles. J. Dubut, A. Lick, C. Picaronny

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(b) Sa = N P P F et Sa F t SB = N P F F . Sa = N P P F est évident. N P P F est la réunion de (N ∩ {F, P }∗ P ∪ N ∩ {F, P }∗ F )P F F = Sa F ∪ Sb . (c) {} t N {P, F } = Sa t Sb t N . On ajoute un tirage à une partie non terminée (P ou F ). Soit Alice, gagne, soit Bob gagne, soit la partie est neutre. 4. Résoudre le système obtenu en remplacant les relations ensemblistes par des relations probabilistes. sa + sb = 1, sa =

1 1 p2 (1−p) n, (1−p) sa

+ sb =

1 (1−p)2 p n.

On résoud. 5. Trouver une valeur de p qui rende ce jeu équitable. On calcule p pour avoir sa = sb . (p =

√ −3+ 5 2

∼ 0, 38).

Variables aléatoires.

Exercice 7. Indépendance Soit U et V deux variables aléatoires indépendantes sur un même espace de probabilités à valeurs dans {−1, 1} et de mémes lois définies par: Pr(U = −1) =

1 2 et Pr(U = 1) = 3 3

Soient X et Y les variables aléatoires définies par: X = U et Y = U V 1. Quelle est la loi de la variable aléatoire (X, Y )? Pr(1, 1) =

4 9

Pr(1, −1) =

2 9

Pr(−1, 1) =

et Pr(Y = 1) =

1 9

Pr(−1, −1) =

2 9

22 11 5 + = 33 33 9

2. Les variables X et Y sont-elles indépendantes? donc

5 1 6= = Pr(−1, 1) 27 9 donc les variables X et Y ne sont pas indépendantes. Pr(X = −1) Pr(Y = 1) =

3. Les variables X 2 et Y 2 sont-elles indépendantes? On remarque que X 2 = U 2 et Y 2 = V 2 donc les variables sont indépendantes comme fonctions de variables indépendantes.

Exercice 8. Min, Max et comparaison Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes définies sur le méme espace de probabilité de même loi géométrique de paramètre p.

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1. Calculer P (Y ≥ X) en particulier pour p = 12 . Comme X et Y sont indépendantes, on a avec q = (1 − p) : P

n≥0

Pr(Y = n)

P

k≤n

P (X = k)

qn p

k k≤n q p P n+1 n 2 1−q n≥0 q p 1−q P p n≥0 q n − q 2n+1 P p  n≥0 q 2n 1 p 1−q 2

P

=

n≥0

= = = = = =

P

1 1+q 1 2−p

Pour p = 12 , on obtient 23 . 2. Calculer P (Y = X) en particulier pour p = 12 .

X

Pr(Y = n) Pr(X = n) =

n≥0

X

p2 q 2n = p2

n≥0

p2 p 1 = = 2 2 1−q 2p − p 2−p

Pour p = 12 , on obtient 13 . 3. Démontrer que P (Y > X) = P (X > Y ) P (Y > X) = P (Y ≥ X) − P (Y = X) = Comme 2 1−p 2−p +

p 2−p

1 2−p

−

p 2−p

=

1−p 2−p .

= 1, P (Y > X) = P (X > Y ).

On définit les variables aléatoires U et V par U = max(X, Y ) et V = min(X, Y )

4. Pour tous (u, v) ∈ N Calculer Pr(U ≤ u, V ≥ v) si v ≤ u alors Pr(U ≤ u, V ≥ v) = Pr(v ≤ X ≤ u, v ≤ Y ≥ u) = (q v − q u+1 )2 5. Calculer les lois des variables aléatoires U et V . On a pour u ≥ 0, Pr(U ≤ u) = Pr(U ≤ u, V ≥ 0) = (1 − q u+1 )2 et Pr(U = u) = Pr(U ≤ u) − Pr(U ≤ u − 1) = p(2q u − q 2u(1+q) ) Par raisonnement similaire avec u → ∞ on obtient: Pr(V = v) = q 2v (1 − q 2 ) V suit une loi géométrique sur N de paramètre 1 − q 2 . Exercice 9. Rumeur Une information est transmise dans une population. Chaque individu transmet la bonne information avec probabilité p, la négation de l’information est transmise avec probabilité 1 − p. Soit pn la probabilité que l’information soit correcte aprés n répétitions.

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1. Calculer la valeur pn en fonction de p et de n. On note qn = 1 − pn la probabilité que l’information soit fausse après n répétitions. En utilisant la formule des probabilités totales, pn = ppn−1 + qqn−1 = pn−1 (2p − 1) + (1 − p). Par récurrence pn = 21 (1 + (2p − 1)n ). 2. Calculer limn pn . Conclure. Si p = 1, l’information se transmet parfaitement. La limite est 1. Si p = 0, l’information est niée à chaque transmission, elle alterne entre vraie et fausse, il n’y a pas de limite (comportement cyclique). sinon, |2p − 1| < 1 et limn pn = 12 . A la limite, il y a équiprobabilité entre l’information et son contraire.

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