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LYCEE MARIEN N’GOUABI CLASSE: Tle C Professeur :Mr OUEDRAOGO S.

ANNEE SCOLAIRE 2009-2010 DATE: 25/02/2010 Durée :4 heures

DEVOIR DE MATHEMATIQUES Exercice I (04pts)

Soit * l’ensemble des entiers naturels non nuls. On considère, lorsque n  *, les entiers et b tels que : a  11n  3 ; b  13n  1. 1. Démontrer que tout diviseur de a et b est un diviseur de 50. 2. en utilisant l’algorithme d’Euclide, résoudre dans * x * , l’équation 50 x  11y  3 .

a

En déduire les valeurs de n pour lesquelles les nombres a et b ont 50 pour PGCD. 3. pour quelles valeurs de n , les nombres a et b ont – il 25 pour PGCD. Exercice II(04pts)

(U ) définie par la donnée de U et pour tout n de 1  U  1  U  1  U . 1) Démontrer que la suite U  est constante si, et seulement si U prend deux valeurs, On considère la suite

n

par :

0

2

n 1

n

n

n

précisera. 2) On pose :

0

1  U  0 0

a) Démontrer que, pour tout entier naturel

n; 0  1  U  1. En déduire que U  est une suite n

n

décroissante. b) Démontrer que, pour tout entier naturel

n, 0 

1U 1  1U 1U n 1

n

1 . Démontrer 1U 0  1  U  k 1  U  . En déduire que la suite U  admet une limite  c) On

k

pose

que l’on

2

que

pour

tout

2

.

0

entier

naturel

n,

on

a

0

n

n

0

n

que l’on précisera.

Problème (12pts) On représentera graphiquement les nombres complexes selon les conventions habituelle en utilisant un repère orthonormé direct (o; u; v) . L’unité de longueur choisie étant 4 cm. A. 1°) On note E l’ensemble des complexes z tels que chaque élément de E, associe le complexe

z  iz  0

f ( z ) avec f ( z ) 

Déterminer l’ensemble E et représenter – le graphiquement.

et on considère la fonction

z  z i . z  iz

f

qui, à

Par la suite, si un complexe z de E est représenté par un point M, on notera M’ le point représentant

f ( z ). 2°) Résolvez dans C l’éqaution

f ( z )  i.

3°) z est un complexe appartenant à E ; le point M qui le représente a pour coordonnées ( x, y ) . Exprimer en fonction de x et de y les coordonnées du point M’. 4°) Déterminer et représenter graphiquement l’ensemble des complexes z tel que pur.

f ( z ) soit imaginaire

z  x  iy est un complexe de E. montrer que le module de f ( z ) est égale à 2 , si et seulement si x et y sont liés par la relation : 4 y  8 xy  1  0 . Le but de cette partie est de représenter l’ensemble E’ des complexes z  x  iy tels que f ( z ) ait pour module 2 , c'est-à-dire aussi, d’après A.5., l’ensemble des couples ( x, y ) tels que 5°)

2

B.

4 y  8 xy  1  0 . 2

( x, y ) qu’il vérifie la relation (1) si l’on a : 4 y  8 xy  1  0 1°) Montrer que, pour tout réel x , il existe deux réels y et y que l’on déterminera, tels que les couples  x; y  et  x; y  vérifie la relation (1). 1  a ( x )  x  4x  1  2 2°) a et b sont les fonctions définies sur par :  b( x)  x  1 4 x  1  2 On notera C la courbe représentative de a dans o, u , v et C’ celle de b . 2

Par la suite, on dira d’un couple

1

1

2

2

2

2





Montrer que l’ensemble E’ chercher est représentée par la réunion de C et de C’. Montrer que l’origine O est centre de symétrie de E’. 3°) Etudier la fonction a et tracer sa courbe représentative C.

Montrer que la droite d d’équation y  2 x est asymptôte à C au voisinage de position de C par rapport à cette asymptôte. 4°) Tracer la tangente à C au point d’intersection de C avec l’axe des ordonnées. 5°) En utilisant B.2 et B.3 ; représenter l’ensemble E’. 6°) On note a) Pourquoi

a

la restriction de

1

a

1

 et préciser la

a à l’intervalle I   0;1.

J  1;2  5  4x 1 J par h( x)  8x

est – elle une bijection de I sur l’intervalle 2

b) Soit

h la fonction définie sur

Vérifie que, pour tout .

x de J , on a : a (h( x))  x , et que, pour tout x de I

Comment qualifie – t – on

1

h par rapport à a

7°) Tracer la courbe représentative de

1

et

a

1

par rapport à



h dans le repère o, u , v

h.



.

on a :

h(a ( x))  x 1