Statistique Appliquée / Exercices corrigés Luc Deneire École Polytechnique de l’Université de Nice – Sophia Antipolis Polytech’Nice Sophia Département d’Électronique, 3e année, 2013–2014 http://jalon.unice.fr/public/pqg729/
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Chapitre 2
Expériences et espace probabilisé Exercice 2.1 Jet de pièces On lance une pièce (non truquée) trois fois. Calculer la probabilité que plus de pièces donnent face que pile, sachant qu’au premier lancer apparaît face.
L’univers de départ est (où ”F ” indique que la pièce affiche “face”, et l’ordre est important :[“F 00 , ”P ”, ”F ”] signifie : le premier jet donne face, le deuxième pile et le troisième face) Ω = { [”F ”, ”F ”, ”F ”] [”F ”, ”F ”, ”P ”] [”F ”, ”P ”, ”F ”] [”F ”, ”P ”, ”P ”] [”P ”, ”F ”, ”F ”] [”P ”, ”F ”, ”P ”] [”P ”, ”P ”, ”F ”] [”P ”, ”P ”, ”P ”] } Chaque ω a une probabilité de 1/8 (car les lancers sont indépendants, donc la probabilité de [”F ”, ”F ”, ”F ”] vaut (1/2)3 . L’événement “Au premier lancer apparaît face” correspond à : A = { [”F ”, ”F ”, ”F ”] [”F ”, ”F ”, ”P ”] [”F ”, ”P ”, ”F ”] [”F ”, ”P ”, ”P ”] } et l’événement "il y a plus de face que de pile" correspond à : B = { [”F ”, ”F ”, ”F ”] [”F ”, ”F ”, ”P ”] [”F ”, ”P ”, ”F ”] [”P ”, ”F ”, ”F ”] } On cherche donc P(B|A) = P(B∩A) P(A) , avec B ∩ A = { [”F ”, ”F ”, ”F ”] [”F ”, ”F ”, ”P ”] [”F ”, ”P ”, ”F ”] } 3/8 3 On obtient donc P(B|A) = P(B∩A) P(A) = 4/8 = 4 ,
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Exercice 2.2 Jet de pièces bizarres On a trois pièces (non truquées) : la première a deux côtés face, la deuxième a deux côtés pile, et la troisième est normale. On lance une pièce, choisie au hasard, et elle donne pile. Quelle est la probabilité que l’autre côté soit face ?
L’expérience aléatoire est ici le choix de la pièce (disons “100F F , “200P P , “300P F ). L’événement “la pièce choisie au hasard donne pile” vaut A = {“200P P , “300P F }. L’événement “l’autre côté 1/3 1 donne face” vaut B = {”3P F ”}. On a donc P(B|A) = P(B∩A) P(A) = 2/3 = 2 Exercice 2.3 Issues équiprobables Une expérience a N = 10 issues équiprobables. Quelle est la probabilité de chaque issue ? Que devient cette probabilité si N = 1000, si N = 106 ? Que ce passe-t-il si N → ∞ ?
Clairement si les issues sont équiprobables, P(ω) = N →∞.
1 N
et la probabilité tend vers zéro si
Exercice 2.4 Infinité dénombrable d’issues Soit une expérience dont les issues possibles sont les nombre {1, 2, 3, . . .}. A ces issues, on associe les probabilités : 1 P(k) = k , k = 1, 2, 3, · · · . 2 La somme de ces probabilités vaut-elle 1 ? Peux-t-on avoir une infinité d’issues, toutes ayant une probabilité non nulle ? Comparez à l’exercice précédent.
Exercice 2.5 Le problème du chevalier de Méré Lequel de ces deux événements est le plus probable : “Obtenir au moins une fois un six en quatre lancers de dés”, ou “Obtenir au moins un double six en vingt quatre lancers de deux dés”.
Pour la première expérience, le nombre d’issues élémentaires (la cardinalité de l’univers) vaut 64 (avec chacune une probabilité de 1/64 ). Le nombre de cas favorables vaut 64 −54 , 4 4 et la probabilité du premier événement vaut donc 6 6−5 = 0.5177. 4 Pour le deuxième cas, le nombre d’issues élémentaires vaut 3624 et le nombre de cas favorables vaut 3624 − 3524 et la probabilité du deuxième événement vaut donc 3624 −3524 = 0.4914. 3624 Les deux événements ont donc environ la même probabilité d’apparition, même s’il vaut mieux parier sur le premier. Exercice 2.6 Garçons et filles On suppose que lorsqu’un couple a un enfant, la probabilité d’avoir un garçon est égale à p = 0.51. On suppose par ailleurs que les naissances sont mutuellement indépendantes entre elles. a. Quelle est la probabilité d’avoir deux garçons quand on a deux enfants ? b. Quelle est la probabilité d’avoir deux filles quand on a deux enfants ? c. Quelle est la probabilité d’avoir un garçon et une fille quand on a deux enfants ? Vous savez qu’un couple a deux enfants : d. on vous dit que l’aîné est une fille ; quelle est la probabilité que le cadet soit une fille ? e. on vous dit qu’au moins l’un des enfants est une fille : quelle est la probabilité que les deux enfants soient des filles ? f. vous rencontrez cette famille avec un des enfants (l’autre enfant est absent) : c’est une fille. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des filles ?
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a. Ici, l’univers est Ω= {
[”F ”, ”F ”] [”F ”, ”G”] [”G”, ”F ”] [”G”, ”G”]}
où [”F ”, ”G”] signifie “l’ainée est une fille et le cadet est un garçon”. On a donc P([”G”, ”G”]) = P(”G”) .P(”G”) = p.p = p2 , par la propriété d’indépendance b. La probabilité d’avoir deux filles vaut (1 − p)2 . c. La probabilité d’avoir un garçon et une fille quand on a deux enfants vaut P(B) où B= {
[”F ”, ”G”] [”G”, ”F ”]}
et donc P(B) = 2.p(1 − p) Vous savez qu’un couple a deux enfants : d. on vous dit que l’aîné est une fille, la probabilité que le cadet soit une fille vaut (1 − p)2 P(C ∩ A) = = 1 − p, avec P(C|A) = P(A) 1−p C = { [”F ”, ”F ”] A = { [”F ”, ”F ”] et . [”G”, ”F ”]} [”F ”, ”G”]} Plus simplement, on aurait pu dire que la probabilité que la cadette soit une fille vaut 1 − p. e. on vous dit qu’au moins l’un des enfants est une fille (événement A), quelle est la proA = { [”F ”, ”F ”] [”F ”, ”G”] . babilité que les deux enfants soient des filles (événement B) ? [”G”, ”F ”]} B = { [”F ”, ”F ”]} . (1 − p)2 P(B ∩ A) = P(B|A) = P(A) 1 − p2 f. vous rencontrez cette famille avec un des enfants (l’autre enfant est absent) : c’est une fille. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des filles ? Attention, ici, l’expérience aléatoire est “vous rencontrez un des enfants”, et donc l’univers vaut : Ω = { [”F ”, ”F ”] [”F ”, ”G”] [”G”, ”F ”] [”G”, ”G”]} Mais [”F ”, ”G”] signifie “l’enfant que j’ai rencontrée est une fille et l’enfant que je n’ai pas rencontré est un garçon”. A = { [”F ”, ”F ”] On a donc . [”F ”, ”G”]} B = { [”F ”, ”F ”]} . P(B ∩ A) (1 − p)2 = =1−p P(B|A) = P(A) (1 − p)2 + p.(1 − p)
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Exercice 2.7 Détection de maladie rare
Un test pour une maladie rare est supposé fiable dans 95% des cas : la probabilité que le test soit positif quand une personne est malade est égale à 0.95, et la probabilité qu’il soit négatif quand une personne n’est pas malade est aussi égale à 0.95. La probabilité qu’une personne soit malade est égale à 0.001 (0.1% de la population). 1. Quelle est la probabilité qu’un test soit positif ? 2. Une personne est testée positive. Quelle est la probabilité qu’elle soit atteinte de la maladie ? 3. Dans quelles conditions un test positif suggère que la personne est malade ? Interpréter le résultat. Afin d’améliorer la fiabilité du dépistage, on répète le test dans le cas d’un résultat positif (évidemment, la fiabilité pf de chaque test reste indépendante des résultats précédents). 4. Calculer la probabilité P(Pn ) que n tests successifs soient positifs. 5. Une personne est testée successivement n fois positive. Quelle est la probabilité qu’elle soit atteinte de la maladie ? 6. On notera N la valeur minimale de n qui donne une réponse supérieure à 0.9 à la question précédente. Déterminer numériquement la valeur de N dans le cas : P(P |M ) = P P |M = 0.9, P(M ) = 0.1. 7. Donner une explication de l’évolution de la probabilité de la question 5 en fonction de n (en vous aidant d’un tableau (1 ≤ n ≤ N ) de différentes probabilités que vous jugez utiles). [Soit deux événements, A et B, et P(A) 6= 0, P(B) 6= 0. On dira que l’événement B suggère l’événement A si P(A|B) > P(A).]
On note P(P ) la probabilité que le test soit positif, et P(M ) la probabilité que la personne soit malade. L’énoncé nous donne P(P |M ) = 0.95 et P P |M = 0.95. {M, M } est un univers (M et M sont donc une partition de l’univers), de même que P et P . On en déduit que P P |M = 0.05 et P P |M = 0.05. 1. P(P ) = P(P |M ) .P(M ) + P P |M .P M = 0.95 ∗ .001 + 0.05 ∗ 0.999 = 0.0509 2. P(M |P )
=
P(M, P ) P(P )
=
P(P |M ) P(M ) = 0.0187 P(P )
3. Un test positif suggère que la personne est malade si P(M |P ) ≥ P(M ) ⇒ P( détection) = P(P |M ) ≥ 1/2(parP(M |P ) ≥ P(M ) ⇒ ... Statistique Appliquée
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École Polytechnique de l’UNSA Polytech’Nice-Sophia 4. P(Pn )
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= P(M ) P(Pn |M ) + P M P Pn |M n
n
= P(M ) P(P |M ) + (1 − P(M ))(1 − P(P |M ) ) 5.
P(M |Pn )
= P(M ) P(Pn |M ) /P(Pn ) =
P(M ) P(Pn |M ) P(M ) P(Pn |M ) + P M P Pn |M
=
P(M ) P(P |M ) n P(M ) P(P |M ) + (1 − P(M ))(1 − P(P |M ) )
n
n
6. N P(M, P ) P M, P P(P ) P M, P P M , P P M P(M |P ) P M |P
1 0.009000 0.099000 0.108000 0.001000 0.891000 0.892000 0.083333 0.998879
2 0.008100 0.009900 0.018000 0.000100 0.801900 0.802000 0.450000 0.999875
3 0.007290 0.000990 0.008280 0.000010 0.721710 0.721720 0.880435 0.999986
4 0.006561 0.000099 0.006660 0.000001 0.649539 0.649540 0.985135 0.999998
Exercice 2.8 Alcootest Un alcootest a été mis au point. Celui-ci donne un résultat positif si la personne a un taux d’alcool supérieur à la valeur admise (on dira qu’il est en état d’ébriété) avec une probabilité de 96 %. Il donne également un résultat positif si la personne n’est pas en état d’ébriété avec une probabilité de 2 %. En faisant l’hypothèse que dans les Alpes Maritimes, 2 % des conducteurs conduisent en état d’ébriété, calculer la probabilité qu’un conducteur des Alpes Maritimes ne soit pas en état d’ébriété s’il a été contrôlé positif. En notant I l’événement la personne testée est ivre et I l’événement complémentaire la personne testée n’est pas ivre, “+” l’événement le test est positif et "−" l’événement le test est négatif, les données sont – sensibilité = proportion de positifs parmi les ivres = P(+|I) = 0, 96 – sélectivité = 1 - taux de faux positifs = 1 - proportion de positifs parmi les non-ivres = 1 − P +|I = 1 − 0, 02 = 0, 98 – prévalence = proportion d’ivres dans la population testée = P(I) = 0, 03. On nous demande de calculer P I|+ = 1 − P(I|+). On utilise : P(I) · P(+|I) – le théorème de Bayes : P(I|+) = P(+) P(I) et P(+|I) nous sont fournis par l’énoncé ; reste à déterminer P(+), ce pourquoi il faut faire appel à : X X – le théorème des probabilités totales P(B) = P(B ∩ Ai ) = P(Ai ) · P(B|Ai ) (où les i
i
Ai forment un système partition de l’espace des événements) qui donne ici : P(+) = P(I) · P(+|I) + P I · P +|I . On peut alors calculer P(I|+), et finalement à P I|+ = 1 − P(I|+) qui est demandé.
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Exercice 2.9 Cherchez le trésor On sait qu’un trésor peut se trouver à deux endroits, avec probabilité β et 1 − β, respectivement (0 ≤ β ≤ 1). On cherche au premier endroit et, si le trésor est là, on le découvre avec probabilité p. Montrer que le fait de ne pas trouver le trésor au premier endroit suggère qu’il se trouve au second.
Tout d’abord, définissons les événements : – A : “Le trésor se trouve au premier endroit” (P(A) = β). – B : “Le trésor se trouve au deuxième endroit” (P(B) = 1 − β). – C :’ “on trouve le trésor au premier endroit”. Premier élément de traduction : le trésor n’est pas trouvé au premier endroit (événement ¯ suggère qu’il se trouve au second endroit (événement B) se traduit par P B|C¯ > C) P(B). D’autre part, on a “on cherche au premier endroit et, si le trésor est là, on le découvre avec probabilité p” se traduit par P(C|A) = p. On notera que P(C|B) = 0. Il nous reste donc à trouver P B|C¯ : ¯ P C|B P(B) Bayes P B|C¯ = P C¯ (1 − P(C|B))P(B) = Probas totales ¯ ¯ P C|A P(A) + P C|B P(B) P(B) = (1 − P(C|A))P(A) + (1 − P(C|B))P(B) 1−β 1−β = = > p si p > 0 ... CQFD (1 − p)β + (1 − β) 1 + βp Exercice 2.10 Dés On lance deux dés. On définit les événements Ai et Bj comme suit : – Ai = {Le premier dé est i} – Bj = {La somme des dés est égale à j} Examiner l’indépendance des événements Ai et Bj (1 ≤ i ≤ 6 , 1 ≤ j ≤ 12) ?
Pour j=7 oui ! C’est la seule valeur de la somme qui est possible à partir de *toutes* les valeurs du premier dé P(A ∩ B) = 1/36, et P(A) = 6/36 toujours. Pour j=7, P(B) = 6/36, alors indépendance pour chaque i. Par contre, pour les autres valeurs de j, il y a moins de 6 cas favorables. Exercice 2.11 Grand magasin ... Un magasin comporte c caisses, et il y a n clients dans le magasin. À chaque instant, la probabilité qu’un client vienne à la caisse est égale à p, indépendamment du comportement des autres clients. Quelle est la probabilité que le nombre de caisses soit insuffisant pour servir tous les clients simultanément (en d’autres termes, quelle est la probabilité qu’il y ait une queue ?)
Il s’agit d’un cas typique de variable aléatoire binomiale. Soit X le nombre de personnes voulant aller à une caisse, celui-ci suit une loi binomiale de paramètres n et p. La probabin X lité que le nombre de caisses soit insuffisant vaut alors P(X > c) = Cni pi (1 − p)n−i . i=c+1
Exercice 2.12 Anniversaires 1. Un ensemble Ω contient n éléments. Calculer le nombre de ses sous-ensembles (y compris ∅ et Ω). 2. Il y a n personnes dans une salle. Calculer la probabilité que les n dates d’anniversaire soient toutes différentes.
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– – Problème classique : l’univers est formé de tous les choix possibles de dates d’anniversaire, dates qu’on suppose équiprobables. La taille de l’univers est donc 365n . Le nombre de dates possibles pour la première personne choisie vaut 365, pour la deuxième, 364 (on ne veut pas de date égale), et ainsi de suite. On a donc : P("toutes les dates différentes") =
365.364.(365 − n + 1) / 365n
On notera en particulier que cette probabilité vaut environ 0.5 pour n=23
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Chapitre 3
Variables aléatoires 3.1
Exercices
Exercice 3.1 Jeu d’échecs Fischer et Spassky jouent un match d’échecs où le premier qui gagne une partie gagne le match. Après dix parties nulles, le match est déclaré nul. La probabilité qu’une partie soit gagnée par Fischer est égale à 0.4 et la probabilité qu’elle soit gagnée par Spassky est égale à 0.3, indépendamment du résultat des parties précédentes. 1. Quelle est la probabilité que Fischer gagne le match ? 2. Quelle est la fonction de probabilité pN (n) du nombre des parties (durée du match) ?
Exercice 3.2 Examen(s) Un étudiant a le droit de se présenter jusqu’à m fois à un examen. La probabilité de réussir est chaque fois égale à p (indépendamment du nombre de fois qu’il s’est déjà présenté. . . ). Calculer la fonction de probabilité du nombre des essais (v.a. N ), sachant que l’étudiant réussit à l’examen.
Exercice 3.3 Communication par paquet Un fournisseur d’accès internet utilise 50 modems pour servir 1000 clients. On estime qu’à chaque instant, chaque client voudra utiliser une connexion avec une probabilité de 1%, indépendemment des autres clients. – Quelle est la masse de probabilité du nombre de modems utilisés à un temps donné ? – Répondre à la question précédente en approximant la masse de probabilité du nombre de clients par une loi de Poisson. – Quelle est la probabilité qu’il y ai plus de clients demandant une connection que de modems ? Donnez une solution exacte et approchée sur base de l’approximation de Poisson.
Exercice 3.4 le mathématicien fumeur Un mathématicien fumeur a une boite d’allumettes dans sa poche droite et une autre boite dans sa poche gauche. Chaque fois qu’il veut allumer une cigarette, il choisit une boite d’une de ses poches avec probabilité p = 1/2, indépendemment des choix précédents. Les deux boites contiennent, au départ, n allumettes. Quelle est la masse de probabilité du nombre d’allumettes restantes au moment ou le mathématicien cherche une allumette, mais discouvre que la boite qu’il a choisie est vide ? Comment peut-on généraliser au cas où les probabilités de choisir la poche gauche vaut p 6= 1/2.
Exercice 3.5 Intervalles de confiance 11
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Un magasin d’électronique vend des sachets de 20 résistances ayant, pour la plupart, une précision de 1 %. Cependant, quelques résistances ont une précision de 5 %. On admet que la probabilité qu’une résistance ait une précision de 1% est de 95 %. Pour améliorer ses ventes, le revendeur envisage d’utiliser le slogan “chaque sachet contient au moins a résistances offrant une précision de 1%”, a étant la valeur qu’il voudrait fixer pour qu’au maximum 1 % des clients ayant acheté un sachet vienne se faire rembourser. Quelle doit être la valeur de a.
Exercice 3.6 Intervalles de confiance On estime que le nombre de clients voulant se connecter sur un hotspot WiFi suit une loi de Poisson de paramètre µ = 1.3. L’opérateur du hotspot garantit un débit au client annoncé comme étant le débit total divisé par le nombre de clients simultanés. On demande de donner un intervalle de confiance au niveau p = 0.99 quant au nombre de clients connectés (et donc également quant au débit annoncé par l’opérateur).
Exercice 3.7 Espérance mathématique / conditionnelle Le revenu moyen des ménages en 2007 était de 17.243 Euros en région PACA, de 15.157 Euros en région Nord-Pas-de-Calais et de 18.835 Euros en Alsace. Quel est le revenu moyen sur l’ensemble de ces trois régions, en supposant que 25 % de la population habite l’Alsace et que 45 % habite la région PACA (et donc 30 % la région Nord-Pas-de-Calais).
Exercice 3.8 Espérance mathématique Un prix est placé aléatoirement dans une boite parmi 10 (les boites sont numérotées de 1 à 10). On cherche à trouver le prix en posant des questions binaires (le prix est-il dans la boite x ?). Donnez l’espérance mathématique du nombre de questions à poser sous l’hypothèse des deux stratégies suivantes : 1. La stratégie d’énumération : “Le prix est-il dans la boite k ?” 2. La stratégie dichotomique : vous éliminez à chaque fois la moitié des boites restantes avec une question du type : “le prix est-il dans une boite de numéro inférieur ou égal à k ?”
Exercice 3.9 Espérance mathématique Soit X une variable aléatoire de densité égale à : x/4 fX (x) = 0
si 1 < x ≤ 3 sinon
4
soit également l’événement A = {X ≥ 2}. 1. Trouvez E[X], P(A), fX|A (x|a) et E[X|A]. 2. Soit Y = X 2 , trouvez E[Y ] et var{Y }.
Exercice 3.10 Espérance mathématique Soit la densité exponentielle bilatérale suivante : pλe−λx fX (x) = (1 − p)λeλx
si x ≥ 0 , six < 0
où λ > 0 et p ∈ [0, 1]. Trouvez la moyenne et la variance de X de deux manières différentes : – par calcul direct – en utilisant une espérance conditionnelle et en vous basant sur la moyenne et la variance de la v.a. exponentielle unilatérale connue (la moyenne vaut 1/λ et la variance vaut 2/λ2 ).
Exercice 3.11 Intervalles Statistique Appliquée
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Soit X une variable aléatoire normale centrée d’écart-type σ, en utilisant les tables, calculez la probabilité des événements {X ≥ kσ} et {|X| ≤ kσ} pour k = 1, 2, 3.
Exercice 3.12 Normaliser et calculer Une variable aléatoire X a comme fonction de probabilité : ( x2 /a, x ∈ {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} . pX (x) = 0 ailleurs Calculer : 1. les valeurs de a et de E[X], 2. la fonction de probabilité pZ (z) de la v.a. Z = (X − E[X])2 , 2 3. la variance σX à partir de pZ (z), 2 à partir de pX (x). 4. la variance σX
Exercice 3.13 Température La température d’une ville est représentée par une variable aléatoire C. Une journée est caractérisée « ordinaire » si la température ne s’éloigne pas plus qu’un écart-type de la valeur moyenne. Si E[C] = σC = 10o C, quelles sont les valeurs extrêmes de la température en Fahrenheit lors d’une journée ordinaire ? (F = 32 + 59 C)
Exercice 3.14 Aléatoire ? 1. Une variable aléatoire X prend une seule valeur x = c. Calculer la fonction de probabilité 2 . pX (X), l’espérance E[X] et la variance σX 2. On nous dit que la variance σY2 d’une variable aléatoire Y est nulle. Quelle conclusion peut-on en déduire ?
Exercice 3.15 Transformations Soit X une variable aléatoire dont les valeurs possibles et équiprobables sont les entiers entre 0 et 9. Calculer les fonctions de probabilité suivantes : 1. pY (y) de Y = X mod (3), 2. pZ (z) de Z = 5 mod (X + 1).
Exercice 3.16 v.a. normale Soit X et Y des variables aléatoires de moyennes 0 et 1 respectivement et de variances 1 et 4 respectivement. Trouvez : 1. P(X ≤ 1.5) et P(X ≤ −1) 2. la densité de probabilité de (Y − 1)/2 3. P(−1 ≤ Y ≤ 1) 4. P(X ≥ 2|X ≥ 0)
Exercice 3.17 Ampoules ...(ref LLN - MAT1271) La durée de vie d’une ampoule électrique est donnée par la variable aléatoire X, exprimée en heures, de densité égale à : a/x3 si 1500 ≤ X ≤ 2500 fX (x) = 0 sinon Trouvez la constante a, la fonction de répartition de X, E[X] et var[X]
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Exercice 3.18 v.a. jointe simple (ref LLN - MAT1271) La fonction 6 − x − y est positive sur le rectangle défini par 0 < x < 2, 2 < y < 5. 1. Calculer k tel que k(6 − x − y) soit une densité de probabilité pour (x, y) 2. Calculer P(X < 1, Y < 3) , P(X + Y < 3) et P(X < 1|Y < 3). 3. Trouvez la densité de probabilité marginale de X. 4. Trouvez la densité conditionnelle fX|Y (x|y).
Exercice 3.19 v.a. normales jointes (ref LLN MAT1271) Soit trois variables aléatoires indépendantes X ∼ N (2, 1), Y ∼ N (3, 2) et Z ∼ N (4, 3), calculez : – P(1 < X < 3) – P(X ≤ Y ) – P(3X − 2Y > 1) – P(X + Y ≤ 2Z − 4) – P(X ≤ Y etZ < 5)
Exercice 3.20 Conditionnement REF Bertsekas Soit X une v.a. de densité fX (x) =
cx−2 0
si 1 ≤ x ≤ 2 sinon
– Déterminez la valeur de c. – Soit l’événement A = {X > 1.5}, calculez P(A) et la densité conditionnelle de X sachant A. – Soit Y = X 2 . Calculez l’espérance conditionnelle et la variance conditionnelle de Y sachant A.
Exercice 3.21 v.a. jointes : L’aiguille de Buffon Soit un ensemble de droites horizontales, distantes l’une de l’autre d’une distance d, tracées sur un plan horizontal (une table). On laisse tomber une aiguille de longueur l < d sur cette table. On demande la probabilité que cette aiguille intersecte une des droites.
Exercice 3.22 v.a. jointes et conditionnement : tir de fléchettes Un joueur de fléchettes tire sur une cible qui est un disque de rayon r, avec une densité de probabilité uniforme (il ne rate jamais la cible ...) et la probabilité d’un point d’impact (x, y) est la même partout. 1. Exprimez la densité de probabilité uniforme sur le disque. 2. Calculez la densité de probabilité marginale sur l’axe vertical Y (fY (y)). 3. Calculez la densité de probabilité conditionnelle que la fléchette arrive au point X = x sachant que sur l’axe vertical Y = y (fX|Y (x|y)).
Exercice 3.23 v.a. jointes et conditionnement : tir de fléchettes Un joueur de fléchettes tire sur une cible qui est un disque de rayon r, avec une densité de probabilité uniforme (il ne rate jamais la cible ...). Soit X la distance entre le point d’impact et le centre de la cible. 1. Exprimez la densité de probabilité de X. 2. Calculez la densité de probabilité marginale sur l’axe vertical Y (fY (y)). 3. La cible a un cercle intérieur de rayon t. Si X ≤ t, le score est de S = 1/X, sinon, le score est de S = 0. Trouvez la fonction de répartition de S. Est-ce que S est une v.a. continue.
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Exercice 3.24 changement de variable Soit X une p variable aléatoire uniformément distribuées sur [−1, 1]. Trouvez la densité de probabilité de |X| et de −ln|X|.
Exercice 3.25 changement de variable Soit une v.a. X de densité fX (x), et une autre variable aléatoire indépendante Y de densité fY (y) trouvez la densité de – Z = eX , que devient cette densité si X ∼ Un([0, 1]) – Z = |X|1/3 – Z = |X|1/4 – Soit X et Y uniformément réparties sur [0, 1], trouvez les fonction de répartition et densité de probabilité de |X − Y |.
Exercice 3.26 Transformation cartésien vers polaire Soit X et Y des variable aléatoires indépendantes de densités de probabilités gaussiennes. La paire (X, Y ) peut être transformée en coordonnées polaires en termes de R ≥ 0 et Θ ∈ [0, 2π] par les expressions : X = R cos Θ,
Y = R sin Θ
– Montrez que Θ est uniformément répartie sur [0, 2π] et que R est distribué selon la loi : fR (r) = re−r
2
/2
r≥0
,
– Montrez que R2 a une distribution exponentielle de paramètre 1/2
Exercice 3.27 Fonction de répartition Trouver la loi de probabilité, la moyenne et la variance de la v.a. X dont la fonction de répartition est : 3 1 − xa3 si x ≥ a, FX (x) = , 0 si x < a où a est une constante positive.
On a que dFX PX (x) = (x) = dx
3
3 xa4 0
si x ≥ a, , si x < a
de même : Z
∞
E[X] =
Z
∞
xPX (x)dx = −∞
x3 a
Et finalement : Z ∞ Z E[X] = x2 PX (x)dx = −∞
a
a3 = 3a3 x4
∞
x2 3
∞
∞ 1 1 1 3a 3 dx = 3a − = x3 2 x2 a 2
Z
∞
Z a
a3 = 3a3 x4
a
∞ 1 1 3 dx = 3a − = 3a2 x2 x a
Exercice 3.28 Où on mélange majuscules et minuscules ... Soit X une variable aléatoire de distribution exponentielle et de moyenne = 1 (PX (x) = λe−λx , x ≥ 0, E[X] = 1/λ, var(X) = 1/λ2 ). Une fois qu’on a observé la valeur expérimentale (réalisation) x de X, on génère une variable aléatoire Y normale, de moyenne nulle et de variance x + 1 (pour rappel, la loi de probabilité gaussienne d’une v.a. T de moyenne µ et de 2 2 1 variance σ 2 vaut PT (t) = √ e−(t−µ) /2σ ). On demande la loi de probabilité jointe de X et 2πσ Y.
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On a PX (x) = e−x pour x ≥ 0, et 2 1 PY |X (y|x) = p e−y /2(x+1) , 2π(x + 1)
pour tout x ≥ 0 et tout y. On en déduit alors PX,Y (x, y) = PX (x)PY |X (y|x) = e−x p
1 2π(x + 1)
e−y
2
/2(x+1)
Exercice 3.29 Détection de signal
Un message binaire est transmis par les valeurs -1 ou +1. Le canal de communication corrompt le signal en ajoutant un bruit gaussien de moyenne µ et de variance σ 2 . Le récepteur décide que le signal envoyé était -1 si le signal reçu est négatif, et +1 si le signal reçu est positif. Donnez la probabilité d’erreur (sous la forme d’une intégrale).
Il y a erreur si – le bruit est plus grand que 1 si le signal transmis vaut -1 – le bruit est plus petit que -1 si le signal transmis vaut +1. On appelle N la v.a. Gaussienne qui représente le bruit. On a donc, pour le premier cas, que la probabilité d’erreur est donnée par : P (N ≥ 1) = 1 − P (N < 1) où P (N < 1) est la fonction de répartition d’une Gaussienne de moyenne µ et de variance σ 2 . Par définition de loi de probabilité Gaussienne et de fonction de répartition, on obtient P (N < 1) =
1 √ σ 2π
Z
1
2
e−(v−µ)
/2σ 2
dv,
−∞
et pour le deuxième cas, par symétrie, on obtient le même résultat. Pour σ = 1, on a P (N < 1) = 0.8413 et la probabilité d’erreur est 0.3174
Exercice 3.30 Un point sur un demi-disque
Un point est choisi sur un demi-disque de rayon R. Le demi-disque est centré à l’origine et est situé dans le demi-plan supérieur. On demande : 1. La loi de probabilité conjointe de ses coordonnées X et Y 2. la loi de probabilité marginale Y et sa moyenne. 3. Vérifier (2) en calculant E(Y) sans utiliser la loi marginale de Y.
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1. La point étant choisi “au hasard” sur un demi-disque de rayon R, cela veut dire 2 que l’on a une distribution uniforme sur le demi-disque et donc PX,Y (x, y) = πR 2. Note : c’est la solution de Bertsekas, mais c’est peut-être un peu vite dit pour nos étudiants ... J’aurais tendance à dire que PΘ (θ) = 1/π pour θ ∈ [−π/2, π/2] et PR(r)=∂rR . On a donc les relations (X, Y) = (R cos(Θ), R sin(Θ)), et, en tenant compte qu’on travaille uniquement sur le demi-disque supérieur : p (Θ, R) = (arctan(Y/X), X2 + Y2 ) p (sous contrainte que X2 + Y2 = R) 2. Pour trouver la loi marginale de Y, on intègre la loi jointe sur X : Z
A
PY (y) = −A
2 dx = πR2
4A πR2
si 0 ≤ y ≤ R, sinon.
0
p où A = R2 − y 2 . On a alors E[Y] =
4 πR2
Z
R
y 0
p 4R R2 − y 2 dy = 3π
en utilisant le changement de variable z = R2 − y 2 pour l’intégration. 3. On peut trouver l’espérance en utilisant directement la loi conjointe. En notant D le demi-disque, on a : Z E[Y] =
Z
π
Z
yPX,Y (x, y)dxdy = D
0
0
R
4R 2 r sin θrdrdθ = 2 πR 3π
Exercice 3.31 Somme de v.a. Les variables aléatoires X, Y et Z sont indépendantes et uniformément réparties sur [0, 1]. Trouvez le densité de probabilité de X + Y + Z.
Exercice 3.32 Somme de v.a. REF Bertsekas Une équipe de foot doit désigne trois tireurs de penalty, chaque tireur réussissant avec une probabilité pi , indépendemment des autres tireurs. soit X le nombre de penalties marqués après que chaque tireur ait tiré une fois. Utilisez la convolution pour calculer la masse de probabilité de X.
Exercice 3.33 Somme de v.a. REF Bogaerts Soit X ∼ Y ∼ Exp(λ), la duré de fonctionnement de deux machines identiques et indépendantes avant l’occurrence d’une première panne, alors Z = X +Y est la durée totale de fonctionnement des deux machines si l’une se met en marche dès que l’autre est en panne. Trouvez la densité de probabilité de la durée totale de fonctionnement.
Exercice 3.34 v.a. et espérance conditionnelle REF Bertsekas Statistique Appliquée
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Un professeur retraité se rend au bureau à une heure répartie uniformément entre 9 heures du matin et une heure de l’après-midi, il effectue une seule tâche et quitte le bureau dès qu’elle est terminée. La durée de cette tâche est exponentiellement distribuée avec un paramètre λ = λ(y) = 1/(5 − y), où y est est la longueur de l’intervalle de temps entre 9 heures et le moment de son arrivée au bureau. 1. Quel est le temps moyen que le prof. consacre à sa tâche ? 2. Quel est l’heure moyenne de la fin de sa tâche ? 3. Un étudiant veut rencontrer ce prof. et arrive à une heure répartie uniformément entre 9 heures du matin et 17 heures. Si le prof. n’est pas là, l’étudiant part tout de suite. Si le prof. est là, l’étudiant travaille avec le prof pendant une durée uniformément répartie entre 0 et 1 heure. Ce rendez-vous n’aura pas d’influence sur le temps que le prof. passera sur sa propre tâche. Quel est le temps moyen que le prof. consacrera à son étudiant et quel sera (en moyenne) l’heure à laquelle le prof. quittera son bureau ?
Exercice 3.35 Estimation aux moindres carrés Un radar surestime la vitesse des voitures par une quantité uniformément répartie entre 0 et 10 km/h. En supposant que la vitesse des voitures sur autoroute est uniformément répartie entre 100 et 140 km/h, quelle est l’estimée de la vitesse de la voiture basée sur la mesure du radar ?
Exercice 3.36 Estimation basée sur plusieurs mesures Soit X une v.a. de moyenne µ et de variance v ; soit Y1 , . . . Yn les mesures telles que Yi = X + Wi , où les erreurs de mesure Wi sont des v.a. de moyenne nulle et de variance vi . X et Wi sont supposées mutuellement indépendantes. Montrez que l’estimateur linéaire aux moindres carrés vaut (µ/v) ˆ = X (1/v)
n X (Yi /vi ) i=1 n X
(1/vi )
i=1
Exercice 3.37 S oit X et Y deux v.a. de variance positive. ˆ L le meilleur estimateur linéaire aux moindres carrés de X basé sur Y , montrez 1. Soit X que : h i ˆ L )Y = 0, E (X − X et que l’erreur d’estimation est décorrélée de Y . ˆ = E[X|Y ] l’estimateur aux moindres carrés de X basé sur Y . Montrez que : 2. Soit X h i ˆ L )h(Y ) = 0, E (X − X quelque soit la fonction h.
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