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Panorama 5 Unité 5.3  Vocabulaire 

Expérience aléatoire : lorsque le résultat de l’expérience dépend du hasard. Plus précisément, on ne peut pas savoir avec exactitude le résultat de l’expérimentation.



Univers des résultats possibles : ce sont tous les résultats qu’il est possible d’obtenir lorsque l’expérience sera réalisée. Il est possible de connaître ces résultats AVANT de faire l’expérience. Les résultats possibles sont notés dans un ensemble (donc avec des accolades) qui est représenté par le symbole « oméga » : Ω. o Exemple 1 : On lance un dé à six faces et on observe le chiffre obtenu sur la face supérieure. Identifie l’univers des résultats possibles de cette situation. Ω = {XXXXX} o Exemple 2 : On pige une carte dans un jeu de cartes complet et on observe la couleur de la carte pigée. Identifie l’univers des résultats possibles de cette situation. Ω = { XXXXX }



Le nombre d’étapes d’une expérience aléatoire. Une expérience peut comprendre une seule étape ou alors plusieurs. o Exemples : Pour chaque expérience aléatoire, identifie s’il s’agit d’une expérience à une ou plusieurs étapes. Expérience aléatoire

Une étape

Plusieurs étapes

Lancer un dé Lancer un dé, puis piger une bille dans un sac Tirer une carte d’un jeu de cartes, puis en piger une deuxième 

Événement : il s’agit d’un sous-ensemble de l’univers des résultats possibles. o Exemple : Avec l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé et à observer le chiffre obtenu sur la face supérieure, un événement peut être : « obtenir un nombre impair » et les résultats possibles sont {1, 3, 5}.



Événement élémentaire : c’est lorsque l’événement contient un seul résultat de l’univers des possibles. o Exemple : Avec l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé et à observer le chiffre obtenu sur la face supérieure, un événement élémentaire peut être : « obtenir un nombre supérieur à 5 » et le seul résultat possible est {6}.

 Types de probabilités 

Probabilité : c’est un nombre qui représente la possibilité qu’un événement se produise. Une probabilité peut être représentée par une fraction, un pourcentage ou un nombre décimal et est comprise entre 0 et 1.



Probabilité théorique : elle se calcule SANS avoir besoin de faire l’expérience aléatoire à l’aide de la formule suivante : 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é (é𝑣é𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡) =

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑟é𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡𝑠 𝐹𝐴𝑉𝑂𝑅𝐴𝐵𝐿𝐸𝑆 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑟é𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡𝑠 𝑃𝑂𝑆𝑆𝐼𝐵𝐿𝐸𝑆

o Exemple 1 : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé et à observer le chiffre obtenu sur la face supérieure. Quelle est la probabilité de l’événement « obtenir un nombre impair »?

𝑃 (𝑐ℎ𝑖𝑓𝑓𝑟𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟) =

=

o Exemple 2 : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé et à observer le chiffre obtenu sur la face supérieure. Quelle est la probabilité de l’événement « obtenir un nombre supérieur à 5 »?

𝑃 (𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑠𝑢𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 à 5) = 

Probabilité fréquentielle : elle se calcule APRÈS avoir fait l’expérience. On l’utilise souvent lorsqu’il est impossible de calculer une probabilité théorique. Plus le nombre de répétitions de l’expérience est élevé, plus la probabilité fréquentielle s’approche de la probabilité théorique. La formule est la suivante : 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é (é𝑣é𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡) =

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑒 𝑟é𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡 𝑒𝑠𝑡 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑢 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙 ′ 𝑒𝑥𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎 é𝑡é 𝑟é𝑎𝑙𝑖𝑠é𝑒

o Exemple : Lors d’un match de hockey, le pourcentage d’efficacité d’un gardien de but est une probabilité fréquentielle calculée comme ceci :

𝑃 (𝑎𝑟𝑟ê𝑡) =

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑒 𝑔𝑎𝑟𝑑𝑖𝑒𝑛 𝑎 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢é 𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑟ê𝑡 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑖𝑠 𝑞𝑢′ 𝑢𝑛 𝑙𝑎𝑛𝑐é 𝑎 é𝑡é 𝑑𝑖𝑟𝑖𝑔é 𝑠𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑔𝑎𝑟𝑑𝑖𝑒𝑛

 Types d’événements Selon le résultat obtenu lors du calcul de la probabilité, un événement appartiendra à l’un des trois types suivants : 

Événement impossible : la probabilité de cet événement est de 0. o Exemple : On lance un dé et on observe le chiffre obtenu. L’événement « obtenir un nombre contenant deux chiffres » est impossible.



Événement probable : la probabilité de cet événement est supérieure à 0, mais inférieure à 1. o Exemple : On lance un dé et on observe le chiffre obtenu. L’événement « obtenir un chiffre pair » est probable.



Événement certain : la probabilité de cet événement est de 1. o Exemple : On lance un dé et on observe le chiffre obtenu. L’événement « obtenir un chiffre inférieur ou égale à six » est certain.

 Exercice Soit l’expérience qui consiste à lancer deux dés et on observe la somme des nombres visibles sur la face supérieure de chacun des dés.

+

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

1) Détermine l’univers des résultats possibles. Ω = {XXXXX} 2) Calcule les probabilités suivantes en fraction, en nombre décimal et en pourcentage, puis indique de quel type d’événement il s’agit. Type d’événement

Probabilité P(1) = XXXXX P(5) =

=

== ==

P(8) =

% %

P(avoir une somme inférieure à 13) = X P(7) =

=

==

%

 Dénombrement Il s’agit de savoir le nombre de résultats possibles existants lors d’une expérience aléatoire à plusieurs étapes. Pour y parvenir, il faut multiplier le nombre de résultats possibles pour chacune des étapes. Afin de connaître les résultats possibles par étape, il existe trois méthodes. 

Grille o Exemple : On lance deux pièces de monnaie et on observe la face visible. Pièce 1

Pièce 2

Résultats possibles

Pile

Face

Pile

(P, P)

(P, F)

Face

(F, P)

(F, F)

Nombre de résultats possibles : 

XX

x

XX

= XX

Réseau o Exemple : On veut déterminer le nombre de chemins possibles pour se rendre de la ville A à la ville C, mais nous devons obligatoirement passer par la ville B. Entre les villes A et B, il existe trois routes tandis qu’il y en a deux entre les villes B et C.

Nombre de résultats possibles :

XX

x

XX

= XX



Diagramme en arbre Parfois, il peut arriver que lors d’une expérience aléatoire à plusieurs étapes, il faille procéder avec ou sans remise. Si l’expérience se déroule avec remise, le résultat obtenu lors de la première étape n’influence pas le résultat de la deuxième étape. Par contre, si l’expérience est sans remise, ce n’est pas le cas. o Dans un même sac, on place 5 billes bleues, 8 rouges, 9 vertes et 3 jaunes. 

Tirage avec remise

Nombre de résultats possibles :

XX

x

XX

= XX



Tirage sans remise

Nombre de résultats possibles :

XX

x

XX

= XX