Tentamen i Matematik D 2010-08-16

Institutionen för Fysik och Astronomi

Tentamen i Matematik D 2010-08-16 för T ekniskt/Naturv et enskapligt Basår lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström

Skrivtid: 8.00-12.00 • Hjälpmedel: Miniräknare och formelsamling • Fullständiga och utförliga lösningar skall lämnas till alla 16 uppgifter. • Glöm inte att skriva namn och personnummer på varje sida. • Total poängsumma är 40p. För godkänt krävs normalt 20 poäng. Har 4 bonuspoäng uppnåtts krävs således 16 tentapoäng för godkänt.

1. Vilket alternativ är rätt?

Hypotenusan c i figuren har längden 5 a) 5 sin 31° cm b) cm sin 31° 5 d) cm e) 5 tan 31° cm cos 31°

c) 5 cos 31° cm (1p)

Lösning: b) är rätt. 2. I triangeln ABC är A=37,0°, AC=15,0 cm och BC=10,0 cm. Beräkna vinklarna B och C samt längden av sidan AB. (2p) Lösning:

sin A sin B sinC sin 37° sin B och AC=b och BC=a ger . = = = a b c 10 15 15 " sin 37° , vilket ger B=64,5° eller B=180°-64,5°=115,5° sin B = 10 Fall 1: B=64,5° ! A+B+C=180° C=180°-A-B C= 180°-37°-64,5°! C=78,5° Sidan AB=c kan vi då beräkna med sinussatsen: Sinussatsen

!

c 10 = vilket ger c=16,3 cm sin 78,5° sin 37°

!

Fall 2: B=115,5° C=180°-37°-115,5° C=27,5° Sinussatsen ger c=7,7 cm. Svar: Det finns två trianglar: Triangel 1: C=78,5°, B=64,5°, AB=16,3 cm. Triangel 2: C= 27,5°, B=115,5°, AB= 7,7 cm. 3. Beräkna den största vinkeln i en triangel med sidorna 24 cm, 18 cm, och 15 cm. (2p) Lösning: Vi använder oss av cosinussatsen och vet att den största vinkeln står mot den största sidan. 24 2 = 15 2 + 18 2 " 2 #15 #18 # cos A 540cos A + 24 2 = 15 2 + 18 2

!

15 2 + 18 2 " 24 2 540 cos A = "0.05 cos A =

A = cos"1 ("0.05) A = 92,9°

Svar: Den största vinkeln är lika med 92,9°. !

4. Bestäm värdet av sinv om v är en vinkel i tredje kvadranten och cosv = " Lösning: Vi använder oss av den trigonometriska ettan. sin 2 v + cos 2 v = 1 ! ! sin 2 v = 1" cos 2 v 24 sin 2 v = 1" (" ) 2 25 576 sin 2 v = 1" 625 625 576 sin 2 v = " 625 625 49 sin 2 v = 625 49 sinv = ± 625 7 sinv = ± 25

!

!

24 . 25

(3p)

Eftersom vinkeln skall vara i tredje kvadranten, måste både x (cosv) och y (sinv) koordinaterna 7 vara negativa, dvs följande svar: sinv = " 25 5. Visa att (sin x + cos x) 2 " (sin x " cos x) 2 = 2sin2x . Lösning: ! sin 2 x + 2sin x cos x + cos2 x " (sin 2 x " 2sin x cos x + cos2 x) = 2sin ! x cos x + 2sin x cos x = 4 sin x cos x = Additions/subtraktionssatserna ger oss att sin2u=2sinu cosu. Därav följer att 4 sin x cos x = 2sin2x , v.s.v.

(3p)

!

! 6. Lös följande ekvation: cos x(3cos2x " 7) = 0 . Lösning: Vi använder oss av nollproduktmetoden. Antigen är cosx=0 eller (3cos2x-7)=0. Därav följer att x!= ±90° + n " 360° eller 7 cos2x = 3 7 2x = ±!cos"1 ( ) 3 Det finns ingen lösning till denna ekvation, eftersom cos(x) aldrig blir större än 1. Svar: x = ±90° + n " 360° !

(3p)

7. I figuren har man ritat funktionen y = 2 sin x . På kurvan har man markerat två punkter P och Q som har y-koordinaten 1. Beräkna avståndet i grader mellan punkterna P och Q. !

(3p) Lösning: För att kunna beräkna avståndet melan punkterna P och Q behöver jag punkternas xkoordinat. Jag vet att för både P och Q gäller: 1 = 2sin x eftersom y=1 för både P och Q. Då löser jag ekvationen och få både P och Q x-koordinat:

!

1 = 2sin x sin x = 0.5 x = sin"1 (0.5) x = 30°;x = 180° " 30° = 150°

Svar: Avståndet i grader mellan punkterna P och Q är således 120°. !

8. Kurvan i figuren nedan är av typen y = B + Asin kx eller y = B + Acos kx . Anger vilken typ av funktion som är ritad och bestäm konstanterna A,B och k . !

!

!

!

(3p) Lösning: y=B+Asinkx med A=3; B=2; Perioden är 180° vilket ger k=2. 9.

Beräkna (utan derivering) det största värdet för y , där y = 33sin x + 56cos x .

(2p)

Vi vet att y = asin x + bcos x = a + b " sin(x + v) . Amplituden av vår funktion bli då lika med 65. Svar: Det största värdet vår funktion anta! är lika ! med 65. 2

! !

!

2

! Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = 2sin x + 3cos x då x = " . 10. Lösning: y " = 2cos x # 3sin x y "($ ) = 2cos $ # 3sin $ ! ! y "($ ) = #2 Rätt linjes ekvation: y=kx+m k = y "(# ) För att bestämma m behöver vi veta y för x=π: y = "3 Vi använder oss av följande samband: y " y1 = k(x " x1 ) y " ("3)!= "2(x " #) ! y = "2x + 2# " 3 Det sista uttrycket är tangentens ekvation och därmed svaret. 1 11. Bestäm f "(x) då f (x) = 2 " ln x x Lösning: Vi använder oss av produktregeln. ! !

(3p)

(2p)

1 1 2 # $ # ln x x2 x x3 1 2ln x f "(x) = 3 $ 3 x x 1$ 2ln x f "(x) = x3 f "(x) =

12. Temperaturen i en sjö uppmättes under ett molnigt sommardygn. Temperaturen visade sig följa funktionen y (t ) = 15 + 2 sin 0,26t där t är antalet timmar efter kl. 12.00. a) Bestäm y "(t) . (1p) b) Bestäm y "(10) . (1p) c) Tolka vad y "(10) betyder för vattnets temperatur. (2p)

!

!

!

! Lösning: ! a) y "(t) = 0.26 # 2cos(0.26t) ! b) y "(10) = 0.52cos(2.6) y "(10) = #0.45 c) Efter 10 timmar, dvs kl.22.00, sjönk sjöns vattentemperatur med 0.45° per timme.

13. Bestäm samtliga primitiva funktioner F ( x ) till f ( x ) = !

8 x3

.

(2p)

Lösning: f (x) = "8x "3

F(x) = "8 F(x) =

x "2 ("2)

4 x2

Svar: Samtliga primitiva funktioner till f (x) =

!

14. Vilket år dog Gustav Vasa? Genom att beräkna integralens värde får du svaret. Beräkningen skall göras med hjälp av primitiv funktion. ! ! 10 2 Årtalet = ! (3 x + 10 x + 6) dx (2p) 0

Lösning: 10 [ x 3 + 5x 2 + 6x ] = 0

3

2

(10 + 5 "10 + 6 "10) # 0 = 1560 Svar: Gustav Vasa dog år1560. !

"8 4 är F(x) = 2 + C . 3 x x

2

15. Bestäm f !!(1) då f (x ) = e x . Svara exakt. Lösning: Vi använder oss av kedjeregeln och produktregeln. 2 f "(x) = e x # 2x 2

(2p)

2

f ""(x) = (e x # 2x) # 2x + e x # 2 f ""(1) = 4e + 2e f ""(1) = 6e Svar: f ""(1) = 6e

16. I figuren har kurvan y = x 2 och linjen y = 9 ritats. Beräkna arean av det streckade ! området. Integrationsgränserna får tas direkt ur figuren.

!

(3p)

Lösning: 3

A=

# (9 " x

2

)dx

0

3 $ x3' A = &9x " ) 3 (0 %

A = 27 " 9 A = 18ae

!

Lycka till! (Tentamensresultatet anslås på Ångströmlab och på Studentportalen inom en vecka.)