Tentamen i Mekanik SG1102 mk COPEN. Problemtentamen

2016-05-31

Tentamen i Mekanik SG1102 m.k. COPEN. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik

Problemtentamen 1.

En gammal dator som inte fungerar längre släpps från nionde våningen av ett kontorshus. Antag att fallinjen är vertikal och att den bromsande kraften är proportionell mot farten i fallet, dvs F=cv. Hur kommer farten att variera som funktion av falltiden? Hur kommer accelerationen att varieran som funktions av falltiden? Tyngdaccelerationen g på jordens är känd.

2.

3.

En bil (med förare) har massan m då den passerar ett backkrön på höjden H över en annars vågrät vägbana. I nedförsbacken behöver bilföraren tvärbromsa. Vägförhållandet är sådant att friktionstalet är µ . Bilens fart är v0 i bromsögonblicket. Vägbanans lutning beskrivs av " i figuren, och dess krökningsradie är 3H/2. Bestäm bilens acceleration i bromsögonblicket. ! Naturliga komponenter får användas. ! Tyngdaccelerationen g är känd. ! En rymdfärja ska transportera en satellit ut till en ellipsbana kring jorden, där närmsta läget är i A och mest avlägsna läget är i B, se figuren. Rymdfärjan accelereras från jorden så att den kommer att följa sin ellipsbana i figuren. Beräkna den fartökning i A relativt rymdfärjan som behövs för att satelliten skall hamna i rätt bana. Satellitmassan m, jordradien R och tyngdaccelerationen g vid jordytan är kända.

4.

Två sammankopplade massor m A och mB kan röra sig utan friktion. Den otänjbara tråd som sammankopplar massorna har försumbar massa (dvs ingen egen massa). Massan mB är fäst i en fjäder med fjäderkonstant k. När ! ! detta system rör sig utan att trådspänningen blir noll fås en svängningsrörelse. a) Bestäm den (naturliga) vinkelfrekvensen för den harmoniska svängningen som !då blir. b) Bestäm också trådspänningens storlek när fjädern är ospänd. Tyngdaccelerationen g är känd.

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!

SG1102 Mekanik, m.k. COPEN 2016-05-31

Teoritentamen (Välj ett korrekt alternativ och redovisa på separat svarsblad!) 1. En rak fjäders kraft beskrivs av Fk = "k#xe x , där "x är fjäderns förlängning, e x dess riktning, och k är en konstant. Analys av konstantens dimension ger: a) MLT 2 b) MT "2 c) ML2 T "2 d) LT "2 e) MLT "2 f) LT 2 ! ! !

!

!

!

!

!

!

2. Vilken pil motsvarar transversell riktning för en partikelmassa m som rör sig åt vänster längs bankurvan i figuren? Banan ligger i xy-planet. 3. För en partikels rörelse finns ett antal lagar som kan användas för att förutsäga mekaniska frågeställningar; om energier, lägen, krafter …? Hur många oberoende matematiska ekvationer bland de mekaniska lagarna finns att tillgå? (a) 6 (b) 5 (c) 4 (d) 3 (e) 2 (f) 1 4. Vilken lägevektor beskriver en likformig cirkelrörelse som funktion av tiden? Ledning: k, l, " och R är konstanter, medan x och " är ospecificerade funktioner av tiden t. (a) r (t) = R" e# (b) r (t) = kx + l ! ! (c) r (t) = R(cos "t,sin "t,t ) (d) r (t) = R(cos " ,sin " ,l ) e x (e) r (t) = (kx + l)e x (f) r (t) = R(l,cos "t,sin "t )

! ! ! ! ! !

5. För en partikels likformiga cirkelrörelse gäller alltid att: (a) rörelsemängden är konstant, (b) hastigheten är konstant, (c) totala kraften på partikeln är konstant (d) rörelsemängdsmomentet med avseende på någon fix punkt är konstant (e) accelerationen är konstant (f) kraftens impuls är konstant 6. En partikels acceleration a kan uttryckas med cylinderkomponenters riktningar er , e" och ez på följande sätt: (a) a = ˙r˙ " r#˙ 2 er + r#˙˙ + 2r#˙ e# + ˙z˙ez (b) a = ˙r˙ " r#˙˙ er + r#˙˙ + 2 r˙# 2 e# + ˙z˙ez ! ! (c) a = ˙r˙ " r#˙˙ er + r#˙˙ + 2r#˙ e# + ˙z˙ez (d) a = ˙r˙ " r#˙ 2 er + r#˙˙ + 2 r˙#˙ e# + ˙z˙ez

(

!

!

(

(

) (

)

(

) (

)

(

(

(

)

)

!

(e) a = ˙r˙ " r#˙˙2 er + r#˙˙ + 2r#˙ 2 e# + ˙z˙ez !

!

!

!

)

(f)

)

) ) ( a = (r˙˙ " r#˙˙) er + (r#˙2 + r˙#˙) e# + z˙˙ez

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– !

SG1102 Mekanik, m.k. COPEN 2016-05-31 7. För en partikels kaströrelse gäller alltid att: (a) rörelsemängden är konstant, (b) hastigheten är konstant, (c) rörelsemängdsmomentet avseende på någon fix punkt är konstant (d) läget är konstant (e) totala kraften på partikeln är konstant (f) rörelseenergin är konstant 8. För en spänd, lätt och otänjbar tråd som förbinder två partikelmassor gäller att (a) tråden påverkar den snabbaste partikeln av de två med störst kraft. (b) tråden påverkar den snabbaste partikeln av de två med minst kraft. (c) tråden påverkar båda partiklarna med lika kraftvektorer. (d) tråden påverkar båda partiklarna med lika kraftparsmoment skilt från 0 . (e) tråden påverkar båda partiklarna med lika stora men motriktade kraftvektorer bara om partiklarna är i vila. (f) tråden påverkar båda partiklarna med lika stora men motriktade kraftvektorer. ! 9. En partikel kan påverkas av krafter, enligt Newtons lagar. I vardagslivet lär man ibland höra om s.k. ’krafter’, som inte är fysikaliska krafter. T. ex. körskolans ’levande kraften’ i samband med uppskattning av bromssträckor. Vilken annan s.k. ’kraft’ på en partikel av alternativen nedan är ingen fysikalisk (verklig) kraft? (a) trådkraft, (b) centrifugalkraft, (c) friktionskraft, (d) gravitationskraft, (e) fjäderkraft, (f) normalkraft.

10. En kraft F får tre massor att accelerera längs en rät linje. Hur stor är totala kraften på massan 5m? (a) F/3, (b) F/5, (c) F/2, (d) F, (e) 2F, (f) 5F.

11. En logisk följd av ekvationer med kursens beteckningar ges av: (a) (b) (c) (d) } } } t1 } t "p = p(t1 ) # p(t0 ) = mv (t1 ) # mv (t0 ) = $ madt = $ 1 Fdt t0 t0 . (e) (f) } % t1 } t1 t1 ( = ' $ Fx dt, $ Fy dt, $ Fz dt * = I t0 t0 & t0 ) Vid vilken likhet används impulslagen? !

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

SG1102 Mekanik, m.k. COPEN 2016-05-31

12. En logisk följd av ekvationer, från vänster led, ges i kursens beteckningar enligt: (a) (b) (c) (d) (e) } " } } } } % d mv • v m m ' = ( v˙ • v + v • v˙ ) = (2 v˙ • v ) = p˙ • v = P . T˙ = $# dt 2 & 2 2 Vid vilken likhet används definitionen av en rörelsemängd?

!

13. En logisk följd av ekvationer, från vänster led, ges i kursens beteckningar, enligt: (a) (b) (c) (d) (e) }# } t1 } t1 } r1 } &( #% mv • v &( mv • v % T (t1 ) " T (t0 ) = $ " = P dt = F • v dt = F • dr = U0*1 . ) ) ) t0 t0 r0 2 't=t $ 2 't=t 1

0

Vid vilken likhet används definitionen av en krafts effekt? !

14. En logisk följd av ekvationer (från vänster), för en partikel, ges i kursens (a) (c) (d) (e) (f) } d( r " p) (b) } } } } } ˙ = v " p + r " p˙ = r " p˙ = r " F = MO = 0 . beteckningar av: HO = dt Vid vilken likhet används att kraften har egenskapen som kallas ’centralkraft’? ! 15. Två satelliter med olika massor rör sig kring jorden i olika banor, men banorna har lika storaxlar. Vilka mekaniska storheter är alltid lika för de två satelliternas rörelser? (a) accelerationer och sektorhastigheter, (b) bara sektorhastigheter, (c) bara omloppstider, (d) omloppstider och banenergier, (e) bara banenergier, (f) farter och sektorhastigheter.

16. Antag att ett mekaniskt system satisfierar svängningsekvationen: x˙˙ + 4k x = a sin "t , där k, M, a och " är konstanter. För vilket/vilka värde/värden på " är M systemets respons alltid i motfasrörelse jämfört med störningssvängningen? (a) " < 4 k (b) " > 4 k (c) " = 2 k (d) " = 4 k (e) " < 2 k (f) " > 2 k M M! aM M M ! M

! !

!

!

!

!

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

!