Terminale S Durée : 1h00 10 points On dispose de deux dés

D EVOIR SURVEILLÉ N° Durée : 1h00

Terminale S

10 points

E XERCICE :

On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l’un est bien équilibré et l’autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d’obtenir 1 6 lors d’un lancer est égale à . 3 Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. 1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus. a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ? b. En déduire l’espérance de la variable aléatoire réelle X ? c. Calculer P (X = 2). 2. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite. On considère les évènements D et A suivants : • D « le dé choisi est le dé bien équilibré » . • A : « obtenir exactement deux 6 ». a. Calculer la probabilité des évènements suivants : • « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » . • « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ». (On pourra construire un arbre de probabilité). 7 b. En déduire que : p(A) = . 48 c. Ayant choisi au hasard l’un des deux dés et l’ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d’avoir choisi le dé truqué ? 3. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé n fois de suite (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2). On note B n l’évènement « obtenir au moins un 6 parmi ces n lancers successifs ». a. Déterminer, en fonction de n, la probabilité p n de l’évènement B n . ¡ ¢ b. Calculer la limite de la suite p n . Commenter ce résultat.

2011-2012

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Florent Lebreton

C ORRIGÉ DE L’ EXERCICE 1.

a. Il s’agit d’une expérience à deux issues avec une probabilité de succès p =

1 et une proba6

5 que l’on répète de manière indépendante 3 fois. X représente le nombre 6 de succès et suit donc une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 16 . bilité d’échec q =

b. L’espérance d’une loi binomiale de paramètres n et p est np. 1 1 Donc E (X ) = 3 = . 6 2 1 c. Comme X suit une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = , on a : 6 Ã ! 5 3 2 1 5 P (X = 2) = p q = 3× 3 = . 2 6 72 2.

a. 5/72 A 1/2 D A 2/9 A 1/2 D A L’événement « choisir le dé équilibré et obtenir exactement deux six » correspond à D ∩ A. 5 1 5 = . D’où p(D ∩ A) = p(D) × p D (A) = × 2 72 144 L’événement « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux six » correspond à D ∩ A. D’où p(D ∩ A) = p(D) × p D (A). On utilise un raisonnement analogue au 1.c., Ã ! 3 02 01 1 p q où p 0 = . p D (A) = 2 3 1 2 1 2 Donc p D (A) = et p(D ∩ A) = × = . 9 2 9 9 16 21 7 5 + = = . 144 144 144 48 p(D ∩ A) 1 48 16 c. Il s’agit de calculer p(D sachant A) = = × = . p(A) 9 7 21 µ ¶n µ ¶n 5 2 n a. p D (B n ) = 1− p D (« n’obtenir aucun 6 ») = 1− q = 1− . De même p D (B n ) = 1− . On 6 3 applique alors la formule des probabilités totales : µ ¶ µ ¶ 1 5 n 1 2 n p n = p(B n ) = p(D) × p D (B n ) + p(D) × p D (B n ) = 1 − − . 2 6 2 3 2 5 2 b. ( 56 )n tend vers 0 et ( )n tend aussi vers 0 car et appartiennent à l’intervalle ] − 1; 1[. 3 6 3 Donc p n tend vers 1. Ce résultat est prévisible car, quel que soit le dé, à condition de jouer suffisamment longtemps, on a une quasi certitude d’obtenir au moins une fois un 6. (ici, p 22 > 0, 99 et p 100 ≈ 1). b. On en déduit que p(A) = p(D ∩ A) + p(D ∩ A) =

3.

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Florent Lebreton