Terminale STG Chapitre 8 : probabilités. Page n ° 1 2007

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Chapitre 8 : probabilités.

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Les jeux de hasard sont connus depuis l'Antiquité. C'est leur étude qui a conduit Pierre de Fermat ( 1601 - 1665 ) et Blaise Pascal ( 1623 - 1662 ) à s'intéresser au calcul des probabilités. Jacques Bernoulli ( 1654 - 1705 ) énonça la loi des grands nombres qui exprime le lien entre la fréquence d'un événement et sa probabilité d'apparition. La publicité nous annonce que le loto ce n'est pas cher et que ça peut rapporter gros. Mais de combien de façon différentes peut-on choisir un numéro parmi 49 ? En remplissant une grille de loto, combien a-t-on de chances de choisir les 6 bons numéros ? Autrement dit quelle est la probabilité de gagner ? 1 Celle ci est très faible : . Seul l'Etat qui prélève 27,2 % du montant des paris est sûr de gagner… 13983816 On rencontre aussi les probabilités dans différents domaines tels les sondages d'opinion, dans les calculs effectués par les compagnies d'assurance, en économie, en démographie, en médecine… Autrement dit chaque fois que l'on mesure un risque. 1 Vocabulaire.

Lorsqu'on ne sait à l'avance quelle sera l'issue d'une expérience, on dit qu'il s'agit d'une expérience aléatoire. Une expérience aléatoire peut conduire à plusieurs issues notées e1, e2, …, en. L'ensemble des issues possibles d'une épreuve ( ou expérience ) aléatoire est appelé l'univers de l'épreuve. On le note souvent Ω. Un événement est un ensemble constitué d'issues de l'univers. Un événement constitué d'une seule issue est un événement élémentaire. Dans la pratique, on assimile un événement élémentaire à son issue. Il existe deux événements particuliers : L'événement impossible, noté ∅, ( dit ensemble vide ), qui ne contient aucune issue. L'événement certain, noté Ω, qui contient toutes les issues possibles.

Réunion et intersection de deux événements et événements contraires.

Soit E une expérience aléatoire. Soit Ω l'univers associé à cette expérience aléatoire. Soient A et B deux événements de cette expérience aléatoire.

Les issues qui sont dans l'événement A ou dans l'événement B constituent l'événement A U B appelé réunion de A et de B. En mathématiques, le ou est inclusif et signifie soit l'un soit l'autre soit les deux.

Exemples : voir feuille annexe.

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Les issues qui sont à la fois dans l'événement A et dans l'événement B constituent l'événement A ∩ B appelé intersection de A et de B.

Deux événements sont dits incompatibles ( ou disjoints ) lorsqu'ils n'ont aucune issue en commun. On note A ∩ B = ∅.

Deux événements sont dits contraires lorsqu'ils sont incompatibles et s'ils contiennent à eux deux toutes les issues de l'univers. On note A le contraire de A et on a : A ∩ A = ∅ et A U A = Ω.

Loi de probabilité. Soit Ω = { e1 ; e2 ; e3 ; … ; en } l'univers d'une épreuve aléatoire où chaque ei désigne une issue. Définir une loi de probabilité sur l'univers Ω, c'est associer à chaque issue ei une probabilité pi qui vérifie Pour tout i

0 ≤ pi ≤ 1

et

p1 + p2 + p3 + …+ pn = 1.

Le nombre pi est noté aussi p ( ei ).

La probabilité d'un événement A notée p ( A ) est la somme des probabilités de toutes les issues de A.

Exemple : voir feuille annexe.

Equiprobabilité. Il y a équiprobabilité sur l'univers Ω lorsque toutes les issues ont la même probabilité. Si Ω est constitué de n issues alors la probabilité de chaque issue est 1 . n

Soit Ω un univers où il y a équiprobabilité. Soit A un événement de Ω. Alors la probabilité de l'événement A est donnée par les formules : P ( A ) = nombre d'issues de A = nombre de cas favorables nombres d'issues de Ω nombre de cas possibles

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Formules sur les probabilités.

Soient A et B deux événements. Alors p ( A U B ) = p ( A ) + p ( B ) − p ( A ∩ B ). Cas particulier : Si A et B sont incompatibles alors A ∩ B = ∅ donc p ( A U B ) = p ( A ) + p ( B ).

Soient A et A deux événements contraires. Alors p ( A ) = 1 − p ( A ).

Démonstration : voir feuille annexe.

E1 Connaître l'effet d'un événement sur la probabilité d'un autre. N°1 A l'oral du bac, un examinateur interroge le candidat au hasard sur l'un des trois thèmes : statistiques, probabilités, fonctions. On désigne par S l'événement : " le candidat est interrogé sur les statistiques " et par P l'événement : " le candidat est interrogé sur les probabilités ". 1. a) Quel est l'événement S ∩ P ? 1. b) Que peut on dire des événements S et P ? 2. a) Décrire par une phrase l'événement S U P. 2. b) Décrire par une phrase le contraire de l'événement S U P. N°2 A l'épreuve pratique du permis de conduire, on a observé les résultats suivants sur un échantillon de 500 candidats se présentant pour la première fois. candidats ayant réussi à la première présentation ayant échoué à la première présentation Total

1.

ayant pratiqué la conduite accompagnée

n'ayant pas pratiqué la conduite accompagnée

Total

70

200

270

20

210

230

90

410

500

On choisit au hasard un candidat dans cet échantillon. On considère les événements C : " la candidat a pratiqué la conduite accompagnée " ; R : " la candidat a réussi à la première présentation. " On donnera les résultats sous forme de fraction. Calculer les probabilités p ( C ) , p ( R ) et p ( C ∩ R ).

2.

Antoine déclare qu'il a pratiqué la conduite accompagnée. Déterminer la probabilité qu'il ait obtenu son permis à la première présentation. A quelle fréquence conditionnelle correspond ce résultat ? p(C∩R) Expliquer pourquoi donne le même résultat. p(C)

3.

Elisabeth déclare qu'elle a obtenu son permis à la première présentation. Déterminer la probabilité qu'elle ait pratiqué la conduite accompagnée. A quelle fréquence conditionnelle correspond ce résultat ? p(C∩R) donne le même résultat. Expliquer pourquoi p(R)

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2 Probabilités conditionnelles. Soit Ω l'univers d'une épreuve aléatoire. Soit B un événement tel que p ( B ) ≠ 0. Soit A un événement de l'univers. On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B et on la note pB ( A ) le nombre égal à

p(A∩B) . p(B)

Remarques :

p(A∩B) ⇔ pB ( A ) × p ( B ) = p ( A ∩ B ). p(B) 2 ) La condition " sachant B " définit une nouvelle loi de probabilité pB sur l'univers Ω avec toutes ses propriétés 1 ) On peut calculer la probabilité de l'intersection. pB ( A ) =

pB ( A ) ∈ [ 0 ; 1 ] et pB ( A ) + pB ( A ) = 1.

Exemple : on a interrogé des élèves de terminale sur leurs loisirs : 50 % d'entre eux déclarent aimer aller en boîte et 75 % d'entre eux déclarent aimer le sport. De plus 40 % des élèves déclarent aimer aller en boite et le sport. Pour un de ces élèves rencontrés au hasard, on considère les événements suivants B : " l'élève aime aller en boîte. " et S : " l'élève aime le sport ". 1. Donner les probabilités des événements B, S, et B ∩ S. 2. Quelle est la probabilité que l'élève aime le sport sachant qu'il aime aller en boîte ? 3. Quelle est la probabilité que l'élève aime aller en boîte sachant qu'il aime le sport ?

E2 Savoir déterminer une probabilité conditionnelle. N°3 Parmi les 360 adhérents d'un club de sport, une enquête a donné les résultats suivants :

Fumeurs Non fumeurs Total

Pratiquent la compétition 18 216

Ne pratiquent pas la compétition 36 90

1.

Reproduire et compléter le tableau ci dessus.

2.

On rencontre au hasard un adhérent du club. A)

Total

Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : F : " la personne fume " et C : " la personne pratique la compétition ".

B)

Quelle est la probabilité que la personne fume et pratique la compétition ?

C)

Quelle est la probabilité que la personne fume sachant qu'elle pratique la compétition ?

D)

Quelle est la probabilité que la personne fume sachant qu'elle ne pratique pas la compétition ?

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N°4 Rémi, agent commercial, se déplace pour rendre visite pendant la journée à deux clients. Il a constaté que : La probabilité que le premier client fasse un achat est égale à 0,3. Si le premier client a fait un achat, alors la probabilité que le deuxième client fasse un achat est égale à 0,4. Si le premier client n'a pas fait d'achat, la probabilité que le deuxième client fasse un achat est égale à 0,25. On note : A : l'événement : " le premier client a fait un achat. " Et B l'événement : " le deuxième client a fait un achat ". 1)

Déterminer p ( A ), p A ( B ) et p A ( B ).

2)

En déduire pA ( B ) et p A ( B ).

E3 Découverte des arbres pondérés. N°5 Dans un mélange de graines de fleurs roses et de fleurs jaunes, 60 % sont des graines de fleurs roses, 50 % des graines de fleurs roses germent correctement et 80 % des graines de fleurs jaunes germent correctement. On sème une graine prise au hasard dans ce mélange. La situation décrite dans l'énoncé peut être représentée par l'arbre ci dessous, où l'on note les événements : R : " la graine de fleur est rose " J : " la graine de fleur est jaune " G : " la graine germe correctement ". Reproduire l'arbre que l'on va compléter dans les questions suivantes. 0,5 G R 0,6 G 0,8 G J G 1.

2.

3.

On considère les branches au premier niveau de l'arbre. a) Déterminer p ( R ). b) Quel lien y a t il entre les événements J et R ? En déduire p ( J ). c) Reporter sur l'arbre de probabilité p ( J ). On considère les branches au second niveau de l'arbre. a) A quelles probabilités conditionnelles correspondent les valeurs 0,5 et 0,8 ? b) Compléter l'arbre avec pR ( G ) et pJ ( G ). Parcourons maintenant les branches de l'arbre. a) Décrire par une phrase chacun des événements R ∩ G et J ∩ G. b) Calculer p ( R ∩ G ) en précisant le résultat du cours utilisé. Comment visualiser ce calcul sur l'arbre ? c) Calculer de même p ( J ∩ G ). d) En déduire la probabilité que la graine prise au hasard germe correctement.

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3 Arbre de probabilités. Soit Ω l'univers d'une épreuve aléatoire. Soit B un événement de probabilité différente de 0 et de 1. Soit A un événement conditionné par l'événement B. Alors on peut visualiser la situation à l'aide d'un arbre de probabilités. Une branche est représentée par un segment ; chacune porte une probabilité. Un nœud est la jonction de deux ou plusieurs branches. Un chemin est réalisé en suivant des branches successives. La somme des probabilités portées sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1. La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités portées sur ses branches. La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent.

Schéma : voir feuille annexe. Exemple : Dans un lot de chemises soldées, un quart des chemises sont noires et les autres sont blanches. Il ne reste que des tailles S et L. La moitié des chemises noires et un cinquième des blanches sont de taille L. Jérémy choisit au hasard une chemise du lot. On considère les événements N : " la chemise est noire. " B : " la chemise est blanche. " S : " la chemise est de taille S. " L : " la chemise est de taille L. " Calculer la probabilité que Jérémy choisisse une chemise de taille S.

E4 Savoir utiliser les arbres de probabilités. N°6

Dans un sac contenant deux billes jaunes et trois billes bleues, on tire successivement deux billes au hasard sans remettre la première avant de tirer la seconde. On note : J1 l'événement : " la première bille tirée est jaune. " J2 l'événement : " la deuxième bille tirée est jaune. " B1 l'événement : " la première bille tirée est bleue. " B2 l'événement : " la deuxième bille tirée est bleue. " A l'aide d'un arbre de probabilités, calculer

A) B) C)

la probabilité que les deux billes tirées soient jaunes. la probabilité que les deux billes tirées soient de la même couleur. p ( J2 ) puis p ( B2 ).

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E5 Activité pour découvrir l'indépendance de deux événements. N°7

L'agence de tourisme Probas propose 1000 tickets à gratter, tous gagnants. 990 d'entre eux font gagner une paire de lunettes de soleil et 10 font gagner un voyage soit en Asie soit en Afrique. Les tickets sont de deux couleurs jaune ou rouge. Le tableau ci dessous donne la répartition des tickets. Gain

Série Tickets jaunes Tickets rouges Total

Lunettes de soleil 594 396 990

Voyages Asie 4 1 5

Afrique 2 3 5

Total 600 400 1000

Mademoiselle Cilla reçoit au hasard un ticket. On note J : " l'événement le ticket reçu est jaune " . Et R l'événement " le ticket reçu est rouge " . Et V " le client gagne un voyage " . 1)

a) b) c)

Calculer p ( V ) , pJ ( V ) et p J ( V ). La probabilité de gagner un voyage dépend-elle de la couleur du ticket reçu ? Calculer p ( J ) et vérifier que p ( V ∩ J ) = p ( V ) × p ( J ).

2)

a)

On note A l'événement " le client gagne un voyage en Asie " . Calculer p ( A ) , pJ ( A ) et p J ( A ). La probabilité de gagner un voyage en Asie dépend-elle de la couleur du ticket reçu ? Vérifier que p ( A ∩ J ) ≠ p ( A ) × p ( J ).

b) c)

4 Indépendance de deux événements. Soit Ω un univers d'une épreuve aléatoire. Soient A et B deux événements de cet univers. On dit que les événements A et B sont indépendants lorsque p ( A ∩ B ) = p ( A ) × p ( B ). On dit que deux événements sont dépendants lorsqu'ils ne sont pas indépendants.

Remarque : Lorsque p ( B ) ≠ 0 alors dire que A et B sont indépendants équivaut à dire que pB ( A ) = p ( A ). Autrement dit la probabilité de l'un est la même avec ou sans la condition que l'autre se réalise. Deux événements incompatibles sont en général dépendants.

Exemple : dans un sac contenant 24 jetons numérotés de 1 à 24, on tire au hasard un jeton. On considère les événements suivants : T : " obtenir un multiple de trois. " , S " obtenir au moins 15 " et P " obtenir un nombre pair ". 1. Déterminer si les événements S et T sont indépendants. 2. Déterminer si les événements P et T sont indépendants.

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E6 Savoir démontrer ou utiliser l'indépendance de deux événements. N°8

1) 2) N°9 1)

Deux voisins Franck et Thomas font le même trajet après leur journée de travail. Chacun prend si possible le train de 18 h sinon celui de 18 h 30. On considère que leurs contraintes horaires de fin de journée sont indépendantes. La probabilité d'avoir le premier train pour Franck est égale à 0,9 et pour Thomas 0,8. Un soir donné quelle est la probabilité que Franck et Thomas se retrouvent : Dans le train de 18 h ? Dans le train de 18 h 30 ?

2) 3)

Monsieur Probas lance un dé non pipé à 6 faces numérotées de 1 à 6. Déterminer les probabilités des événements : A : " obtenir au plus 3 " B : " obtenir un multiple de trois " C : " obtenir un nombre impair. Calculer pB ( A ) ; pA ( C ) et p ( B ∩ C ). A et B sont-ils indépendants ? A et C sont-ils indépendants ? B et C sont-ils indépendants ?

N ° 10 1) 2) 3)

Dans un jeu classique de 32 cartes, Monsieur Probas en tire une au hasard. Les événements R " tirer un roi " et Q " tirer un pique " sont ils indépendants ? Les événements F " tirer une figure " et Q sont-ils indépendants ? Les événements F et R sont-ils indépendants ?

N ° 11 Une épreuve aléatoire consiste à lancer plusieurs pièces de monnaies. On désigne par A l'événement " toutes les pièces tombent du même côté " et par B l'événement " au plus une pièce donne face ". 1) Pour deux pièces lancées, a) décrire l'univers de l'épreuve. b) calculer p ( A ), p ( B ) et p ( A ∩ B ) c) les événements A et B sont-ils indépendants ? 2) Même questions pour trois pièces lancées. N ° 12 A chaque cours de maths, Monsieur Probas constate que des élèves oublient leur calculatrice et ( ou ) leur livre. Il a constaté que le 29 janvier 2007, 15 élèves ont apporté leur calculatrice et leur manuel et 10 élèves n'ont apporté que leur calculatrice. 3 élèves n'ont apporté que leur manuel et 2 élèves n'ont apporté ni l'un ni l'autre. 1) Construire un tableau d'effectifs. 2 ) a ) On choisit au hasard un élève de la classe de Monsieur Probas. Quelle est la probabilité qu'il ait apporté son manuel ? 2 ) b ) Quelle est la probabilité qu'il ait apporté son manuel sachant qu'il a apporté sa calculatrice ? 2 ) c ) Les événements " l'élève a apporté son manuel "et l'élève a apporté sa calculatrice sont-ils indépendants ?

E7 Exercice type bac. N ° 13 Nouvelle Calédonie 2005 ( 5 points et 45 min ). Soient deux dés cubiques notés D1 et D2 dont toutes les faces ont la même probabilité d'apparition. Le dé D1 a une face numérotée 1 et cinq faces numérotées 3. Le dé D2 a deux faces numérotées 1, une face numérotée 2 et trois faces numérotées 3. On lance le dé D1 puis on lance le dé D2 et on regarde le chiffe obtenu par chacun d'eux. On appelle événement élémentaire tout couple ( a ; b ) de deux chiffres, où a est le chiffre apparu sur le dé D1 et b le chiffre apparu sur le dé D2. 1) Dresser un tableau à double entrée faisant apparaître tous les couples possibles. 1 point 2) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : " deux faces portent le même numéro. " B : " deux faces portent des numéros différents. " C : " au moins une face porte le numéro 1. " E : " une des faces et une seule porte le numéro 3." 2 points 3) Calculer la probabilité des événements C ∩ E et C U E. 1 point 4) Déterminer pA ( C ). Les événements A et C sont-ils indépendants ? 1 point