théorème de Bézout - Le Web Pedagogique

THÉORÈME DE BÉZOUT

Propriété : théorème de Bachet-Bézout Soit a et b deux nombres entiers non simultanément nuls. Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe un couple d'entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1 dém : Soit a et b deux entiers relatifs non simultanément nuls. Par exemple a. Si a et b sont premiers entre eux, alors, par définition : PGCD (a ; b) = 1 Soit E l'ensemble des entiers de la forme au + bv, avec u et v entiers. Cet ensemble n'est pas vide, car il contient a (avec u = 1 et v = 0) et - a (avec u = - 1 et v = 0). E contient a et - a, et l'un de ces deux entiers est strictement positif, donc E contient au moins un entier strictement positif. Soit d le plus petit d'entre eux ; il existe ainsi u0 et v0 entiers tels que : d = au0 + bv0 La division euclidienne de a par d s'écrit : a = dq + r, avec 0 ≤ r < d D'où : r = a - dq = a - (au0 + bv0)q = a(1 – qu0) + b(- v0q). Ainsi, r appartient à E car il est de la forme au + bv avec u et v entiers u = 1 – qu0 et v = - v0q. Comme d est le plus petit élément strictement positif de E, l'inégalité 0 ≤ r < d , montre que r est nul, d'où a = dq et d divise a. On montre de même que d divise b, d'où d = 1 car a et b sont premiers entre eux : il existe bien deux entiers u0 et v0 tels que au0 + bv0 = 1 Réciproquement : S'il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1, alors si d est le PGCD de a et b, il divise a et b , donc au + bv, c'est-à-dire 1 : ainsi, d vaut 1, et a et b sont premiers entre eux.

Exemples: 1) 35 et 12 sont premiers entre eux, car on a l'égalité 35 × (- 1) + 12 × 3 = 1 2) Soit n un entier. Alors, n et n + 1 sont premiers entre eux, car on peut écrire (n + 1) + (- 1) n = 1. Ainsi, deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux. 3) Puisque pour tout entier naturel n, on a 5(7n + 3) - 7(5n + 2) = - 1, les nombres 7n + 3 et 5n + 2 sont premiers entre eux.

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Identité de Bézout Soit a et b deux nombres entiers non nuls. Si d = PGCD (a; b), alors il existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv= d dém : Soit a et b des entiers non nuls dont le PGCD est d. Soit les entiers a' et b' tels que a = da' et b = db'. a' et b' sont premiers entre eux, donc il existe des entiers u et v tels que ua' + vb' = 1. En multipliant les deux membres de cette égalité par d, on obtient : ua'd + vb'd = d, d'où au + bv = d Remarque : Contrairement au théorème de Bézout, la réciproque de cette propriété est fausse, si au + bv = d, l'entier d n'est pas obligatoirement le pgcd de a et b. Par exemple : 1 × 13 + (- 1 × 11) = 2, et pourtant le PGCD de 13 et 11 est 1

Si a est premier avec b, d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1. On multiplie les deux membres de cette égalité par c,

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